九年级旋转几何综合单元测试卷 (word版,含解析)

九年级旋转几何综合单元测试卷 （word 版，含解析）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=?，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC

上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；

（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，

CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出

PMN 面积的最大值．

【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492

【解析】 【分析】

（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；

（2）由旋转可推出BAD CAE ??≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；

（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】

（1）PM PN =，PM PN ⊥；

已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得

12PM EC =

，1

2

PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=? 即得PM PN =，PM PN ⊥

故答案为：PM PN =；PM PN ⊥． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得BAD CAE ∠=∠， 又AB AC =，AD AE = ∴BAD CAE ??≌

∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点 ∴PM 是DCE ?的中位线 ∴1

2

PM CE =

，且//PM CE ， 同理可证1

2

PN BD =

，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠， ∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，

DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，

∴

90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=?，

即PMN ?为等腰直角三角形．

（3）把ADE ?绕点A 旋转的如图的位置，

此时1()72PN AD AB =

+=，1

()72

PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ?面积最大值为149

7722

??=． 【点睛】

本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．

2．已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝5，20

3

AD =，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AE 和BE 的长；

（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的

ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD

交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长． 【答案】（1）4；3 （2）3或163 （3）2512525310103243

-、、103 【解析】 【分析】

（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解

BE 即可，

（2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案，

（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解'

,,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案． 【详解】

解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，20

3

AD =

， 由勾股定理得：2

22025

533BD ??=+= ???

．

11

,22

ABD

S

BD AE AB AD =

?=?．

25

3

20

5

3 4.

AB AD

AE

BD

?

?

∴===

在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，

由勾股定理得：BE＝3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：

由对称的性质可知，∠1＝∠2．

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠3＝∠4，

∴∠3＝∠2，

∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；

②当点F′落在AD上时，

∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，

∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，

,

AB AD

⊥

∴A′B′⊥AD，

'''',

B F D B DF

∴∠=∠

∴△B′F′D为等腰三角形，

∴B′D＝B′F′＝3，

2516

3

33

BB BD B D

''

∴=-=-=，即

16

3

m=．

（3）DQ的长度分别为

2512525

31010

3243

、、或

10

3

．在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，∴∠2＝2∠Q，

∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠Q ， ∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9． 在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=

+=+=．

253103

DQ BQ BD ∴=-=-

； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ， ∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上． ∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，

∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．

在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2

'

2

2

,BF F Q BQ += 即：2

2

2

3(4),BQ BQ +-= 解得：258

BQ =

， 25251253824

DQ BD BQ ∴=-=

-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，

∴ ∠3＝∠4．

∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022

∴∠?

∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，1

49012

∴∠=?-

∠． 1

49012

A Q

B ∴∠'∠?∠＝＝﹣，

1

18019012

A BQ A Q

B ∴∠'?∠'∠?∠＝﹣﹣＝﹣，

∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．

在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ =+=，

25

103

DQ BD BQ ∴=-=

-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，

∴ ∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ ＝BA′＝5，

2510533

DQ BD BQ ∴=-=

-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243

-

-、、或10

3．

【点睛】

本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．

3．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，

25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转

(090)αα<<角度，如图2所示．

()1利用图2证明AC BD

=且AC BD

⊥；

()2当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC 的长和α的正弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）7，

7

25

．

【解析】

【分析】

(1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明AOC BOD

?，得出AC=BD，

延长BD交AC于E，证明∠AEB=90?，从而得到BD AC

⊥.

(2) 如图3中，设AC=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据sinα=sin∠ABC=

AC

AB 即可解决问题

【详解】

()1证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．

∵90

AOB COD

∠=∠=，

∴AOC DOB

∠=∠，

在AOC和BOD中，

OA OB

AOC BOD

OC OD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴AOC BOD

?，

∴AC BD

=，CAO DBO

∠=∠，

∵90

DBO GOB

∠+∠=，

∵OGB AGE

∠=∠，

∴90

CAO AGE

∠+∠=，

∴90

AEG

∠=，

∴BD AC

⊥．

()2解：如图3中，设AC x=，

∵BD 、CD 在同一直线上，BD AC ⊥， ∴ABC 是直角三角形， ∴222AC BC AB +=， ∴222(17)25x x ++=， 解得7x =，

∵45ODC DBO α∠=∠+∠=，45ABC DBO ∠+∠=， ∴ABC α∠=∠， ∴7

sin sin 25

AC ABC AB α=∠==． 【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.

4．（特例发现）如图1，在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ．求证：EP=FQ ．

（延伸拓展）如图2，在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作Rt △ABE 和Rt △ACF ，射线GA 交EF 于点H ．若AB=kAE ，AC=kAF ，请思考HE 与HF 之间的数量关系，并直接写出你的结论．

（深入探究）如图3，在△ABC 中，G 是BC 边上任意一点，以A 为顶点，向△ABC 外作任意△ABE 和△ACF ，射线GA 交EF 于点H ．若∠EAB=∠AGB ，∠FAC=∠AGC ，AB=kAE ，AC=kAF ，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．

（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ 分别与△AEF 的两边AE 、AF 分别交于点M 、N ，若△ABC 为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；

求证：当∠IHJ 在旋转过程中，△EMH 、△HMN 和△FNH 均相似，并直接写出线段MN 的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．

【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.

【解析】

试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，

FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明

△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，

△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．

试题解析：(1)特例发现，如图：

∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，

∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，

∴FQ=AG，∴PE=FQ；

(2)延伸拓展，如图：

∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，

∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，

△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，

∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；

(3)深入探究,如图2，

在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，

∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，

△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，

∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；

(4)应用推广,如图3，

在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，∴AE=AF，∵∠EAB=∠AGB，

∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H为EF中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，

∴∠EHM=∠FHN．∵∠AEF=∠AFE，∴△HEM∽△HFN，∴，∵EH=FH，

∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN∽△HFN，∴△MHN∽△HFN∽△MEH，在△HMN中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN最小，只有△HMN是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN∴MN∥EF，∵△AEF为等边三角形，∴MN为

△AEF的中位线，∴MN min=EF=×2=1．

考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.

5．综合与实践 问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中

90,2,2ACB DCE AC CD ?∠=∠===.

观案发现

（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度； 操作证明

（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论. 探究发现

（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为(

)

0180αα??

<<，

DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.

（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.

【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =；（4）AD BE ⊥ 【解析】 【分析】

（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；

（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ???，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；

（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；

（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥. 【详解】 （1）

,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=?，

BE AD ∴=，

F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，

G 是BD 的中点，

//,//HF AD FG BE ∴，

AD BE ⊥，HF GF ∴⊥， 90HFG ∴∠=?；

（2）证明：如下图，连接AD BE ，，

由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=?， 又∵AC=BC ，

()ACD BCE SAS ∴???，

AD BE ∴=，

F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，

G 是BD 的中点，

11

,22

FH AD FG BE ∴==，

FH FG ∴=；

（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥??，，都是等腰直角三角形，

2CD =1CF DF ∴==，

2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=

31BD BF DF ∴=-=，

G 是BD 的中点，31

2

DG ∴=

， 31BD BF DF ∴=-=；

（4）AD BE ⊥.

连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥， ∵ECD ?是等腰直角三角形， ∴F 是ED 中点， 又∵H 是AE 中点， ∴AD ∥HF ， ∵HF ⊥ED ， ∴AD BE ⊥. 【点睛】

本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.

6

．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ． ①求证：四边形BFDE 是菱形； ②直接写出∠EBF 的度数；

(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；

(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.

【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2． 【解析】 【分析】

（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．

②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题． （2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．

（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题． 【详解】

（1）①证明：如图1中，

∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ， ∴∠EDO ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中，

EDO FBO OD OB

EOD BOF ∠∠??

??∠∠?

＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，

∴EO＝OF，∵OB＝OD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，OB＝OD，

∴EB＝ED，

∴四边形EBFD是菱形．

②∵BE平分∠ABD，

∴∠ABE＝∠EBD，

∵EB＝ED，

∴∠EBD＝∠EDB，

∴∠ABD＝2∠ADB，

∵∠ABD+∠ADB＝90°，

∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，

∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，

∴∠EBF＝60°．

（2）结论：IH＝3FH．

理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．

∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，

∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，

∴∠JDH＝∠FGH，

在△DHJ和△GHF中，

DHG GHF

DH GH

JDH FGH

∠∠

?

?

?

?∠∠

?

＝

＝

＝

，

∴△DHJ≌△GHF，

∴DJ＝FG，JH＝HF，

∴EJ＝BG＝EM＝BI，

∴BE＝IM＝BF，

∵∠MEJ＝∠B＝60°，

∴△MEJ是等边三角形，

∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°

在△BIF和△MJI中，

BI MJ

B M

BF IM

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△BIF≌△MJI，

∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，

∴IH⊥JF，

∵∠BFI+∠BIF＝120°，

∴∠MIJ+∠BIF＝120°，

∴∠JIF＝60°，

∴△JIF是等边三角形，

在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，

∴∠FIH＝30°，

∴IH＝3FH．

（3）结论：EG2＝AG2+CE2．

理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，

∵∠FAD+∠DEF＝90°，

∴AFED四点共圆，

∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，

∴∠ADF+∠EDC＝45°，

∵∠ADF＝∠CDM，

∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，

在△DEM和△DEG中，

DE DE

EDG EDM

DG DM

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△DEG≌△DEM，

∴GE＝EM，

∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，

∴∠ECM＝90°

∴EC2+CM2＝EM2，

∵EG＝EM，AG＝CM，

∴GE2＝AG2+CE2．

【点睛】

考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.

7．(1)问题发现

如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.

填空:线段AD,BE之间的关系为 .

(2)拓展探究

如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.

(3)解决问题

如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.

【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32．

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE

交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．

（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；

（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-32≤BE≤5+32.【详解】

（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如图1中，

∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∠ACB=∠ACD=90°，

在Rt△ACD和Rt△BCE中

AC BC

ACD BCE

CD CE

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠EBC=∠CAD

延长BE交AD于点F，

∵BC⊥AD，

∴∠EBC+∠CEB=90°，

∵∠CEB=AEF，

∴∠EAD+∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．

∴AD=BE，AD⊥BE．

故答案为AD=BE，AD⊥BE．

（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．

∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴ACD=∠BCE，

在Rt△ACD和Rt△BCE中

AC BC

ACD BCE

CD CE

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，

∴AD⊥BE，

∴AD=BE，AD⊥BE．

（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，

图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，

即5-32≤PC≤5+32．

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

8．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①30°或150°，②AF'的长最大值为

2 2

2 +

315

α=．

【解析】

【分析】

（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；

（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，

α=150°；

②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=

2

+2，此时α=315°．

【详解】

(1)如图1,延长ED交AG于点H,

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

90

OA OD

AOG DOE

OG OE

=

?

?

∠=∠=?

?

?=

?

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况：

(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时，

∵OA=OD=

1

2

OG=

1

2

OG′，

∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=

OA

OG'

=

1

2

，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD,OA⊥AG′，

∴OD∥AG′,

∴∠DOG′=∠AG′O=30°°，

即α=30°；