第十一章第4节函数展开成幂级数49777

2!
n!
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x)? 5
定理 1 设函数 f ( x) 在点 x 0 的某一邻域 (x0 )内具有
各阶导数, 则 f ( x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足
证明:
s cix o x n 1 1 x 2 s 1 2 3 1 1 ! !x x (3 2 x 5 4 1 1 4 ! !)x x 5 4 2 1 ! (x ( ( 4 1 1 )) )2 n n 1 1( 3 ( 1 2 2 !(1 n ( n 1 x ) ! 1 x )2 4 !n x )x 3 2 n 1 2 1 )
(2 n 2 )!
(1)n
1
x2n
n0
(2n)!
x( ,)
11
例3. 将函数 f(x)(1x)m展开成 x 的幂级数, 其中
m 为任意常数 .
解: 容易求出 f(0)1, f(0)m,f(0)m (m 1 ), f(n )(0 ) m (m 1 )m ( 2 ) (m n 1 ),
于是 (1 x)m 1mx m(m1) x2
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设
f ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n , x ( R , R )
则在收敛区间内
a0 f (0)
f(x ) a 1 2 a 2 x nn x a n 1 ; a1 f(0)
f(x ) 2 !a 2 n (n 1 )a n x n 2 ; a2
2
2
x( ,1 0 )
six n x 1x 3 1x 5 ( 1 )n 1 1 x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
(1)n
1 x2n1
n0
(2n1)!
x( ,)
类似可推出
cx o 1 s 1x 2 1x 4 ( 1 )n 1 1 x 2 n 2
2 ! 4 !
一、泰勒级数
上节例题 ( 1 )n 1x nln 1x () ( 1x 1 )
n 1
n
f(x) an(xx0)n
存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数
n0
问题: 1.如果能展开, a n 是什么?
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
n阶泰勒公式
若函数 f ( x) 在 x 0 的某邻域内具有 n 1阶导数 , 则在该
Rn(x)
e
(n 1)!
x n1
(在0与x
e x
x n1 (n 1)!
R lim n n
0
之间1 ) n! 1
(n 1)!
故 e x 1x1x21x31xn
2! 3!
n!
1 xn
n0 n!
x( , 9 )
例2. 将函数 f(x)sinx展开成 x 的幂级数.
解: f (n)(x)sinx(n2)
列级数
f (x0)
f f(x0)(xx0)
(x0) 2!
(x
x0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为 f ( x) 的泰勒级数 .
当 x0 0时, 泰勒级数变为 .
f (0) f(0)x f (0) x 2 f(n)(0) xn
2!
n!
称为麦克劳林级数 .
4
f (x0)
f(x0)(xx0)f
解:
f(x)1( 1 2 ) 31x 12x
而1
(1)nxn
1x1
1x n0
1
xn
1x1
1x n0
1
2nxn
x1
12x n0
2
19
f(x)1( 1 2 ) 31x 12x
1
(
(1)n x n
2n xn)
2 n0
n0
(1)n12n1xn 1 x 1
n0
3
2
2
20
例8. 将 sin x 展成
ln im Rn(x)0
f(x)
n0
f(nn)(!x0)(xx0)n
,
x(x0)
令 Sn1(x)kn 0f(kk)(!x0)(xx0)k
f(x)Sn 1(x)R n(x)
ln im Rn(x) ln im f(x)Sn 1(x) 0 , x(x0) 6
定理2 若 f ( x)能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
(x0) 2!
(x
x0)2f(nn)(!x0)(xx0)n
如f(x)ex,在x2处 的 泰 勒 级 数
e2 ( x 2)n
n0 n ! e 2 e 2 (x 2 ) e 2(x 2 )2 e 2(x 2 )n
2 !
n !
f (x) ex的麦克劳林级数
1 x n 1x1x21xn
n0 n!
n1
(2n)!
y y 2 s x( ix (c n 1)x n o s s 12 ix (n 2 x n )02 (n 1 1))d n(2x n11)!(2x)2n1
0 n0
(2n1)!
(1)n1 22n1 x2n, x( ,)
n1
(2n)!
18
例 7 将 f(x)2x21x1展x成 的幂级数
(m1) n!(mn)xn x F (x ) m x m 1 1 x 2 (m 1 )( n (m 1 ) !n 1 )x n
(1x)F(x)
m
1
mx m(m1) x2 2!
m(m1) n!(mn1)xn
mF(x)
返回
27
例9. 将
x2
1 4x 3
展成
x 1 的幂级数.
解:
1 1 x24x3 (x1)(x3)
1 2(1x)
1 2(3x)
1
41
x
2
1
1
81 x
4
1
( x1 2)
1 4 1
x
1 2
(x 1)2 22
(1)n
(x1)n 2n
8 1 1
x
1 4
(x 1)2 42
(1)n (x1)n 4n
2!
m(m1)(mn1)xn n!
由于 R lim an a n
n1
lim n 1 n m n
an1因m此(m, 对1)任n意!(m 常数n1)
m,
级数在开区间
(1,1)内收敛
a. n1
m(m1)(mn) (n1)!12
为了避免研究余项 , 设此级数的和函数为F(x),1x1
F(x)1mxm(m1) x2 2! m(m1)(mn1)xn n!
第三步
判别在收敛区间
(R,R)内
lim
n
Rn
(x)
是否
为0 .
8
例1. 将函数 f (x) e x 展开成 x 的幂级数.
解: f (n)(x)e x , f(n)(0)1 (n0,1,2,)
e x 1 x
1 2!
x2
1 3!
x3
1 xn n!
级数的收敛半径为 R,对任何有限数 x , 其余项有
F (x ) m 1 m 1 x (m 1 ) (m n 1 )x n 1
1
(n 1 )!
(1x)F(x) mF(x), F(0)1
推导
x
F(x) F(x)
dxx1mxdx,
0
0
lF n (x ) lF n (0 ) m l1 n x ) (
F(x)(1x)m
13
由此得
x
4
的幂级数.
解: s sii 4 xn c n so x i 4 n 4 s )( x (c 4 o 4 )ss ix n 4 ) (
1 2co x s 4)(sixn 4 ()
1 2
1
1 (x )2 1 (x)4
2! 4 4! 4
(x
4
)
1 (x 3!
)3
4
1 (x)5
5! 4
邻域内有 :
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)
f
(x0) 2!
(x
x0)2
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
此式称为 f ( x) 的 n阶泰勒公式 , 其中
Rn(x) f((nn1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x 与 x 0 之间)
称为拉格朗日余项 .
3
如果 f ( x) 在 x 0 的某邻域内存在任意阶导数 ,则称下
1 2!
f
(0)
f(n)(x)n!an;
an
1 n!
f
(n) (0)
显然结论成立 .
7
二. 函数展开成幂级数 1. 直接展开法
由上述泰勒级数理论可知 , 函数 f ( x) 展开成幂级数
的步骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
m(m1)(mn1)xn(1x1) n!
对应 m1 , 1 , 1 的二项展开式分别为
22
1x 11x 1 x 2 13 x3 135 x4 2 2 4 2 4 6 2468
(1x1)
1 1 1 x 1 3 x 2 135 x31357x4
1 x
2 24
2 4 6 2468
1 1 x x2 x 3 x4
1 x
(1x1) (1x151)
2. 间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将
所给函数展开成 幂级数.
记:住 1, 1,ex,six n ,co x,(s 1x)m 的展式 1x1x
例4. 将函数
解: 1
1
1 x 2 展开成 x 的幂级数. 1xx2xn
(1x1)
1 x
把 x 换成 x 2, 得
2 34
n1
x(1,1]
24
• sinx x x 3 x 5 x 7 (1)n x2n1
3 ! 5 ! 7!
(2n1)!
x( ,)
• coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
2 ! 4 ! 6!
(2n)!
x( ,) • (1 x)m1 mx m(m1) x2
2!
n 0(1)n2n12221 n3(x1)n
(1x3)
22
例10
求
n0
n22nn!1xn的
和函.数
解
:
S(x)
n0
n22nn!1xnn 0n(n1n)!n1(2x)n
1(x )n
1(x )n1(x )n
n 2(n 2 )! 2 n 1(n 1 )! 2 n 0n !2
(x )21(x )k x1(x )k1(x )n 2k 0k !2 2k 0k ! 2 n 0n !2
定义, 且连续 , 所以展开式对 x 1也是成立的 , 于是收敛
区间为 1x1.
利用此题可得
ln 2 1111 ( 1 )n 1
234
n 1
17
例 6 将ysin2x展成 x的幂级 . 数
解 :
y11co2sx 11 (1)n 1 (2 x ) 2 n
22
2 2n0 (2n)!
另解:
(1)n1 22n1 x2n, x( ,)
f
(n)(0)
0 (
, 1)
k
,
n 2k (k0,1,2,) n2k1
sinx
x
1 3!
x 3 1 x5 5!
(1)n1 1 x2n1 (2n1)!
级数的收敛半径为 R, 对任何有限数 x , 其余项有
Rn(x)
sin((n1)2)
(n 1)!
x
n 1
x n1 (n 1)!
n 0
ssix in 2 kn ( x 1)3 1 !x 3 s5 1 i!n k x 5 ( )( 1 c)n o 1 ks( 2 n 1 (1 )! 1x )2 k n 1
(
x2
x
x
1)e2
x
42
23
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法
利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法
利用幂级数的性质及已知展 开式的函数 .
2. 常用函数的幂级数展开式
•
ex
1 x
1 x2 2!
1 xn , n!
x( ,)
• ln(1x)x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 (1)n xn1
(1x)m1mxm(m1) x2 2!
m(m1)(mn1)xn(1x1) n!
m (m1)(mn1)xn
n0
n!
说明：
称为二项展开式 .
1 . 在 x1 处的收敛性与 m有关 .
2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式
就是代数学中的二项式定理. 14
(1x)m1mxm(m1) x2 2!
1 1 x2
1x2x4(1)nx2n
(1x1)
16
例5. 将函数 f (x) ln1(x) 展开成 x 的幂级数 .
解: f (x) 1
(1)nxn (1x1)
1 x n0
从 0 到 x 积分
ln1(x)
x
(1)n xndx
(1)n
n0 0
n0 n1
xn1 ,
11 xx 1
上式右端的幂级数在 x 1收敛 , 而 ln1(x) 在 x 1 有
m(m1)(mn1)xn, x(1,1) n!
当 m = –1 时
1 1xx2x3 ( 1 )nxn , x(1,1) 1 x
25
作业11-4 P223
2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6
26
F (x)m 1m 1 1x(m 1 )2!m (2 )x2