指数函数1
4.2指数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第四章指数函数与对数函数4.2指数函数第1课时指数函数的概念【课程标准】1.了解指数函数的概念2.区分两类指数函数，了解不同点。
3.掌握指数函数的性质【知识要点归纳】1.指数函数的定义一般地，函数(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.（2）要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③a x的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.2.指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：R 判断一个函数是指数函数的方法(1)形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征. (2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.例1 下列函数中是指数函数的是________.(填序号)[跟踪训练] 1 （1）函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________.（2）若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( )A.(2)xB.2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.⎝ ⎛⎭⎪⎫22x()()()()()()()2123231=________.x x f x a a a f x a a a f =-=-例2.函数是指数函数，则的取值范围是________.函数是指数函数,则例3.已知指数函数的图像过点（2,81），求这个函数的解析式指数函数图象问题(1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.例2 (1) 函数f (x )＝a x ＋1－2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________.[跟踪训练] 2 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( )A.(－1,5)B.(－1,4)C.(0,4)D.(4,0) (2)函数y ＝2|x |的图象是( )【当堂检测】一．选择题（共6小题）1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．0a >且1a ≠B ．0a 且1a ≠C ．12a >且1a ≠ D ．12a2．函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于( )对称．A ．原点B ．y x =C ．y 轴D ．x 轴3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．24．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．2B ．12C ．4D ．14二．填空题（共2小题）7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 ．8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = ．当堂检测答案一．选择题（共6小题）1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．0a >且1a ≠B ．0a 且1a ≠C ．12a >且1a ≠ D ．12a【分析】根据指数函数的定义，列出不等式组求出a 的取值范围． 【解答】解：函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则210211a a ->⎧⎨-≠⎩，解得12a >且1a ≠；所以a 的取值范围是1{|2a a >且1}a ≠． 故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的定义与应用问题，是基础题． 2．函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于( )对称．A ．原点B ．y x =C ．y 轴D ．x 轴【分析】根据1()2()()2x x f x g x --===，即可得到结论．【解答】解：1()2()()2x x f x g x --===，∴函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于y 轴对称，故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【分析】令0x m +=求出x 的值和此时y 的值，从而求出函数的图象恒过定点坐标，即可求出m 的值．【解答】解：令0x m +=得：x m =-，此时012y a =+=， 所以函数的图象恒过定点(,2)m -， 即点(,2)P m -，所以1m -=-，即1m =， 故选：C ．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令指数整体为0是本题的解题关键，是基础题．4．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【分析】由题意利用指数函数、幂函数的单调性和特殊点，判断a 、b 、c 的大小关系． 【解答】解：函数0.3x y =在R 上是减函数，0.60.5>， 0.50.60.30.3∴>，即b a >．又函数0.5y x ==(0,)+∞上是增函数，0.40.3>，0.50.50.40.3∴>，即c b >．综上，可得c b a >>， 故选：D ．【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的单调性和特殊点，属于基础题． 5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =【分析】由指数函数的定义即可判断出选项A 不是指数函数． 【解答】解：指数函数是形如(0x y a a =>且1)a ≠的函数，对于1:222x x A y +==⨯，系数不是1，所以不是指数函数； 对于1:3()3x x B y -==，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于:4x C y =，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于3:28x x D y ==，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 故选：A ．【点评】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题．6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．2B ．12C ．4D ．14【分析】由x y a =的单调性，可得其在0x =和1时，取得最值，列出方程求出a 的值．【解答】解：根据题意，由x y a =的单调性，可知其在[0，1]上是单调函数，即当0x =和1时，取得最值， 即013a a +=，可得01a =， 则12a =， 即2a =， 故选：A ．【点评】本题考查了指数函数的单调性以及其图象的特殊点问题，是基础题目． 二．填空题（共2小题）7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 (1,5) ． 【分析】令10x -=求出x 的值和此时y 的值，从而求出点P 的坐标． 【解答】解：令10x -=得：1x =，此时032325y a =+=+=，∴函数()f x 的图象恒过定点(1,5)，即点(1,5)P ， 故答案为：(1,5)．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令a 的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．【分析】令幂指数等于0，求得x 、y 的值，可得点A 的坐标，再利用待定系数法求幂函数的解析式．【解答】解：对于函数23(0,1)x y a a a -=+>≠，令20x -=，求得2x =，4y =，可得它的的图象恒过定点(2,4)A ，点A 在幂函数()y f x =的图象上，∴设()f x x α=，则有42α=，2α∴=，则2()f x x =， 故答案为：2x ．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．。
高一数学-指数函数第1课时
y 2 与 y ( )
x
1 2
x
y 2
x
x
y 3 与 y ( )
x
1 3
y 3
x
观察右边图象，回答下列问题： 问题一： 图象分别在哪几个象限？
Ⅰ、Ⅱ 答四个图象都在第＿＿＿＿象限。
1 x y( ) 1 x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
Y=1
问题二： 图象的上升、下降与底数a有联系吗？
2^x
第一次
第二次 第三次 第x次
表达式
y=2 …………
……
x
细胞个数y关于分裂次数x的表达式为
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设 原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数 关系式？ 列表： x y 1 0.85 2
2
3
4
5
6
0.85
6
0.85 0.85 3 0.85 4 0.85 5
整理得：x 2 x 3 0
2
解得：
3 x 1
原不等式的解集为：{ x | 3 x 1}
练习： 一、判断大小
二、解下列不等式
4
0 .3
4
0 .4
① 2
x x
2
( )
1 4
x2
0.1
0 .3
0 .1 3 3
0 .4
0.3
( 3 x 1)( 2 x 1)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.
应用示例： 例1、求下列函数的定义域：
①
y 2
x 1
3 x
2
1 ② y 3
解： ① ②
指数函数第1课时教案
指数函数第1课时教案指数函数【教学目标】1.理解指数函数的概念，能正确表述指数函数的定义域，能区分指数函数与幂函数.2. 能用描点法作指数函数的图象..3.体会数学与现实生活的联系；体会研究具体函数方法，如具体到一般的过程、数形结合等．【教学重点】理解指数函数的概念.【教学难点】指数函数的判断以及用五点法做出函数图像.【教学方法】这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，指导学生利用函数的图象了解函数的有关性质．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，一个这样的细胞分裂5次后，得到个细胞；分裂8次后，得到个细胞；若分裂次，得到的细胞个数与之间的关系是 .（2）有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长的一半，第二次再剪去剩下绳子的一半，……，剪了4次后剩下米；剪去次后绳子剩下的长度米与之间的关系是 .教师分析解题的过程，得到y＝2x 和y＝(1/2)x．．通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用．新课新课新课一、指数函数的定义一般地，函数y＝ax (a＞0且a¹1，xîr)叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为r．探究1y＝2×3x是指数函数吗？探究2为什么要规定a＞0，且a≠1呢？(1) 若a＝0，则当x＞0时，ax ＝0；当x≤0时，ax无意义．(2) 若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如 (－2)x，这时对于x＝14 ，x＝12 ，…等等，在实数范围内函数值不存在．(3) 若a＝1，则对于任何x r，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a1．在规定以后，对于任何x r，ax都有意义，且 ax＞0. 因此指数函数的定义域是r，值域是 (0，＋∞)．【例1】判断下列函数是否是指数函数？① ; ② ; ③ ; ④练习1 指出下列函数哪些是指数函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） .二、指数函数的图象和性质【例2】在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝(12)x的图象．(1)列表：略．(2)描点：略．(3)连线：略．练习2 作函数y＝3x与y＝(13)x的图象．【例3】观察例1所作函数的图象，完成下表：函数定义域值域与轴的交点图象位置、升降趋势练习3仿照例3，结合例2的试金石，自制完成表格.函数定义域值域与轴的交点图象位置、升降趋势【思考题】若指数函数的图像过点，求，， .教师板书课题．通过探究问题，教师强调指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1．学生分组合作探究教师提出的问题．教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导．师：函数的图象是研究函数性质的有力工具，那么指数函数的图象是怎样的？如何作指数函数的图象呢？教师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接起来，得到指数函数y＝2x的图象．重复描点、连线的步骤，在同一坐标系中完成指数函数y＝(12)x的图象．请同学分组完成练习2，教师巡查指导．学生完成题目后，利用实物投影将学生的解答投影到屏幕．师：指数函数：y＝2x，y＝(12)x，y＝3x与y＝(13)x的图象有什么共同的特征？又有哪些不同？师：你能用学过的数学语言来表示这些函数的性质吗？教师引导学生用数学语言来表示这些函数的性质．学生分组，采用小组合作形式完成．全体学生一起回答．学生分组，采用小组合作形式完成．由实例的引入，进而归纳出这种自变量在指数位置上的函数——指数函数．对于a＞0，且a≠1这一点，学生容易忽略，通过讨论研究，可以加深学生的印象，从而把新旧知识衔接得更好．同时又可以强化学生对指数函数的定义的理解记忆．让学生完成画图过程，从画图过程中加深对指数函数的感性认识．有条件的学校可以让学生通过计算机画图软件上机操作．为了学习指数函数的性质，先引导学生观察四个函数的图象特征，从而顺理成章地总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律：由特殊到一般，学生很容易接受．增加本例是为学生顺利学习指数函数性质做准备．增加此思考题是想对本节课的知识点做个简单整合,也为后续的学习做些准备.小结1．指数函数的定义；2．指数函数的图象与有关性质.师生共同回顾本节主要内容，加深理解指数函数的概念、图象并了解有关性质．简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．作业1．必做题：《导学》上的《导练》选做题：教材 p103，练习第2题；习题第2题.2．计算机上的练习在同一坐标系中画出函数y＝10x与y＝(110)x的图象，并指出这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材167页)．标记作业．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和计算机上的练习两层．。
指数函数1
5
教学设计
1、课题引入，形成概念 2、发现问题，探求新知
3、当堂练习，巩固基础
4、归纳小结、深化理解
课题引入
设计一个游戏情境，让学生自己动手折纸观察对折的次数 与所得的层数之间的关系，得出对折次数x与所得层数y的 关系式 y 2 x。在学生动手操作的过程中激发学生学习热 情和探索新知的欲望。
设计意图：在此环节中，学生对具体的函数进行观察归纳， 通过合作交流，加之多媒体的动态演示，将具体化为抽象， 并感受了对底的分类讨论的思维方式，从而达到了重难点 的突破。
当堂练习，巩固基础
x 例1 已知指数函数 f ( x) a (a 0且a 1)
的图像经过点 (3, )，求f (0)，f (1)，f (3)。
数图像在研究性质中的作用，强调特殊到一般的思想
方法。
发现问题，探求新知
2
1 x x y 2 , y ( ) , y 3x 让学生用描点法在一个坐标系内画出 2 1 x y ( ) ，这四个函数的图像，学生画完后，在多媒体上展 3
示出这四个图像。再利用几何画板，改变底数a的值得到 一系列指数函数的图像，让学生对底数a的值对图像的影 响有一个直观的认识，此时让学生分组讨论，引导学生总 结出图像的特点，概括指数函数的性质。
再让学生归纳：一根一米长的绳子不断从中间剪n次 之后，剩下的长度和剪的次数之间的关系是 1 x 。
y( ) 2
让学生思考这两个函数有什么共同特征。这样设计的目的是 x 引导学生归纳概括，提炼出指数函数模型 y a ，给出指数 函数的定义。
加深理解概念
引导学生探究两个问题，加深学生对概念的理解： 1、引导学生探究为什么定义中规定a>0且a≠1呢？ 对a的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一 般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性 质埋下了伏笔。 2、给出几个函数，让学生判断哪些是指数函数， 打破学生对定义的轻视。 下列函数哪些是指数函数？
指数函数的图像和性质1
x ... -2 -1 0 1 2 3 ... 10 ...
y=2x ... 0.25 0.5 1 2 4 8 ... 1 024 ...
y=3x ... 0.11 0.33 1 3 9 27 ... 59 049 ...
做一做
描点画出图像
y 3x
y 2x
(1)当x<0时,总有2x>3x;
指数函数 的图像和性质
观察,归纳
指数函数在底数a＞1及0＜a＜1,两种情况的图象和性质如下:
a>1
0＜ a ＜ 1
图 象
(1)定义域:R
性 (2)值域:( 0 ,+∞ )
(3)过点（0，1），即x=0时，
质 y(4=)当1 x>0时,y>1;x<0时0<y<1 (4)当x>0时,0<y<1;x<0时y>1
(2)当x>0时,总有2x<3x;
(3)当x>0时,y=3x比y=2x的函
数值增长得快.
a>b>1时,
(1)当x<0时,总有ax<bx<1;
(2)当x=0时,总有ax=bx=1;
(3)当x>0时,总有ax>bx>1;
(4)指数函数的底数越大,当x>0时,其函数值增
长得就越快.
y 3x
y 2x
(2)因为y=0.75x是R上的减函数,0.1>-0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1.
练习:
比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7 2.5, 1.7 3 (2) 0.8 –0.1, 0.8 –0.2 (3) 1.7 0.3, 0.9 3.1
指数函数运算法则及公式
指数函数运算法则及公式指数函数是一种常见的函数形式，其中自变量作为指数出现。
在进行指数函数的运算时，需要掌握一些基本的法则和公式，以便于简化计算和解决问题。
本文将介绍指数函数的运算法则及公式，并通过实例进行说明。
一、指数函数的基本形式指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数，y为函数值。
当底数为e时，即为自然指数函数，记作y=e^x。
二、指数函数的运算法则1.指数相加减法则：对于同一底数a，有a^m × a^n=a^(m+n)，a^m / a^n=a^(m-n)。
例如，2^3 × 2^4=2^(3+4)=2^7，5^6 / 5^3=5^(6-3)=5^3。
2.指数乘方法则：对于不同底数a、b，有(a × b)^n=a^n × b^n。
例如，(2 × 3)^4=2^4 × 3^4=16 × 81=1296。
3.指数幂运算法则：对于同一底数a和整数m，有(a^m)^n=a^(m × n)。
例如，(3^2)^3=3^(2×3)=3^6=729。
三、指数函数的运算公式1.指数函数的求导公式：对于一般形式为y=a^x的指数函数，有y'=a^x ln a。
例如，y=2^x时，y'=2^x ln 2。
2.指数函数的积分公式：对于一般形式为y=a^x的指数函数，有∫a^x dx=1/ln a × a^x + C。
其中，C为积分常数。
例如，∫2^x dx=1/ln 2 × 2^x + C。
四、实例应用1.已知y=5^x，求y'=?根据指数函数的求导公式，有y'=5^x ln 5。
2.已知y=e^x，求∫y dx。
根据指数函数的积分公式，有∫e^x dx=1/ln e × e^x + C=e^x + C。
3.已知y=3^x × 4^x，化简y。
指数函数(1)
y 3
x
yx
x
下面我们来研究指数函数的图象和性质
设问2：我们研究函数的性质，通常都研究
哪几个性质？
设问3：得到函数的图象一般用什么方法？
列表、求对应的x和y值、描点作图 用描点法绘制 y 2 的草图：
X
用描点法绘制
1 y 的草图： 2
x
定义域为什 么是实数集？
为什么要规定
a>0，a≠1?
探究1：y= a
x
为什么要规定a>0,且a 1呢？ 当x
①若a=0，则当x>0时，a x =0； 0时， a 无意义. x ②若a<0，则对于x的某些数值，可使 a 无意义. 1 1 x 如 ( 2) ，这时对于x= ，x= ……等等，在实数范围内函数值不存在. ③若a=1，则对于任何x R， x a =1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1。
1 ∴函数的定义域为[ , ), 2
值域为(0,1] .
应用
2、比较下列各题中两个值的大小：
3
2.5 3 0.1 0.2 10.80.1 , 0.80.2 ; 0.80.1 , 0.80.2 ; 1.7 2.5 ,1.73 ; 2 7 ; 2
3
1.6
3 1.7 4 1.8
x
1.用列表描点的方法作出函数y 2 ( x R)的图像
x
x
y2
x
… …
-3
-2
-1
0 1
1 2
2 4
3 8
… …
0.13 0.25 0.5
y
《指数函数(1)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《指数函数的图象和性质(1)》教学设计1．理解指数函数的概念、图象和性质．2．在探究式的学习中，体会研究函数的基本方法．重点：指数函数的概念和性质．难点：用指数函数的性质比较不同底数、不同指数的指数幂的大小．一、新课导入情境1．陶渊明曾说过：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．”这句话告诉我们什么道理呢?假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，那么，若干天后会怎样?两年后、三年后会怎样?怎么计算?答案：一天后是1.01，两天后是1.012，三天后是1.013，一年后是1.01365．我们用变量x 表示天数，那么你获取的知识量y 与天数工之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢?答案：y =1.01x (x ∈N +)．假设知识的减少量也按照每天1%计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”翻译成数学的式子，得到什么?答案：y =0.99x (x ∈N +)．计算一下，一个月你减少了多少?一年后你还剩下多少?答案：一个月30天减少了y =1−0．9930，一年365天后还剩下1−0．99365．情境2．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”你能用一个函数来描述它吗?答案：y =(12)x(x ∈N +)．二、新知探究问题1：上述三个函数有何共同特征?答案：以上三个函数都可以写成y =a x 的形式．问题2：根据上面的特征，你能抽象、概括出这类函数的表达式吗?答案：一般地，我们把形如y =a x (a >0，且a ≠1)的函数叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程问题3：请同学们想一想，为何规定a >0，且a ≠1?答案：若a <0则有些函数在实数范围内没有意义，比如，当a =−2，x =12此时函数为y =(−2)12无意义；当a =1时，函数值永远都等于1，研究这样的固定不变量没有价值．问题4：如何讨论一个函数的性质，用什么方法?从什么角度?答案：华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们需要结合函数图象，利用数形结合法研究函数的性质．问题5：指数函数的图象是怎样的?有怎样的性质呢?首先让我们研究一下底数大于1的情形． 学生活动：探究1．请同学们自己按照列表、描点、连线的步骤，借用所给的部分数据，先分别画出函数y =2x ，y =3x 的图象，再把两个图象画在同一平面直角坐标系中进行比较．（给出部分数据，便于学生进行描点．投影学生所作的图象，增强学生学习的信心．） 实例分析：先分析一个具体的指数函数y =2x ． 列表、描点、连线，画出函数y =2x 的图象 x ⋯ -3 -2 -1 0 1 2 3 ⋯ y =2x⋯1814121248⋯从图象可以看出：函数y =2x 的图象位于x 轴的上方；从最左侧贴近x 轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷．由此得到函数y =2x 的性质：函数y =2x 在R 上是增函数，且值域是(0，+∞)．再分析函数y =3x 列表、描点﹑连线，画出函数y =3x 的图象． x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y =3x ⋯1913139⋯从图象可以看出：函数y=3x的图象也是位于x轴的上方；从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷．由此得到函数y=3x的性质：函数y=3在R上是增函数，且值域是(0，+oo)．由此可见函数y=2x与y=3x的性质是完全一样的．在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x 与y=3x的图象，可以看出：在y轴左侧，函数y=3x的图象在函数y=2x的图象下方；在y轴右侧，函数y=3x的图象在函数y=2x的图象上方．探究2．当a>1时，指数函数的图象从左向右是怎样的趋势呢?是上升的还是下降的呢?用几何画板动态演示，观察随着a的变化图象的变化趋势．得出结论：当底数a>1时，指数函数的图象从左向右看是上升的，而且底数越大，图象在y轴右侧的部分就越靠近y轴．对于函数y=a x和y=b x(a>b>1)：当x<0时，0<a x<b x<1；当x=0时，a x=b x=1；当x>0时，a x>b x>1．探究3．你能根据函数图象写出指数函数的性质吗?小组进行讨论．学生观察图象得出性质如下表：（左、右无限延伸）R三、应用举例例1指出下列函数中，哪些是指数函数?（1）y=4∙3x；（2）y=πx；（3）y=(−3)x；（4）y=x3；（5）y=−3x；（6）y=3−x；（7）y=2x+2；（8）y=2x+1．答案：(2)(6)是指数函数，其余均不满足y=a x(a>0，且a≠1)这种形式．设计意图：熟练掌握指数函数的解析式，理解指数函数的概念．例2比较下列各题中两个值的大小；（1）50.8，50.7；（2）7−0.15，7−0.1；（3）1.70.3，3.1−0.1.答案：(1)因为函数y=5x在R上是增函数，且0.8>0.7，所以50.8>50.7；(2)因为函数y=7x在R上是增函数，且−0.15<−0.1，所以7−0.15<7−0.1；(3)因为函数y=1.7x在R上是增函数，且0.3>0，所以1.70.3>1.70=1；因为函数y=3.1x在R上是增函数，且−0.1<0，所以3.1−0.1<1.70=1；因此，1.70.3>3.1−0.1．设计意图：通过比较幂值的大小，进一步理解指数函数的单调性．例3(1)求使不等式4x>32成立的实数x的集合；(2)已知方程9x−1=243，求实数x的值．解：(1)因为4x=22x，32=25，所以原不等式可化为22x>25．，因为函数y=2x在R上是增函数，所以2x>5，即x>52，+∞)．因此，使不等式4x>32成立的实数x的集合是(52（2）因为9x−1=(32)x−1=32x−2，243=35，所以原方程可化为32x−2=35．．因为y=3x在R上是增函数，所以2x−2=5，即x=72四、课堂练习1．某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个⋯⋯一直分裂下去，请写出得到的细胞个数y与分裂次数之间的函数关系式．2．若函数y=(a2−4a+5)∙a x是指数函数，求实数a．3．比较下列各题中两个数的大小：（1）3−2.1，3−2.7；（2）21.6，20.6.参考答案：1.解：分裂个数y=2x，x为分裂次数．2.解：因为函数y=(a2−4a+5)∙a x是指数函数，则a>0且a≠1，且a2−4a+5=1，解得a=2．3．解：(1)因为函数y=3x在R上是增函数，且-2.1>-2.7，所以3−2.1>3−2.7；(2)因为函数y=2x在R上是增函数，且1.6>0.6，所以21.6>20.6．五、课堂小结1．指数函数的概念：一般地，我们把形如y=a x(a>0，且a≠1)的函数叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．（左、右无限延伸）R 教材第89页习题3-3A 组第1题．。
人教A版高中数学必修一课件 《指数函数》指数函数与对数函数(第1课时指数函数的概念、图象及性质)
1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合 y＝ ax(a>0 且 a≠1)这一结构形式．
2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关 系：在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图象 从下到上相应的底数由大变小，即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆 时针方向变大．
(0,1) ，即当 x＝0 时，y＝ 1
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
非奇非偶函数
函数 y＝ax 与 y＝a－x 的图象关于 y 轴 对称
6
思考 1：指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象“升”“降”主要取决于 什么？
提示：指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字 母 a.当 a>1 时，图象具有上升趋势；当 0<a<1 时，图象具有下降趋势．
30
3．由于指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的定义域为 R，所以函数 y＝ af(x)(a>0 且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值 域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
31
当堂达标 固双基
32
1．思考辨析 (1)y＝x2 是指数函数．( ) (2)函数 y＝2－x 不是指数函 数．( ) (3)指数函数的图象一定在 x 轴 的上方．( )
21
指数函数的定义域、值域问题
[探究问题] 1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？ 提示：定义域相同． 2．如何求y＝2x2＋1的值域？ 提示：可先令 t＝x2＋1，则易求得 t 的取值范围为[1，＋∞)，又 y＝ 2t 在[1，＋∞)上是单调递增函数，故 2t≥2，所以 y＝2x2＋1 的值域为[2， ＋∞)．
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2x 2 x
… 0.13 0.25 … 8 4
0.71 0.5 0.25 0.13 …
y 3
… … …
x
与
-2 0.1 9
y( )
-1 0.3 3 -0.5 0.6 1.7
1 x 3
0 1 1
y 3
0.5 1.7 0.6 1 3
x
x
-2.5 0.06 15.6
2 9
2.5 … 15.6 …
底互为倒数的 两个指数函数 图像关于y轴 对称
y = a x 与 y = a －x
1
关于 y 轴对称
0
1 y 2
1 y 3
x
x
x
四：典例分析： 指数函数定义、图象、性质的应用： 题型一：对指数函数定义的理解：
例1、已知函数y=f(x)是指数函数，且f(2)=4， 求该函数的解析式
3x 3 x
0.3 0.1 0.06 …
y
8
y( )
1 x 3 1 x 2
7 6 5
y 3
y2
x
x
y( )
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 x 1
2
3
4
探究三：
（1）当a=2， a=3，…… a=10，……时 指数函数y=ax的图像有什么共同的特征？
1 1 1 (2)当a = , a = ,......a = ,.......时, 2 3 10 指数函数y = a x的图像有什么共同特征？
y=2x
体会待定系数法！
题型二：指数函数图像的应用
例2、指数函数
y a ,y b ,y c ,y d
x x x
x
的图象如下图所示，则底数
y
a, b, c, d
与正整数 1
共五个数，从大到小的顺序是 ： 0 b a 1 d c .
y bx ya
x
1
yc yd
x
x
4、指数比较大小的方法；
①、构造函数法：要点是利用函数的单调性， 数的特征是同底不同指（包括可以化为同底 的），若底数是参变量要注意分类讨论。 ②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的 特征是不同底不同指。
六、课后练习：
必做题：P92-93 练习题 A、B， 探究：在[a,b]上， f(x)=ax (a>0,a≠1)的值域。
学习目标
知识与技能目标：了解指数函数模型的实
际背景，理解指数函数的概念和意义。
过程与方法目标：能借助计算器或计算机
画出具体指数函数的图像，探索指数函数的 单调性与特殊点。
情感态度与价值观目标：在解决简单实际
问题的过程中，体会指数函数是一类重要的 函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力 培养学生的创新意识。
杰米破产了！ 指数爆炸
二、问题引入：
问题一：某种细胞分裂时，每次由1个 分裂成2个，2个分裂成4个，……. 一个这样的 细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数 x 关系是什么？ y 2 (x N ) 问题二：质量为1的一种放射性物质不断衰变 为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的一 半，求这种物质的剩留量y关于时间x（单位：年）的 函数关系式。
你能分别总结归纳出指数函数在底数 a>1和0<a<1时的图像特征吗？
y( )
y
8 7 6 5
1 x 10 1 x 3 1 x 2
y 10
x
y( )
y 3
y2
x
x
y( )
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0
y 10
x
x 1
2
3
4
y
y
y
1 y 2
x
y ax
动手实践题：一张纸最多可对折多少次？
x 0
题型三：指数函数性质的应用：
例3：利用指数函数的性质比较大小：
(1)、1.7a 与1.7a+1 (2)、0.8-0.1与0.8-0.2 4 a 4 b (3)、已知（ ） > ）, 比较a、b的大小 （ 7 7
变式：若指数函数y=(2a+1)x是一个减函数，求a
的取 值范围.
1 - <a<0 2
在实数范围内函数值不存在. （3）若
a 1 则对于任何 x R x a 1 是一个常量，没有研究的必要性
三、导入新课：
1、指数函数的定义
底为常数
(a>0且a≠1)
指数函数
指数为自变量
x
，ｘＲ ) 函数 y a (a 0且a 1
叫做指数函数.其中x是自变量.
幂为函数
定义域是R。
底数是一个大于0且不等于1的常量. 为了使y=ax更具有代表性，x可以取全体 实数，那么，式中的a应该满足什么条件？
（1）若
a0
x
则当x > 0时， a （2）若
0
当x≤0时, a
x
无意义.
a0
x
则对于x的某些数值，可使
如 ( 2) x ，这时对于
a
无意义.
x 1 , x 1 ……等等， 2 4
(a>1) (0,1)
0<a<1
y=ax
(0<a<1) (0,1)
y
y=1
x
x
0
定义域: R 值 域: (0,+ ∞ ) 必过 点： 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . (
在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数
思考与讨论2：（1）指数函数的图像在第一象限越向上 底数是增大还是减小？
（2）底数互为倒数时的两个指数函数的图像有何关系？ （3） 、指数函数y=ax(a>0且a 1 ) a>1时，x取何值时，y>1? x取何值时,0<y<1?0<a<1呢？
y
体会数形结合思想
1 y 2
x
1 y 3
x
y3 y2
在第一象 限沿箭头 方向底增 大x x
一、创设情境：
一个叫杰米的百万富翁，一天碰上了一件奇怪的事 情，一个叫韦伯的人对他说，“我想和你定个合同，我将 在整整一个月中每天给你10 万元，而你第一天只需给我 一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍”。
试问：如果你是杰米，你同意签这个合同吗？
合同生效了，第一天，杰米支出1分钱，收入10万元； 第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；....... 到了第20天，杰米共得到200万元 而韦伯共得到1048575分，共10000元多点; 到了第21天杰米支出1万多，得到10万元… … 结果在一月（31）天内，杰米得到310万元的同时， 共付给韦伯2147483647分，也就是2000多万元。
思考与讨论一：
1、判断下列函数中，哪些是指数函数？
1 y 4x
2 y x4
3 y 4x
4
y 4x1
（5）y = 2 －x
2、若y = ( a －4 ) x 是一个指数函数，求 a 的 取 值范围。
0<( a －4 )<1或a-4>1,即4<a<5或a>5
(a 1)
1 y 3
x
y 3x
y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
0 x
x
y
y
y ax
(a 1)
y ax
(0 a 1)
1
1
0
x
0
x
归纳提炼 指数函数y=ax (a>0且a≠1,x∈R) 的性质：
a>1
图 象 性 质
y=1 0 y y=ax
1 x y ( ) ( x N ) 2
探究一：
1 x y = 2 、y = ( ) 的共同特征是什么？ 2
x
共同特征：底数不变而指数可变， 即底数是常数，而指数是自变量 这类函数解析式的一般形式是什么？ 一般形式是：y=ax 0<a<1或a>1
探究二：
1 x x 在 y 2 ， y ( ) 中指数x是自变量， 2
3、已知一指数函数的图像过点（1，3）你能确定这
个指数函数的解析式吗？若能，用什么方法来确定？
待定系数法
2：指数函数的图像：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像： x x 1 x 与 y (2) y2 y2
x … -3 -2 -1 0.5 2 -0.5 0.71 1.4 0 1 1 0.5 1.4 1 2 2 4 3 8 … …
能力提升：
1．已知 a= 0.80.7 , b= 0.80.9 ,c= 1.20.8 ， 按大小顺序排列 a,b,c
答案：b<a<c
2．比较a3 与 a4 的大小
答案：分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论： 当 a>1 时 a3 < a4 当 0<a<1 时 a3 > a4
五、课堂小结： 1、指数函数的定义： 2、指数函数的的图象和性质： 3、待定系数法、特殊化方法、数形结合思想