第四章不定积分4-1
高等数学 第四章不定积分课后习题详解.doc
第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
高等数学第六版上册(同济大学) 第四章答案
x
2 dx
−
4∫
xdx
+
4∫
dx
=
1 3
x
3
−
2x
2
+
4x
+C
.
(11) ∫ (x2 + 1)2 dx ;
解
∫
(
x
2
+1)
2
dx
=
∫
(
x
4
+
2
x
2
+1)dx
=
∫
x
4
dx
+
2∫
x
2
dx
+
∫
dx
=
1 5
x
5
+
2 3
x
3
+
x
+
C
.
(12) ∫ ( x +1)( x3 −1)dx ;
1
3
解 ∫ ( x +1)( x3 −1)dx = ∫ (x 2 − x + x3 −1)dx = ∫ x 2dx − ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx − ∫ dx
dx =
∫
−1
x2
dx =
−
1 1 +1
− 1 +1
x2
+C
=2
x +C .
2
(4) ∫ x 2 3 xdx ;
解
∫x23
7
xdx = ∫ x 3 dx =
1
7 +1
x3
+C =
3
7 +1
10
高等数学(同济第6版习题课4-1)
（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅
4--1不定积分换元法1
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctaxn)(C
a
a
第四章
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
第四章
例3.
求
dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
d
(
x a
)
a2 x2
a
1
(
x a
)2
1
(
x a
)
2
arcsixnC a
想到 du arcu sC in 1u2
第四章
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
1 (axb)m1C a(m1)
注: 当 m1时
dx ax
b
1lnaxbC a
例2. 求
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx 1(( aaxx )) 2
令 u x , 则 du 1 d x
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求 si2 n xco2 xsdx. 解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
第四章
三、不定积分的性质
第四章
1. kf(x)dxk f (x)dx (k0)
2.[f(x)g(x)d ]xf(x)dxg(x)dx
n
推论: 若 f (x)ki fi(x), 则
例10. 求 secxdx.
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
4-1不定积分的概念
期中考试情况 (10院)
班级 90~100 80~89 70~79
10161 10
9
3
10162 10
解 已知 f ( x) sin x
求 ( ? ) f ( x) 即 ( ? ) sin x
或由题意 f ( x) cos x C1 , 其原函数为
f ( x)d x sin x C1x C2
例3-2
是 e x 的原函数 , 则
f (ln x) d x
1 x
C
0
ln
x
C
x
解 已知 f ( x) e x，
可导函数.
cos x , x 0
有
F(x)
x2 2
c,
x0
因F x在x 0处连续，
(c为待定常数)
lim F ( x) lim F（x） F (0),
x0
x0
得c
1,
从f而( x)
sin
x
,
x
0
cos x,x x, x 0 0
F
(
x)
x2 2
1,
x0
F (0)
lim
x0
F(
的积分曲线族.
y y F(x) C
注
的积分
曲线族是 f (x) 的 所有积分曲线组成
y F(x)
的平行曲线族.
o
x0
x
例1 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程 y f ( x). 解
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
（2）[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)d x
第四章不定积分
三、基本性质
d 性质Ⅰ f ( x)dx f ( x) dx
F ( x)dx F ( x) C
由此可看出积分是微分的逆运算，积分符号中dx就是x
的微分，可以运用微分的计算法则，下面的换元积分法和分 布积分法就是利用微分的运算法则得到的。 性质Ⅱ 性质Ⅲ 推论
f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx af ( x)dx a f ( x)dx a f ( x) a f ( x) a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx a f
四、直接积分法 下面讨论不定积分的求法。
若被积函数是基本公式中的形式或通过化简可以化为基
本公式中的某种形式，就可以直接利用公式进行积分，这种
方法称为直接积分法。 例 计算下面的不定积分：
x4 1 1 cos x 1 3 e dx 2 2 dx 3 dx 1 cos 2 x x 1 e ( )x x e 3 x e x 解 1 3 x e x dx ( ) dx 3 C C e 3 1 ln 3 ln( ) 3 1 3 x4 1 2 2 )dx x x 2 arctan x C 2 2 dx ( x 1 2 x 1 1 x 3
见课本第205页。
例 求积分∫(1+x3)2dx。 解
(1 x ) dx (1 2x3 x6 )dx
3
2
dx 2 x 3 dx x 6 dx
2 4 1 7 x x x C 4 7
一般几个不定积分相加时， 常把得到的常数加到一起写 成一个常数C 。
1
很容易可以看出：原函数不唯一。事实上，容易得到：
4-1不定积分概念
§1原函数与不定积分的概念
• 1.1 原函数与不定积分的概念
• 定义：设函数 f ( x )
在I区间 上有定义，
如果F (存x )在
，对于x任I意给定
的
，F'都(x有)f(x)
dF (x)f(x)dx
• 或者 F ( x ) f ( x )
f(x)
• 那么称
是f ( x )
• 而作的全 体原f函( x数)d称x为f(x x)dx
就确定
一个F(原x)函C数0
Oxy ，在直角坐
标系
中，C就确定了一条曲线，由
于 是一切实数，所以这样y的曲线有无
穷多条，它们关于 轴可以平移得到f。( x我)
们称这些积分曲线的全体为
的
积分曲线族。（见P83图1.4.1）
• 1.2 基本积分表：
• 1. 0dxC; 2. 1xdxln|x|C;
• 3. coxsdsxix nC;
xadx a1 1xa1C(a1) six ndx cox sC; cs2x cd xco x tC ;
4. se2xcdtxaxn C;
exdxex C;
•
5. 6.
axd1 xa 1axC(a0,a1)
• 7. 1 x 2d x arx c C t a a n c rx o c C t;
8.
1
d xarcx sCin arcx cC o ; s 1-x2
• 9.
§2 不定积分的性质
• 1. 设函数f(x),g(x)
的不定积分都
存在，[ 则f(x ) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
f(x)
【精品】第四章 不定积分
第四章不定积分讲授内容：§4-1不定积分的概念与性质教学目的与要求：1、理解不定积分的概念，理解不定积分与微分之间的关系.2、掌握不定积分的性质，会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分.3、熟练掌握常用积分公式.教学重难点：重点——理解的概念与性质;熟练掌握常用积分公式.难点——不定积分的公式熟练掌握。
教学方法:讲授法教学建议：1、加深对原函数、不定积分的理解.2、对15个积分公式要进行大量练习。
3、求不定积分一定注意不能漏C.学时:2学时教学过程:第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题,本章将讨论它的反问题，即要寻求一个可导函数,使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一.一原函数与不定积分的概念1.定义：如果在区间I上,函数F(x)和f（x),使得:F′(x)=f(x)或dF（x)=f(x)dx，x∈I。
称F(x)为f（x)(或f(x）dx）在区间I上的原函数。
'=，则cos x是sin x的一个原函数.如：(sin)cosx x1(ln )x x '=，1x 是ln x 的一个原函数,问ln 2x 是否是1x的原函数。
2. 定理（原函数的存在定理）：连续函数必有原函数。
即：如果f （x ）在I 上连续,则在I 上必有F (x ），使得:F ′（x )=f （x ). x ∈I .注:①初等函数在定义区间上必有原函数，但原函数并非都是初等函数.②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件,不连续的函数也可能有原函数。
3. 两个原函数的关系如果F（x）为f(x）在区间I上的一个原函数,则F（x)+C为f（x)的原函数。
因为[F（x)+C］′=f(x），如果F（x）和G（x）为f(x）的两个原函数，则有F（x)=G（x)+C.因为［F（x）—G（x)]′=0 F（x)=G（x)+C.4.定义：在区间I上,函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f （x)(或f(x)dx)在I上的不定积分，记为： xx(.f d)即∫f（x)dx=F(x)+C.其中∫为积分符号，f(x）为被积函数，f（x)dx为被积表达式，x为积分变量.注：①不定积分∫f （x ）dx 可以表示f (x )的任意一个原函数。
第四章不定积分4.1不定积分概念与性质
①若 F( x) f ( x)，则对于任意常数 C ，
F ( x) C 都是 f ( x)的原函数.
② G(x)是f(x)的另外一个任意的原函数，
则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
问题1：原函数存在定理
若函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那么在区间I 内一定存在原函数F ( x)， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
注1：“初等函数在其定义区间内一定存在原函 数”. 注2：在某区间内不连续的函数，也可能存在原函数.
问题2：原函数是否唯一？若不唯一，它们之 间有什么联系？原函数的一般表达式？
x
ln(x) 1 1 (x 0)
x x
dx x
ln
|
x
|
C;
1、 (1) kdx kx C (k是常数);
基 (2) xdx x1 C
本 积 (3)
1
dx x
ln
|
x
|
C;
( 1);
分 表
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y F( x),
根据题意知 d F(x) 2x dx
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∴ f ( x) = x + C ,
2
由曲线通过点（1，2）⇒ C = 1,
2 y = x + 1. 所求曲线方程为
-6-
第一节
原函数与不定积分的概念
3 不定积分的几何意义 函数 f ( x ) 的任意一个原函数 F ( x ) 的图形是一条 xoy 平面上的曲线, 称其为函数 f ( x ) 的积分曲线, 由 于 F ′( x ) = f ( x ), 所以积分曲线 y = F ( x ) 上的点 ( x , F ( x )) 处的 切线斜率为 f ( x ). 由于 ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C , 在几何上表示一簇曲线(称为 f ( x ) 的积分曲线簇), 它们的
第一节
原函数与不定积分的概念
第一节 原函数与不定积分的概念
一 二
原函数与不定积分的概念 不定积分的基本积分表及运算法则
第四章 不定积分
-1-
第一节
原函数与不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念
1 原函数的概念 可导函数 F ( x ) 的导函数 定义1 如果在区间 I 内， 为 f ( x ), 即∀x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ), 或 dF ( x ) = f ( x )dx , 那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 在区间 I 内一个原函数. ′ 例如 (sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数 . 1 ′ 1 (ln x ) = ( x > 0), ln x 是 在区间 (0,+∞ )内的原函数. x x 可以证明 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，那么在 都有 区间I 内存在可导函数 F( x)，使 ∀x ∈ I，
-5-
′
第一节
原函数与不定积分的概念
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f ( x ),
第四章 不定积分
dy 根据题意知 = 2 x, dx
即 f ( x ) 是 2 x 的一个原函数.
∵ ∫ 2 xdx = x + C ,
y
y = F ( x ) + C1 (C1 > 0)
y = F ( x)
第四章 不定积分
o
x x
y = F ( x ) + C 2 (C 2 < 0)
方程是 F ( x ) + C , 它们是随着 C 将积分曲线 y = F ( x ) 向正、负 y 轴方向移动， 它们的共同特点是只要横坐 标相同，则对应的切线斜率一定相同。
第一节
原函数与不定积分的概念
第四章 不定积分
( 4)
∫e
x
dx = e + C ;
x
x a (5) ∫ a x dx = + C; ln a
-9-
第一节
原函数与不定积分的概念
( 6) (7)
第四章 不定积分
dx 2 ( 8) ∫ = sec xdx = tan x + C ; ∫ 2 cos x dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = − cot x + C ; sin x (10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C ;
= F ( x) + C , ∫ F ′( x )dx 5
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
6 ⎛x ⎞ x 5 解 ∵ ⎜ ⎟ = x , ∴ ∫ x 5 dx = + C. 6 ⎝ 6⎠ 1 dx . 例2 求 ∫ 2 1+ x 1 ′ 解 ∵ (arctan x ) = , 2 1+ x 1 ∴ ∫ dx = arctan x + C . 2 1+ x
第四章 不定积分
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C
积分常数 被积函数 积分变量 积分号 被积表达式
-4-
第一节
原函数与不定积分的概念
由不定积分的定义，可知
d dx
第四章 不定积分
[∫ f ( x)dx] = f ( x),
6
d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx,
例1 求∫ x dx .
第四章 不定积分
F ′( x ) = f ( x ).
简言之：连续函数一定有原函数.
-2-
第一节
原函数与不定积分的概念
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例如 (sin x ) = cos x
第四章 不定积分
′
(sin x + C ) = cos x
′
关于原函数的说明： （1）若 F ′( x ) = f ( x ), 则对于任意常数 C , F ( x ) + C 都是 f ( x ) 的原函数. （2）若 F ( x ), G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，则
-7-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节
原函数与不定积分的概念
二
不定积分基本积分表及运算法则
1 不定积分基本积分表
μ +1
μ +1 ⎛x ⎞ x μ ⎟ ⎜ = x 实例 ⇒ ∫ x μ dx = + C. μ+1 ⎝ μ + 1⎠ ( μ ≠ −1)
′
第四章 不定积分
启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此 可以根据求导公式得出积分公式.
F ( x ) − G( x ) = C （ C 为任意常数） ′ 证 ∵ [F ( x ) − G ( x )] = F ′( x ) − G ′( x )
= f ( x ) − f ( x ) = 0,
-3-
∴ F ( x ) − G( x ) = C
第一节
原函数与不定积分的概念
2 不定积分的概念 定义2 如果 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 内的一个原函数, 则 f ( x ) 的全体原函数 F ( x ) + C (C为任意常数 ), 为函 数 f ( x ) 的不定积分, 记作 ∫ f ( x )dx . 即
基本积分表
(1)
( k 是常数);
-8-
∫ kdx = kx + C
μ +1 x ( 2) ∫ x μ dx = + C (μ ≠ −1); μ+1 dx (3) ∫ = ln | x | + C ; dx x x > 0, ⇒ ∫ = ln x + C , 说明： x dx dx = ln | x | + C , x < 0, ∫ = ln( − x ) + C , ∴ ∫ x x dx 简写为 ∫ = ln | x | + C . x