概论论与数理统计作业

《概率论与数理统计》作业

第1章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件

1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= {HHH,HHT,HTH,THH,THT,TTH,TTT} ；

(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= {0,1,2,3} ；

2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= {1,2,3} ；B ：数点大于2，则B= {3,4,5,6} .

(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= {正正，正反} ；

B ：两次出现同一面，则= {正正,反反}；

C ：至少有一次出现正面，则C= {正

正，正反，反正 .

§1 .2 随机事件的运算)(B A P ?

1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：

(1)A 、B 、C 都不发生表示为： ABC .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： C AB . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： C B A .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为：

C B A ?? .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： BC AC AB ?? .(6)A 、B 、C

中不多于一个发生表示为： C B C A B A ?? . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则

（1）=?B A {x:1

（4）B A ?= {x:0<=x<=1}或2<=x<=5} ，（5）B A = {x:1

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则

(1) =)(AB P P(A)+P(B)-P(AUB)=0.5+0.6-0.8=0.3 , (2)()(B A P )= 1-P(AUB)=1-0.8=0.2 , (3))(B A P ?= 1-P(AB)=1-0.3=0.7 . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 0.4 .

§1 .4 古典概型

1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,

(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.

1) 103022228/C C C 2)(82228922181022C C C C C ++)/1030C 3)1-(922181022C C C +)/1030

C 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1 .5 条件概率与乘法公式

1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 2/6 。

2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 1/3 。

§1 .6 全概率公式

1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机

地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 设A 表示第一人“中”，则P (A)=2/10,

设B 表示第二人“中”，则)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += =

10

2

9210891102=?+? 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一

盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

设1R 表示第一次取到红球,表示2R 第二次取到红球,则：

52

)|()()|()()(,12

4)|(,106)|(,106)(,104)(1211212121211=

+=====

R R P R P R R P R P R P R R P R R P R P R P ,

§1 .7 贝叶斯公式

1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

设A 需要调试 A 不要调试 B 出厂 1)|(%,80)|(%,70)(%,30)(====A B P A B P A P A P , 1)，由全概率公式：)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += =30%X80%+70%X1=94% 2)由贝叶斯公式：%

94)

|()()()()|(A B P A P B P B A P B A P ==

=

94

70

2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，

B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R

C D

用A B C D 表示开关闭合，于是 CD AB T ?=，从而，由概率的性质及A,B,C,D 相互独立性

P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)P(D)- P(A)P(B)P(C)P(D) =424222p p p p p -=-+

3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否

命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 1）、6.0)5.01()4.01()6.01(5.0)4.01()6.01()5.01(4.0?-?-+-??-+-?-?=0.38 2）、88.0)6.01()5.01()4.01(1=-?-?--

第2章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量

1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X 表示取出的3个球

中的最大号码., 试写出X 的分布律. 2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接

一次地射击，直到命中为止或子弹用

尽为止，用X 表示射击的次数, 试写出X

的分布律。

X | 1 2 3 4 5 ____________________________________________________ i P | 0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296

§2.2 10-分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

1)、P(X=1)=P(X ≥1)–P(X ≥2)=0.981684–0.908422=0.073262 2)、P(X ≥1)=0.981684

3)、P(X ≤1=1–P(X ≥2)=1-0.908422=0.091578

2 设随机变量X 有分布律： X 2

3 , Y ～π(X), 试求： p 0.

4 0.6

（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。 1)、由乘法公式：P(X=2,Y ≤2)=P(X=2)P(Y ≤2|X=2)=0.4e ×(2+2e -2+2e -2)=2e -2 2）、P(Y ≤2)=P(X=2)P(Y ≤2|X=2)+P(X=3)P(Y ≤2|X=3) =0.4×5e -2+0.6×2

17e -3

=0.27067+0.25391=0.52458 3)、由贝叶斯公式:

P(X=2,Y ≤2)=P(X=2)P(Y ≤2|X=2)/P(Y ≤2)=0.27067/0.52458=0.516

§2.3 贝努里分布

1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？ 贝努里公式:k n k k n p p C k X P -==)( 1)、3225252254.06.0)2(??===-C q p C X P

2)、544523356.04.06.04.06.0)3(+??+??=≥C C X P 3)、56.01)5(1)4(-==-=≤X P X P 4)、54.01)0(1)1(-==-=≥X P X P

2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？

设至少进行n 次射击，X 表示n 次命中的次数，则X--B(n,0.2),已经，

9.0)2.01(1)1(≥--=≥n X P 即1.08.0≤n ，两边取对数，得32.108.0lg /1.0lg =≥n

至少进行11次的独立射击

§2.4 随机变量的分布函数

1设随机变量X 的分布函数是： F(x) = ??

?

??≥<≤--<11115.010

x x x

（1）求 P(X ≤0 )； P ()10≤

2 设随机变量X 的分布函数是：F(x) = ???

??≤>+0

01x x x

Ax

, 求（1）常数A, (2)

P ()21≤

§2.5 连续型随机变量

1 设连续型随机变量X 的密度函数为：??

?<<=他

其01

0)(x kx x f

（1）求常数k 的值；（2）求X 的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形， （3）用二种方法计算 P(- 0.5

1)、2,2

)(11

==

==??

+∞

∞

-k k

kxdx ds x f 2）、当x <0时，00)(==?∞-x

dt x F

当2020)(10x tdt dt x F x x

x

=+=<≤??∞-时， 当1≥x 时，1020)(11

00

=++=???∞-x

dt tdt dt x F 3)、4

1

20)()5.05.0(5

.00

05

.05.05.0=

+==<<-???

--xdx dx dx x f X P 2 设连续型随机变量0≥x 的分布函数为：F(x) = ??

?

??≥<≤

(1)求X 的密度函数)(x f ，画出)(x f 的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).

1)、?????<<=他

其011

)(e

x x x f

2)、

2

ln 1/12ln 1)2(1)2(2-==-=-=>?e

xdx F X P 或

§2.6 均匀分布和指数分布

1设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0

有实根的概率。

2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

1)、2)10(-=>e X P 2)、42)2010(---=<

§2.7 正态分布

1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)；

(2)确定c ，使得 P(X>c) = P(X

密度函数：2

22)(21

)(σμσ

π--

=

x e x f 分布函数:?

-∞

--

=-Φ=σ

μ

π

σ

μ

x ds s e x x F 2

2

21)(

)(

1)、0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5 2) c=3

2 某产品的质量指标X 服从正态分布，μ=160，若要求P(120

§2.8 随机变量函数的分布

1设随机变量X 的分布律为； p 0.3 0.4 0.3 Y = 2X – 1, 求随机变量X 的分布律。 X -1 1 3 pi 0.3 0.4 0.3

2设随机变量X 的密度函数为：?

??<<-=他其01

0)1(2)(x x x f ，

2X Y =；求随机变量Y 的密度函数。

3. 设随机变量X 服从（0， 1）上的均匀分布，X Y ln 2-= ，求随机变量Y 的密

度函数。

第3章 多维随机变量

§3.1 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红球个数，用Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

1 0 0.4 0.

2 0.6 2 0.1 0.2 0 0.

3 0.1 0.6 0.3 1

2. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为：试根椐下列条件分别求a 和b 的值；(1)6.0)1(==X P ； 1 0.1 b 0.2 (2)5.0)2|1(===Y X P ； (3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。 1) a=0.1,b=0.3 2) a=0.2,b=0.2 3) a=0.3,b=0.1

§3.2 二维连续型随机变量

1. )(Y X 、的联合密度函数为：?

??<<<<+=他其01

0,10)(),(y x y x k y x f

求（1）常数k ；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。 1) ???

?∞

∞-∞

∞

∞

∞-+==0

)(),(1dxdy y x k dxdy y x f ,得 k=1

2．)(Y X 、的联合密度函数为：?

??<<<<=他其00,10),(x

y x kxy y x f

求（1）常数k ；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。 1) k=8

§3.3 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。 答: )

1(1

)1)(1(1)(2222x dy y x x f x +=++=?∞

∞

-ππ +∞<<∞-x

2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。

答： ?????<<+=他其01021)(x x x f x ?????<<+=他其0

1

021)(y y y f y

§3.4 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a 和b 的值； 1 1/6 1/9 1/18

(1) 3/1)1(==Y P ； 2 a b 1/9 (2) 5.0)2|1(==>Y X P ； （3）已知X 与Y 相互独立。 1) a=1/6,b=7/18 2) a=1/9 b=4/9 3) a=1/3 b=2/9

2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c ，并讨论X 与Y 是否相互独立？

C=6, X,Y 相互独立

*§3.5 多个随机变量的函数的分布 *§3.6 几种特殊随机变量函数的分布

第4章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取到的红球的个数，则EX 是：

（A ）1； （B ）1.2； （C ）1.5； （D ）2. 答： 1.2

2. 设X 有密度函数：??

?

??=0

83)(2

x x f 他其20≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求X

大于数学期望)(X E 的概率。

答：2

383)()(2

2=?==??∞

+∞-dx x x dx x xf X E

37/64

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为：已知65.0)(=XY E ，则a 和b 的值是： （A ）a=0.1, b=0.3； （B ）a=0.3, b=0.1； （C ）a=0.2, b=0.2； （D ）a=0.15, b=0.25。 答： D

4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求)1(,,+XY E EY EX 。 EX=2/3,EY=4/3 ,E(XY+1)=17/9

§4.2 数学期望的性质

1．设X 有分布律： X 0 1 2 3 则)32(2+-X X E 是： p 0.1 0.2 0.3 0.4

（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4. 答：D

2. 设),(Y X 有?????<<=他其0

1

45

),(2y x y y x f ，试验证 )()()(Y E X E XY E =，但X 与Y 不

相互独立。

E(XY)=E(X)E(Y)=0x5/7=0,但f(x,y)≠)(y f y

§4.3 方差

1．丢一颗均匀的骰子，用X 表示点数，求DX EX ,. E(X)=2,D(X)=35/12

2．X 有密度函数：?

??+=04

/)1()(x x f 他其20≤≤x ，求 D(X).

D(X)=11/36

§4.4 常见的几种随机变量的期望与方差

1． 设)2(~πX ,)6.0,3(~B Y ,相互独立，则)2(),2(Y X D Y X E --的值分别是：

（A ）-1.6和4.88； （B ）-1和4； （C ）1.6和4.88； （D ）1.6和-4.88. A

2. 设)3,4(~),,(~N Y b a U X ，X 与Y 有相同的期望和方差，求b a ,的值。

（A ） 0和8； （B ） 1和7； （C ） 2和6； （D ） 3和5.

B

§4.5 协方差与相关系数

1．随机变量 (X,Y) 的联合分布律如下：试求协方差 ),(Y X Cov 和相关系数XY ρ，

1 0.1 0.3 0.3 Cov(X,Y)=0.

2 563.0=XY ρ

2．设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试求协方差 ),(Y X Cov 和相关系数

XY ρ，

Cov(X,Y)=-1/144 11/1-=XY ρ

§4.6 独立性与不相关性 矩

1．下列结论不正确的是（ C ）

（A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关； （B ）X 与Y 相关，则X 与Y 不相互独立； （C ）)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 相互独立； （D ）)()(),(y f x f y x f Y X =，则X 与Y 不相关； 2．若 0),(=Y X COV ，则不正确的是（ C ）

（A ）)()()(Y E X E XY E =；（B ）)()()(Y E X E Y X E +=+；

（C）)

X

XY

D=；（D）)

D

D

)

(Y

(

(

)

X

Y

D+

=

+；

D

X

(

)

(

)

(Y

D

3．（Y

X,）有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。

0 1/8 0 1/8

1 1/8 1/8 1/8

X,Y不相关，但X与Y不相互独立

4．)

X

E

E=是X与Y不相关的（ C ）

XY

E

(

(

)

)

(Y

（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。

5. )

X

E

E

E=是X与Y相互独立的（ C ）

XY

(Y

)

(

)

(

（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。

6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立。

第5章极限定理

*§5.1 大数定理

§5.2 中心极限定理

1．一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中

心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

0.1788

2．某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

0.889, 0.841

第6章数理统计基础

§6.1 数理统计中的几个概念

1． 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值X = 1.57 ，样本均方差=S 0.254 ，样本方差=2S 0.0646 。

2．设总体方差为2b 有样本n X X X ,,,21Λ，样本均值为X ，则=),(1X X Cov 。

§6.2 数理统计中常用的三个分布

1. 查有关的附表，下列分位点的值：9.0Z = -1.29 ，)5(2

1.0χ= 9.236 ，)10(9

.0t = -1.3722 。

2．设n X X X ,,,21Λ是总体)(2m χ的样本，求)(),(X D X E 。

§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布

1．设总体),(~2σμN X ，样本n X X X ,,,21Λ，样本均值X ，样本方差2S ，则

~/n

X σμ

- N(0,1) ，

~/n

S X μ

- t(n-1) ，

∑=-n

i i

X X

1

2

2

)(1

σ

～ ，

∑=-n

i i

X

1

22

)(1

μσ

～ ，

*§6.4 二个正态总体的三个统计量的分布

第7章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法

1.设总体X 的密度函数为：????

?≤≤=-他

其

10)(1

x x

x f θθ，有样本n X X X ,,,21Λ，求未

知参数θ 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ，为估计λ的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6 量数： 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。

λ=5 λ=4.97 §7.2 极大似然估计

1.设总体X 的密度函数为：????

?≤≤+=他

其

10)1()(x x

x f θ

θ，有样本n X X X ,,,21Λ，求

未知参数θ 的极大似然估计。

§7.3 估计量的评价标准

1.设总体X 服从区间)1,(a 上的均匀分布，有样本n X X X ,,,21Λ，证明=a

?12-X 是a 的无偏估计。

2.设总体X ～)(λπ，有样本n X X X ,,,21Λ，证明2)1(S a X a -+是参数λ的无偏估计（10<

§7.4 参数的区间估计

1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度),(~2σμN X ,抽取9根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求μ的置信度为95.0的置信区间，（1）若22048.0=σ,（2）若2σ未知。 1)μ (1.377,1.439) 2) (1.346,1.454)

2. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得075

.12=x ㎜，s = 0.0494㎜, 设另件长度),(~2σμN X ,取置信度为95.0，（1）求2σ的置信区间，（2）求σ的置信区间。

1) 2σ (0.0013,0.0058) 2) σ (0.036,0.076)

*§7.5 二个正态总体的参数的区间估计

*§7.6 区间估计的二种特殊情形

第8章 假设检验

§8.1 假设检验的基本概念

1. 某种电子元件的阻值（欧姆）)400,1000(~N X ,随机抽取25个元件，测得平均电阻值992=x ，试在1.0=α下检验电阻值的期望μ是否符合要求？ 拒绝1000:0=μH

2. 在上题中若2σ未知，而25个元件的均方差25=s ，则需如何检验，结论是什么？

接受：1000:0=μH

§8.2 假设检验的说明

1. 设第一道工序后，半成品的某一质量指标)64,(~μN X ,品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验00:μμ=H ，01:μμ≠H ；16=n ，当X 与0μ的绝对偏差不超过3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显着性水平。 0.1

§8.3 一个正态总体下参数的假设检验

1.

成年男子肺活量为3750=μ毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为3808=x 毫升，设方差为

22120=σ，试检验肺活量均值的提高是否显着（取02.0=α）？

拒绝0H

*§8.4 二个正态总体下参数的假设检验 *§8.5 假设检验的三种特殊情形