线性代数的几何意义

线性代数的几何意义注解

线性代数是优雅和有趣的一门学科，应用也很多，只是目前多数线性代数教材似乎都偏重"代数"而较少涉及"线性"一词包含的几何意义，所以可能给人印象较抽象，不容易让同学产生兴趣，有幸在以前偶然一次看到一位工程师自编的一本小册子叫《线性代数的几何意义》，加上后来阅读matlab 作者的书籍，才发现原来线性代数的几何含义真的印证了“数学之美”，的确很美，所以想借鉴这些零散的阅读，加上自己后来的理解，把它的部分几何意义注解一下，希望以前对线代没有很多兴趣的同学能喜欢上它，同时我也会保持更新，不断完善，一起体会数学无与伦比的美丽

矩阵的几何意义

1、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量的集合或由这些向量为基张成

的空间（在力学分析，向量空间应用时常取此几何含义，后文把此类几何含义称作矩阵

的向量空间）如矩阵

56

73

⎛⎫

⎪

⎝⎭

按照行向量可表示为如下形式

2、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量终点组成的图形（在计算机图

形学中常取此几何表示，后文把此类几何含义称作矩阵的图形），如矩阵

579 635

⎛⎫ ⎪⎝⎭

按

照列向量可表示为如下图形

如下图是在matlab 中将z=sin(x)*cos(y)算得的离散点组成的矩阵表示成几何图形

注1：如果单独查看一个矩阵m n A ⨯，可以有两种解读：矩阵A 由m 个n 维向量组成，或者

由n 个m 维向量组成；在使用时会根据实际情或约定选择其中一种，而在参与变换或其他运算时，这两种解读一般不能混淆，一定要确定

注2：当我们把矩阵表示成图形时，其作图没有固定标准，并不一定是把所有向量终点连接起来构成一个多边形，规则是使用者制定的，可以是网格，可以是离散面片等

行列式的几何意义

一个方阵n n A ⨯的行列式的绝对值是其行向量或列向量所张成的平行几何体的空间积，对于

二阶行列式，就是向量张成的平行四边形的面积，对于三阶行列式，就是对应平行六面体的

体积；如方阵5673⎛⎫ ⎪⎝⎭

的行列式绝对值为27，它就是下图平行四边形的面积

注：行列式其实是带有符号的，实际上，正负号表征了这些向量作为线性空间基的手性，正号表示右手系，负号表示左手系，在二阶矩阵的向量空间里，其判别方法是，伸出右手和矩阵的第一个列向量或行向量平行，然后调整手的正反使得能从此向量转过小于180度的角到达第二个向量，这时大拇指如果朝上（从纸面指向自己）则为右手系，矩阵的行列式为正，反之则为左手系，对应行列式为负；如果是三阶矩阵，则从第一个向量转向第二个向量时，如果大拇指指向第三个向量方向（不必重合），则为右手系，其行列式为正，反之为左手系，行列式为负；其实这一点上更广义的表述应是向量空间的基相对自然坐标系的顺序性（代数上可用逆序数表达）

克拉默法则的几何意义

以二维形式为例来说明其几何意义:

方程A x =b ，设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，b =12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，待求的x =12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将A 的两个列向量分别表示为a1,a2，那么原方程可表示为1x a1+2x a2=b ，这样可以把1x 与2x 看作是列向量a1,a2的伸缩因子，经过伸缩后再叠加即得到和向量b ，故原方程可以看作已知列向量被伸缩并叠加后的向量b ，求伸缩因子i x

我们已经知道行列式的几何意义，显然矩阵A 对应的平行四边形的面积就是|A|（这里以带符号的有方向面积表示，因为伸缩因子也是有符号的），当某一个向量被伸缩后，如图将

OB 边伸长至OE ，形成新的平行四边形OAFE ，记其面积为OAFE S ，这样a1的伸缩因子1x 可表示为||

OAFE S A ，显然只要求出OAFE S 即可解出未知量；

图中OG 即向量b ，因为它是1x a1，2x a2的线性叠加，所以G 点必在EF 的延长线上，这样OG 和OE 相对OA 边的高就是相同的，故OA 与OG 组成的平行四边形面积和OAFE 相同，即OAFE S =|b a2|，所以可求得1x =|b a2|/|A|，同理可得2x =|a1 b |/|A|，可以看出此表达式和克拉默法则等价

矩阵乘法的几何意义

我们知道矩阵是由若干向量组成的，因此可自然地把矩阵乘法看作是两个矩阵的同维向量之间做内积（或点乘），而内积的意义是两向量同向投影的乘积，但这只是一个表面的几何含义，比较抽象（也有应用之处，后面会提到）；实际上，对于矩阵乘法C=AB ，作用后得到的新矩阵C 可以看作是矩阵A 经过某种变换得到的，也可以看作是矩阵B 经过某种变换后得到的，而这种变换显然就是乘以另一个矩阵的过程，结合前面提到的矩阵的几何意义，故

可以把矩阵乘法C=AB 看作是图形A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新图形C ，或者是向量空间A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新的向量空间C ，对于简单的变换矩阵这一

点最容易感性体会到；例如变换矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

会把原3D 图形向x-y 面投影，变换矩阵

100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

会把原图形对x 轴镜像，变换矩阵cos30sin 30sin 30cos30-⎛⎫ ⎪⎝⎭会把原2D 图形相对原点逆时针旋转30度。

由于一些变换在复合作用时顺序不同会影响变换结果，所以在这种情况下矩阵乘法是不可以左右交换的（因为靠近被变换对象的矩阵总是优先作用），如下图所示，对向量OA 进行剪切变换与旋转变换，OC 是变换后的向量，可以看出两种变换的作用顺序不同则OC 也不同，所以这两种变换矩阵相乘就不能交换左右顺序

初等变换的几何意义

由前面叙述的部分几何意义，我们很快就能看出初等变换的几何含义了

交换矩阵的两行（列）：改变向量在矩阵中的排列顺序，当矩阵表示图形时，此操作对图形没有影响，因而矩阵张成的空间维数（秩）不变，但是当矩阵代表向量空间时，会改变此坐标系的手性，当计算方阵的行列式时，会改变其符号；

以一个非零数k 乘矩阵的某一行（列）：即对矩阵中某一向量进行伸缩变换，整个矩阵代表