三角形、勾股定理、平行四边形
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。
2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。
例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。
3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。
4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。
通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。
5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。
通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。
这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。
八年级下册数学几何模型大全
八年级下册数学几何模型大全
1. 三角形
- 定义、性质及分类
- 三角形内角和定理
- 直角三角形及勾股定理
- 等腰三角形及其判定方法
- 等边三角形及其性质
- 外角和定理
- 三角形中位线定理
- 海龙公式及其应用
2. 四边形
- 定义、性质及分类
- 平行四边形及其性质
- 矩形及其性质
- 正方形及其性质
- 菱形及其性质
- 梯形及其性质
- 同底角定理
- 对顶角定理
3. 圆形与圆柱
- 圆的定义及性质
- 圆的构造方法
- 圆心角及其性质
- 圆周角及其性质
- 弧长、扇形面积和弦长公式
- 圆锥、圆台和圆球的定义及性质
- 相关公式的推导和应用
4. 三维几何体
- 立体图形的定义和分类
- 平行六面体的性质及应用
- 正方体的性质及应用
- 定义和性质
- 圆锥、圆台和圆球的定义及性质
- 相关公式的推导和应用
5. 仿射变换与相似变换
- 旋转、平移、翻折等仿射变换及其性质- 相似变换及其性质
- 中心相似变换与比例尺因子
- 相关定理及其证明
- 典型例题的解答
6. 三角函数
- 三角函数的定义
- 常见三角函数及其图像、性质和周期- 三角函数的基本关系
- 三角函数的三角恒等式与逆函数
- 解三角函数方程的方法
- 三角函数在实际应用中的作用和意义。
平行四边形勾股定理解直角三角形
四边形考点一、四边形的相关概念（3分）1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。
2、凸四边形：把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。
3、对角线:在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
4、四边形的不稳定性:三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。
但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。
5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。
考点二、平行四边形（3~10分）1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
初中数学勾股定理与四边形知识点总结
勾股定理知识点回顾１、勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBAbacbac cabcaba bcc baE D CBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３、勾股定理的适用范围：只适用于直角三角形４、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５、勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，当△ABC 是钝角三角形时，②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ６、勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７、勾股定理的应用在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８、勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９、勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°DCBAADB CCB DA知识运用题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为DBAC21EDCBA例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BAC题型三：实际问题中应用勾股定理例5如图，水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.例6.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例7.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例8.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例9.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =D CBA四边形知识点回顾知识一：多边形内角和与外角和1.n边形内角和为（n-2）180°,外角和为360°。
勾股定理、四边形知识点梳理
勾股定理、四边形知识点梳理直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R=1：2+1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三角形中位线（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=12BC．平行四边形性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等平行四边形判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．菱形性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积= ab/2 ．（a、b是两条对角线的长度）菱形判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形矩形性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．注意（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）。
三角形知识点总结完
三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （RtA^RtA）2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角 形。
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
结论总结：①高二亘边【即： AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即：S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定 性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④斜边中 线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
”）5、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高二 直角边的乘积 斜边（1）线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点人、B 为圆心， 以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点乂、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。
初中几何基础模型赏析——初中生必会的48个模型结论
初中几何基础模型赏析——初中生必会的48个模型结论几何学是一门需要大量练习的学科，而熟练掌握几何模型结论是初中生学好几何学的前提。
以下是初中生必会的48个几何模型结论，希望能够帮助同学们更好地掌握几何学知识。
1. 垂线段定理：垂直于一条直线的所有线段长度相等。
2. 同位角定理：同位角相等。
3. 对顶角定理：对顶角相等。
4. 外角定理：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
5. 内角和定理：一个n边形的内角和为（n-2）×180°。
6. 直角三角形勾股定理：直角三角形两直角边上的平方和等于其斜边上的平方。
7. 等腰三角形底角定理：等腰三角形底角相等。
8. 等腰三角形高角定理：等腰三角形高角相等。
9. 等边三角形角定理：等边三角形三个角都是60°。
10. 等角三角形定理：等角三角形三个角相等。
11. 同弧角定理：在同一圆周上的两个弧所对应的圆心角相等。
12. 弧度制与度数制的转换：1弧度=180°/π。
13. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
14. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有a=b+c-2bc cosA。
15. 正切定理：在任意三角形ABC中，有tanA=a/b。
16. 相似三角形定理：相似三角形对应角度相等，对应边比例相等。
17. 切线定理：切线与半径垂直。
18. 弦切角定理：弦切角等于弦所对的圆心角的一半。
19. 弧切角定理：弧切角等于弧所对的圆心角的一半。
20. 环形角定理：在同心圆中，对于同一条弦所对的两个角，小弧所对的角比大弧所对的角小一半。
21. 正多边形的内角定理：正n边形的每个内角大小为（n-2）×180°/n。
22. 正多边形的外角定理：正n边形的每个外角大小为360°/n。
23. 中线定理：三角形三条中线交于一点，且此点到三角形三个顶点距离的平均值等于三角形三个顶点到中点距离的平均值。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
平行四边形与三角形
平行四边形与三角形作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第04期平行四边形被定义为两组对边分别平行的四边形.由这个定义出发，可以证明平行四边形被其一条对角线分为一对全等三角形，从而得出平行四边形的“对边相等”“对角相等”.由此又可以继续证明平行四边形被其两条对角线分为两对全等三角形，从而得出平行四边形“对角线互相平分”，回顾这样的研究过程可以发现.虽然三角形是最简单的多边形，但是它与平行四边形有密切的联系.认识平行四边形时，借助三角形来思考是非常有效的方法，符合“化繁为简，由简求繁”的认识事物的原则.人民教育出版社一借助三角形研究平行四边形德性质平行四边形除了具有“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”这些基本性质，还有一些其他性质，它们的发现与证明往往也会借助三角形.同学们都知道，平行四边形“对边相等”“对角线互相平分”.但平行四边形的边与对角线在长度上有什么关系吗？“由特殊到一般”是研究问题常用的方式.我们不妨从菱形这种特殊的平行四边形入手来思考，如图1. 在菱形ABCD中，对角线互相垂直平分.根据勾股定理，在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=（AC/2）2+（BD/2）2=AC2+BD2/4，于是4AB2=AC2+BD2.又由菱形各边相等，得4AB2=AB2+BC2+CD2+DA2，于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.这就是说，菱形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.对于矩形，也可证明它有上述性质，矩形和菱形都有上述性质，那么一般平行四边形很可能也有此性质.上面的思考中借助了直角三角形，对一般平行四边形不妨也照此思考.如图2，作□ABCD的高线DE和CF.根据勾股定理，在Rt△AFC中.AC2=AF2+CF2=（AB+BF）2+BC2-BF2=AB2+BC2+2AB·BF;在Rt△BED中，BD2=BE2+DE2=（AB-AE）2+DA2-AE2=AB2+DA2-2AB·AE.由DE⊥AB，CF⊥AB，AB//DC，得DE=CF（平行线间的距离相等）.又AD=BC（平行四边形对边相等），故有Rt△AED≌Rt△BFC，AE=BF.又AB=DC （平行四边形对边相等），于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.这就是说，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.在上面的探究中，勾股定理和全等三角形发挥了重要作用.事物之间的联系是双向的.一方面，利用三角形可以研究平行四边形的性质;另一方面，利用平行四边形的性质也可以解决三角形的问题，请看下例.例1 如图3，点P在□ABCD内，△APD和△APB的面积分别为4和8.求△APC的面积.分析：△APC的面积等于□ABCD的面积之半减△APD和△DPC的面积，如果能利用平行四边形的性质，理清图中各三角形面积之间的数量关系，便可使问题得解.解：记△APD，△APB，△BPC和△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中S1=4，S2=8.如图4，过点P作□ABCD的高EF，则S2+S4=1/2PE·AB+1/2PF·DC.电AB=DC，得S2+S4=1/2（PE+PF）·AB=1/2EF·AB，此即□ABCD面积之半.于是S1+S3=S2+S4，进而得S3-S4=S2-S1=8-4=4，故53=S4+4.记△APC的面积为s.由对角线将平行四边形分为两个全等三角形，得S1+S4+.S为平行四边形面积之半，即S1+S4+S=S1+S3，进而得S4+S=S3=S4+4，所以S=4.借助三角形来判定平行四边形判定一个四边形是平行四边形，可以依据平行四边形的定义（对边平行），还可以看其是否满足“对边相等”“对角相等”“两条对角线互相平分”“一组对边平行且相等”这些判定条件中的任何一个.这些判定条件的推导过程大都利用了全等三角形（见教科书）.在更复杂的平行四边形判定问题中，为了使用定义或判定条件，往往也要借助三角形创造条件.例2 如图5，点D和点E分别在等边△ABC的边AB和BC上，BD=CE.以AE为一边作等边△AEF.四边形CDFE是平行四边形吗？如果是，给出证明;如果不是，说明其中的理由.分析：要判断四边形CDFE是否为平行四边形，须看它是否满足平行四边形的定义或判定条件.问题中已知两个等边三角形，利用等边三角形各边相等和各内角都等于60°，可以证明图中有全等三角形，进而可以通过对应边或对应角的相等进行判断.解：四边形CDFE是平行四边形，理由如下：连接BF.如图6.由AB=AC，AF=AE，∠FAB=60°-∠BAE=∠EAC.得△AFB≌△AEC.BF=CE.≌FBA=≌ECA =60°.又BD=CE=BF，故△DFB是等边三角形.FD=BD=EC，∠FDB=600=厶DBC，FD//EC.根据FD∥=EC，可知四边形CDFE是平行四边形.从上面的证明可以看出，有些判定平行四边形的问题，不是简单地使用定义或判定条件就能解决的，而往往要构造出有利于分析和解决问题的三角形.相对于一般三角形而言，直角三角形和等腰三角形是特殊的三角形，等腰直角三角形是更特殊的三三角形.相对于一般平行四边形而言，矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形是更特殊的平行四边形.特殊的三角形与特殊的平行四边形之间有密切的联系，矩形可以看作两个全等的直角三角形将斜边重合而成;菱形可以看作两个全等的等腰三角形将底边重合而成，或看作四个全等的直角三角形将直角边重合而成：正方形可以看作兩个全等的等腰直角三角形将斜边重合而成，或四个全等的等腰直角三角形将直角边重合而成.因此，研究特殊平行四边形时，特殊三角形就成为了常用的工具.例3 试用一张长为2、宽为1的矩形纸条，折出一个面积为1/2的正方形.说明你的做法，并证明其正确.分析：面积为1/2的正方形的边长为√2/2，对角线为1.它可由两个斜边为1的等腰直角三角形，将斜边重合而拼成.以此为思考的切入点，可得如下做法（做法说明和证明略）.可以看出，等腰直角三角形在上例的解答中发挥了不可或缺的作用.利用对角线把平行四边形转化为两个全等的三角形，也为面积的转换提供了方便.请看下例.例4 如图8，四边形EFGH的面积为5.它的顶点分别在正方形ABCD的四条边上，EG=3，FH=4.求正方形ABCD的面积.分析：如果能把已知条件与正方形的边长联系起来，则能使问题得解.解：如图9，分别以点E，F，G，H为一个端点，作与正方形的边平行的线段，这些线段的另一端点落在正方形的边上，根据矩形定义可知，这些线段相交构成大小不等的多个矩形，并使图中又出现了一些三角形，四边形EFCH由Rt△EFJ，Rt△FGK，Rt△GHL，Rt△HEI和矩形IJKL组成，这四个直角三角形和矩形IJKL的面积之和为5.矩形IJKL的面积为IJ·JK.设正方形ABCD的边长为x，由勾股定理得IJ·JK=√42-x2·√32-x2.注意到矩形AEIH，BFJE，CGKF，DHLG各自都被对角线分为两个全等的直角三角形，这四个矩形面积之和等于Rt△HEI，Rt△EFJ，Rt△FGK，Rt△GHL面积之和的2倍，由此可知，5x2等于矩形AEIH，BFJE，CGKF，DHLG面积之和加上2乘矩形IJKL的面积，此即正方形ABCD的面积加矩形IJKL的面积.列式表示即5x2=X2+√42-x2·√32-x2，于是移项整理得10-X2=√（16-x2）（9-x2）.两边平方，得100-20x2+x4=144-25x2+x4，解得正方形的面积x2=44/5.在此例中，添加辅助线后出现的矩形和三角形，为发现面积中的数量关系创造了条件，综上所述，三角形这个基础图形虽然简单，但它对进一步学习其他复杂的图形非常有用.同学们应注意利用三角形来研究图形问题.。
勾股定理的500种证明方法
勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。
它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。
2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。
我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。
将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。
再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。
最后，化简为a² + b² = a² + b²。
我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。
3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。
然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。
接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。
我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。
根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。
我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。
4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。
5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。
然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。
6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。
7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。
以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。
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初中数学三角形、勾股定理、平行四边形综合测试一．选择题（共20小题）1．（2012•兰州）一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从A点到B点经过的路线长是（） A 4 B 5 C 6 D 72．（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） A 6 B 8 C 10 D 122 3 4 5长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 46．（2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC 于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A 16 B 15 C 14 D 137．（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（） A 2 B 2 C 4 D 48．（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x678 9 1010．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂B折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）12．（2008•龙岩）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴．12 1314 1513、（2013•牡丹江）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（）A 4 B 3 C 2 D 114、（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A AB∥DC，AD∥BCB AB=DC，AD=BC C AO=CO，BO=DOD AB∥DC，AD=BC15、如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（） A 5 B 10 C15 D 20二．解答题（共10小题）16、（2013•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．17．（2010•菏泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．18．如图，△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G，连接BE．（1）若△ABC的面积是1，则△ADE的最小面积为___；（2）求证：△AEB≌ADC；（3）探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由．19．如图一，三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点．问题（1）：猜想DE与BC的数量关系；（不必说明理由）如图二，点O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接．问题（2）：如果DEFG能构成四边形，根据问题（1）的猜想，则四边形DEFG是否为平行四边形，说明理由．问题（3）：当点O移动到△ABC外时，（2）中的结论是否仍然成立？画出图形，不必说明理由．19．如图，等腰Rt△ABD中，AB=AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM=AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．（1）求证：∠BEN=∠BGN．（2）求的值．（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．30．如图一，三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点．问题（1）：猜想DE与BC的数量关系；（不必说明理由）如图二，点O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接．问题（2）：如果DEFG能构成四边形，根据问题（1）的猜想，则四边形DEFG是否为平行四边形，说明理由．问题（3）：当点O移动到△ABC外时，（2）中的结论是否仍然成立？画出图形，不必说明理由．2014年2月庞争伟的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2013•盐城）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）2．（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）AB=2BE==，B==83．（2012•枣庄）如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）=4．（2012•临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）5．（2011•重庆）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（）EF=DE=CD=2GC CE=×6=6．（2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC 于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）7．（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（），=28．（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）OP=，，＜9．（2012•荆州）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）×=，BP=．10．（2011•金华）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）AC=11．（2011•菏泽）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）．EBA=∠，．12．（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）BBC×BC×AP==513．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）+5AB==AB==．514．（2008•龙岩）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．=4．S=×AD==215．（2005•兰州）一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从A点到B点经y=．所以，AC=，=．16．（2013•牡丹江）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（）17．（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）18．（2011•郴州）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）19．（2003•广西）如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（）20．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有（）个．二．解答题（共10小题）21．（2013•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．，=2．（1）求∠BAC的度数．（2）若AC=2，求AD的长．．23．（2010•菏泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．==5cm24．（2009•临夏州）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．25．（2007•宁德）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．26．如图，△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G，连接BE．（1）若△ABC的面积是1，则△ADE的最小面积为；（2）求证：△AEB≌ADC；（3）探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由．AB=；27．如图，等腰Rt△ABD中，AB=AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM=AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．（1）求证：∠BEN=∠BGN．（2）求的值．（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．NG=GH=NG=GH=∴29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4；（1）求证：四边形ACED是平行四边形（2）求四边形ACEB的周长．．=2．=AC+CE+EB+BA=10+2．30．如图一，三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点．问题（1）：猜想DE与BC的数量关系；（不必说明理由）如图二，点O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接．问题（2）：如果DEFG能构成四边形，根据问题（1）的猜想，则四边形DEFG是否为平行四边形，说明理由．问题（3）：当点O移动到△ABC外时，（2）中的结论是否仍然成立？画出图形，不必说明理由．DG= EF=BCDE=DG=BCEF=本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．。