九年级旋转几何综合单元测试卷(含答案解析)
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九年级旋转几何综合单元测试卷(含答案解析)
一、初三数学旋转易错题压轴题(难)
1.探究:如图1和图2,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°.
(1)①如图1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系;
②如图2,若∠B、∠D都不是直角,但满足∠B+∠D=180°,线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(2)拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22.点D、E均在边BC边上,且∠DAE=45°,若BD=1,求DE的长.
【答案】(1)①EF=BE+DF;②成立,理由详见解析;(2)DE=5
3
.
【解析】
【分析】
(1)①根据旋转的性质得出AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,求出∠EAF=∠GAF=45°,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案;
②根据旋转的性质作辅助线,得出AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,求出C、D、G 在一条直线上,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案;
(2)如图3,同理作旋转三角形,根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°,BC=4,根据旋转的性质得出AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD =∠DAE=45°,证△FAD≌△EAD,根据全等得出DF=DE,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3﹣x,根据勾股定理得出方程,求出x即可.
【详解】
解:(1)∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠ADC+∠ADG=90°
∴F、D、G共线,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,
即∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中,
∵
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF,
故答案为:EF=BE+DF;
②成立,
理由:如图2,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,
则AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADC+∠ADG=180°,
∴C、D、G在一条直线上,
与①同理得,∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中,
∵
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=BE+DF;
(2)解:∵△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,
由勾股定理得:BC22
AB AC
+4,
如图3,把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合,连接DF,
则AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,
∵∠DAE=45°,
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°,∴∠FAD=∠DAE=45°,
在△FAD和△EAD中
AD AD
FAD EAD AF AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△FAD≌△EAD(SAS),
∴DF=DE,
设DE=x,则DF=x,
∵BC=4,
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x,
∵∠FBA=45°,∠ABC=45°,∴∠FBD=90°,
由勾股定理得:DF2=BF2+BD2,x2=(3﹣x)2+12,
解得:x=5
3
,
即DE=5
3
.
【点睛】
本题考查了四边形的综合题,旋转的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理的应用,此题是开放性试题,运用类比的思想;首先在特殊图形中找到规律,然后再推广到一般图形中,对学生的分析问题,解决问题的能力要求比较高.
2.我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.