上海重点中学2010学年第一学期期中考试高三数学试卷(文科答案)
上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题2024.11一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分)1.已知集合，则______________2.设复数，则______________3.函数的最小正周期为______________4.角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______________5.若实数x 、y 满足，则的最小值为______________6.已知，则在方向上的投影为______________7.方程的解集为______________8.若函数在区间[0，a ]上是严格减函数，则实数的最大值为______________9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间[a ，b ]上是连续不断的；②在区间（a ，b ）上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点A 、B 在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______________11.如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设，若，则数列的通项公式______________(0,4),[2,5]A B ==A B ⋂=(1i)2i z -=||z =π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭αx (3,4)-sin(π)α+=1xy =223x y +(2,3),(1,0)a b =-= a b|21||22|3x x ++-=cos sin y x x =-a ()y f x =(,)a b t ()()()()f b f a f t b a '-=-t sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =O M O O MA MB ⋅12n A A A 、、、、12n B B B 、、、、O n n A B 11n n n n A B B A ++n n OA a =121,2a a =={}n a n a =12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.已知，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.若函数在处的导数等于，则的值为（ ）A.0B.C. D.2a15.已知函数，实数，下列选项中正确的是（ ）A.若，函数关于直线对称B.若，函数在上是增函数C.若函数在上最大值为1，则D.若，则函数的最小正周期是16.已知，集合，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（ ）()y f x =0x ≥()2221()232f x x a x a a =-+--x ∈R (1)()f x f x -≤a x ∈R 1x >21x >()y f x =0x x =a ()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆12a aπ(),()2sin 6y f x f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭0ω>2ω=()y f x =5π12x =12ω=()y f x =[0,π]()y f x =[π,0]-43ω≤1ω=|()|y f x =2π()sin f x x =ππ,,{(,)2()()0,,}22D x y f x f y x y D ⎡⎤=-Γ=+=∈⎢⎥⎣⎦∣{(,)2()()0,,}x y f x f y x y D Ω=+≥∈∣ΓΩ25π12A.①真命题，②假命题B.①假命题，②真命题C.①真命题，②真命题D.①假命题，②假命题三、解答题（本大题满分76分）17.已知，且.（1）求向量与的夹角大小；（2）求.18.设常数.（1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为若，求的面积.19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足为数列的前项和，求.20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.（1）已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；（2）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（3）求同时满足条件①、②的参数的取值范围.21.已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，数列满足.求证：当时，.||1,||2a b == ()(2)6a b a b +⋅-=-a b|2|a b +2,()cos cos ,k f x k x x x x ∈=+∈R R ()f x k 1.k ABC = A B C 、、a b c 、、，()1,f A a ==3b =ABCS {}n a 11a =124a a a 、、{}n a n a {}n b 2(1),n a n n n n b a T =+-{}n b n 2n T ()f x x x 50%()44x bf x x=-+b 12b =b ()ln 1f x a x ax =---0a =()y f x =(1,1)P ()y f x =12x x 、()()120f x f x +>1,()()a g x f x x ==+{}n a ()11(0,1),n n a a g a +∈=2n ≥212n n n a a a +++>2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第题每题5分.满分54分）1.3.4. 5.6. 7. 8.9. 10.[2，3]12.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.A14.D15.C16.A三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）；（218.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）；（2）.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）由题可知，且，即，可得（2）.20.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题8分.解（1）（2）因为当时，，所以当时不满足条件②.（3）由条件①可知，在[3，6]上单调递增，在恒成立，在恒成立，所以1~67~12[2,4)π245(2,0)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3π42arccos π⎡⎢⎣2π30k =S =10,1d a >=2142a a a ⋅=()()21113a a d a d ⋅+=+2*111,1,(1),n a d d a d a a n d n n N ===∴=+-⋅=∈()12222(1),222[1234(21)2]nnnn n b n T n n =+-=++++-+-+---+ ()2212122212n n n n +-=+=+--(4)54bf =-12b =33(3)42f =<12b =()44x bf x x=-+22214()044b x b f x x x '+⇒=+=≥[3,6]x ∈24x b ⇒≥-[3,6]x ∈94b ≥-由条件②可知，，即不等式在[3，6]上恒成立，等价于，当时，取最小值，所以综上，参数的取值范围是.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为…………………………………………4分（2）由，令，则原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根所以，解得………………………………………………………3分所以因为，所以，所以 (6)分（3）由题意，，所以当时，，所以函数在区间上严格减，当时，，所以函数在区间上严格增，………………3分因为，所以，以此类推，当时，，………………………………………………4分()2x f x ≥44x bx+≤22114(8)1644b x x x ≤-+=--+3x =21(8)164y x =--+394394b ≤b 939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a =()(1)1f x f ''==()y f x =(1,1)P y x =()0f x '=0aa x--=t=0t >20at t a -+=12t t ==214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩102a <<()()()()1212122ln ln 2f x f x a x x a x x +=+-+-+-()()()222212121212ln 222t t a t t a t t a a=+--+-=+-102a <<12220a a+->->()()120f x f x +>()ln 1g x x =--()g x '=(0,1)x ∈()0g x '<()y g x =(0,1)(1,)x ∈+∞()0g x '>()y g x =(1,)+∞101a <<()()2132(1)1,(1)1a g a g a g a g =>==>=2n ≥()1(1)1n n a g a g +=>=又，所以函数在区间上严格减，当时，，所以，.....................................7分所以，即，故. (8)分2131124()2102f x x x'⎫---⎪⎝⎭=⨯--=<()y f x =(0,)+∞2n ≥()()(1)0n n n f a g a a f =-<=1n n a a +<()()1n n f a f a +>211n n n n a a a a +++->-212n n n a a a +++>。
2010年上海市重点中学高三数学重要考题精选及精解5新人教版
上海市重点中学重要考题精选及精解（5）1．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）如图：圆锥的顶点是S ，底面中心为O 。
OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点。
（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成角为．（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分解：（1） 证法一：反证法：若BC SA ⊥，连AC ，由AB 是直径 则AC BC ⊥，所以BC ⊥平面SAC 则BC SC ⊥3分又圆锥的母线长相等，SCB ∠是等腰三角形SBC 则SCB ∠是锐角 4分与BC SC ⊥矛盾，所以BC 与SA 不垂直 6分 证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为h ，底面 半径为r ，则(0,,0),(,0,0),(0,,0)B r C r A r -(0,0,)S h ，(0,,),(,,0)SA r h BC r r =--=- 3分20SA BC r ⋅=≠ 5分所以BC 与SA 不垂直6分（2）建立如图坐标系，设底面半径为r ，由高为4。
则(,0,2)2r D ，则(,,2)2r AD r =，(,,0)BC r r =-8分2cos ,r AD BC -<>==10分B由AD 与BC所成角为arccos 66=，解得2r = 12分所以211633V r h ππ==14分2．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）如图，圆224x y +=与y 轴的正半轴交于点B ，P 是圆上的动点，P 点在x 轴上的投影是D ，点M 满足12DM DP =。
（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形。
（2）过点B 的直线l 与M 点的轨迹C 交于不同的两点E 、F ，若2BF BE =，求直线l 的方程。
．（本题共2小题，其中第一小题6分，第二小题8解：（1）设00(,),(,)M x y P x y ，则题意DP x ⊥轴且M 是DP所以002x xy y =⎧⎨=⎩2分又P 在圆224x y +=上，所以22004x y +=，即22(2)4x y +=，即2214x y +=4分轨迹是以0)与(为焦点，长轴长为4的椭圆。
优思网校：2010年上海市高考文科数学试卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B = 则m = 。
2.不等式204xx ->+的解集是 。
3.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 。
4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。
5.将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。
若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体。
6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 。
7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。
8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则点P 的轨迹方程为 。
9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。
10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。
11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
12.在n 行m 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
数学_2010年上海市宝山区高考数学一模试卷(文理合卷)_(含答案)
2010年上海市宝山区高考数学一模试卷（文理合卷）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若复数z =4−t 2+1+t i对应的点在第四象限，则实数t 的取值范围是________．2. 若圆x 2+y 2+2x −6y +m =0与直线3x +4y +1=0相切，则实数m =________．3. 已知三元一次方程组{x +y +2z =6−x +z =1x +2y =0，则D y 的值是________．4. 有10件产品分三个等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任取2件，则取出的2件产品同等次的概率为________．5. 已知等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是________．6. 某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是________．7. 已知向量B →=[23]经过矩阵A =[ab 1]变换后得到向量B′→，若向量B →与向量B′→关于直线y =x 对称，则a +b =________．8. 已知二项式(x +1a )8展开式的前三项系数成等差数列，则a =________．9. 已知 a +3i(a ∈R)是一元二次方程x 2−4x +t =0的一个根，则实数t =________． 10. 方程sin4x =sin2x 在(0, π)上的解集是________．11. 按如图所示的程序框图运算，若输出k =2，则输入x 的取值范围是________．12. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x −1，则f(log 0.56)的值为________．13. 已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为________．（结果用反三角函数值表示）14. 对于各数互不相等的正数数组(i1, i2,…,i n)（n是不小于2的正整数），如果在p<q时有i p>i q，则称i p与i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组(2, 4, 3, 1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组(a1, a2, a3, a4)的“逆序数”是2，则(a4, a3, a2, a1)的“逆序数”是________．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. 以下四个命题中的假命题是（）A “直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”B 直线“a⊥b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面” C 两直线“a // b”的充要条件是“直线a，b与同一平面α所成角相等” D “直线a // 平面α”的必要不充分条件是“直线a平行于平面α内的一条直线”16. 已知e1→，e2→为不共线的非零向量，且|e1→|＝|e2→|，则以下四个向量中模最小者为（）A 12e1→+12e2→ B 13e1→+23e2→ C 25e1→+35e2→ D 14e1→+34e2→17. 已知：圆C的方程为f(x, y)＝0，点P(x0, y0)不在圆C上，也不在圆C的圆心上，方程C′:f(x, y)−f(x0, y0)＝0，则下面判断正确的是（）A 方程C′表示的曲线不存在B 方程C′表示与C同心且半径不同的圆C 方程C′表示与C 相交的圆D 当点P在圆C外时，方程C′表示与C相离的圆18. 幂函数y=x−1，及直线y=x，y=1，x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII（如图所示），那么，幂函数y=x−32的图象在第一象限中经过的“卦限”是…（）A IV，VIIB IV，VIIIC III，VIIID III，VII三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19.在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 的边长为2，点P 是CC 1的中点，直线AP 与平面BCC 1B 1成30∘角，求异面直线BC 1和AP 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）20. 已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos 2x3．（1）将f(x)写成Asin(ωx +φ)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域．21. 已知函数f(x)=3x +k （k 为常数），A(−2k, 2)是函数y =f −1(x)图象上的点． （1）求实数k 的值及函数f −1(x)的解析式；（2）将y =f −1(x)的图象按向量a =(3, 0)平移，得到函数y =g(x)的图象，若2 f −1(x +√m −3)−g(x)≥1恒成立，试求实数m 的取值范围．22. 已知点F 1，F 2是双曲线M:x 2a 2−y 2b 2=1的左右焦点，其渐近线为y =±√3x ，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M 的方程；（2）过F 2的直线l 与M 相交于A 、B 两点，直线l 的法向量为n →=(k,−1)，(k >0)，且OA →⋅OB →=0，求k 的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线M 在第四象限的部分存在一点C 满足OA →+OB →=mF 2C →，求m 的值及△ABC 的面积S △ABC ．23. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，3a n+1+4S n =3（n 为正整数）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记S =a 1+a 2+...+a n +…，若对任意正整数n ，kS <S n 恒成立，求k 的取值范围？ （3）已知集合A ={x|x 2+a ≤(a +1)x, a >0}，若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为T n ，问是否存在实数a 使得对于任意的n ∈N ∗，均有T n ∈A ．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．2010年上海市宝山区高考数学一模试卷（文理合卷）答案1. −1<t <22. 63. 44. 4155. 1006. 3.84米7. 18. 2或149. 1310. {π6，π2，56π}11. (20074，20092]12. −1213. arccos1314. 415. C16. A17. B18. D19. 解：连接BP，设长方体的高为ℎ，因为AB⊥平面BCC1B1，所以，∠APB即为直线AP与平面BCC1B1所成的角PB=√ℎ24+4，由tan600=√ℎ24+42得ℎ=4√2．又因为AD1 // BC1，所以∠D1AP是异面直线BC1和AP所成的角．在△D1AP中，AD1=6，PA=4，D1P=2√3，所以，cos∠D1AP=16+36−122⋅4⋅6=56，即∠D1AP=arccos5620. 解：f(x)=12sin2x3+√32(1+cos2x3)=12sin2x3+√32cos2x3+√32=sin(2x3+π3)+√32，（1）由sin(2x3+π3)=0即2x3+π3=kπ(k∈z)得x=3k−12π，k∈z，即对称中心的横坐标为3k−12π，k ∈z ；（2）由已知b 2=ac ，cosx =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−ac2ac ≥2ac−ac 2ac=12，∴ 12≤cosx <1，0<x ≤π3，π3<2x 3+π3≤5π9∵ |π3−π2|>|5π9−π2|，∴ sin π3<sin(2x3+π3)≤1，∴ √3<sin(2x3+π3)≤1+√32， 即f(x)的值域为(√3，1+√32]， 综上所述，x ∈(0,π3]，f(x)值域为(√3，1+√32]． 21. 解：（1）∵ A(−2k, 2)是函数y =f −1(x)图象上的点， ∴ B(2, −2k)是函数y =f(x)上的点． ∴ −2k =32+k ．∴ k =−3． ∴ f(x)=3x −3．∴ y =f −1(x)=log 3(x +3)(x >−3)．（2）将y =f −1(x)的图象按向量a =(3, 0)平移， 得到函数y =g(x)=log 3x(x >0)，要使2f −1(x +√m −3)−g(x)≥1恒成立， 即使2log 3(x +√m)−log 3x ≥1恒成立， 所以有x +m x+2√m ≥3在x >0时恒成立，只要(x +m x+2√m)min ≥3．又x +m x≥2√m （当且仅当x =mx ，即x =√m 时等号成立），∴ (x +mx+2√m)min =4√m ，即4√m ≥3．∴ m ≥916．22. 解：（1）∵ 渐近线为y =±√3x ，且右顶点到左焦点的距离为3．∴ a =1，b =√3，c =2， ∴ 双曲线方程为：x 2−y 23=1．…（2）直线l 的方程为y =k(x −2)，由{x 2−y 23=1y =k(x −2)得(3−k 2)x 2+4k 2x −(4k 2+3)=0(∗)所以{x 1+x 2=−4k 23−k 2⋅…由OA →⋅OB →=0得x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0 即(1+k 2)x 1⋅x 2−2k 2(x 1+x 2)+4k 2=0 代入化简，并解得k =±√35（舍去负值）， ∴ k =√35．…（3）把 k =√35代入(∗)并化简得4x 2+4x −9=0，此时{x 1+x 2=−1⋅，所以|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2]=4…设C(x 0, y 0)，由OA →+OB →=mF 2C →得{x 0=2−1my 0=−√15m代入双曲线M 的方程解得m =−32（舍），m =2，所以C(32，−√152)，… 点C 到直线AB 的距离为d =√32， 所以S △ABC =12d ⋅|AB|=√6．…23. 解：（1）由题意知，当n ≥2时，{3a n+1+4S n =33a n +4S n−1=3两式相减变形得：a n+1a n =−13(n ≥2)又n =1时，a 2=−13，于是a 2a 1=−13…故 {a n }是以a 1=1为首项，公比q =−13的等比数列∴ a n =1(−3)n−1，(n ∈N ∗)… （2）由S =11+13=34得 k <43S n =1−1(−3)n =f(n)…当n 是偶数时，f(n)是n 的增函数，于是f(n)min =f(2)=89，故k <89… 当n 是奇数时，f(n)是n 的减函数，因为limn →∞f(n)=1，故k ≤1．…综上所述，k 的取值范围是(−∞,89)…（3）①当a ≥1时，A ={x|1≤x ≤a}，T 2=a +a 2，若T 2∈A ，则1≤a +a 2≤a ．得{a 2+a −1≥0a 2≤0a ≥1此不等式组的解集为空集．即当a ≥1时，不存在满足条件的实数a ．… ②当0<a <1时，A ={x|a ≤x ≤1}．而T n =a +a 2+⋯+a n =a1−a (1−a n )是关于n 的增函数．且limn →∞T n =a 1−a ，故T n ∈[a,a 1−a )．… 因此对任意的n ∈N ∗，要使T n ∈A ，只需{0<a <1a 1−a≤1解得0<a ≤12．…。
上海市某重点高中高三数学上学期期中试题 文(含解析)沪教版
上海市某重点中学2012-2013学年度第一学期高三数学期中考试卷(文)（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1. 设集合A ＝{x │x 2－2x ≤0，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有_____________个元素． 【答案】3【解析】集合A ＝{x │x 2－2x ≤0，x ∈R }= A ＝{x │0≤x≤2，x ∈R }，所以A ∩Z={0,1,2}，共有3个元素。
2. 方程2lg 2x =的解为_____________. 【答案】10±【解析】因为22lg 2lg100,100,x x x ====所以所以3. 数列{}n a （*n N ∈）满足lim[(23)]1n n n a →∞-=，则lim()n n na →∞=_____________.【答案】12【解析】因为lim(23)n n →∞-=∞，所以由lim[(23)]1n n n a →∞-=，得lim 0n n a →∞=。
又lim[(23)]lim(23)2lim 3lim 1n n n n n n n n n n a na a na a →∞→∞→∞→∞-=-=-=，所以1lim()2n n na →∞=。
4. 已知一个扇形的圆心角的弧度数是1弧度，半径为1cm ，则此扇形的周长为_____________cm. 【答案】3【解析】扇形的弧长1l r cm α==，所以扇形的周长为23l r cm +=。
5. 若33cos ()52x x ππ=-<< ，则x 的值等于_____________.【答案】3arccos 5π+【解析】因为333,cos ,arccos 255x x x πππ<<=-=+所以。
6. 等差数列{}n a 中，公差1d =，341a a +=，则=++++20642a a a a Λ_____________. 【答案】80 【解析】因为1d =，341a a +=，所以12a =-，所以=++++20642a a a a Λ22010()10(1219)8022a a +--+==。
上海市部分重点中学2010届高三第二次联考(数学文)
上海市部分重点中学2010届高三第二次联考文科数学试卷一、填空题（每小题4分,共计56分） 1、()i i ⋅-21=______________2、已知,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a b+=______3、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =_________4、圆心为(2,1)且与直线1x y +=相切的圆的方程为___________________5、若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为6、已知函数12)(+=xx f 的图象与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则方程()2g x =的解为_______7、若圆柱的底面半径为1，高为3，则该圆 柱的全面积为_________8、数列{}n a 中，若()1525nn nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是奇数（是偶数）设n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则2lim n n S →∞=______9、方程22log ||2x x =-的实根个数为10、阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 ______11、锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为______(用分数表示)12、右表给出一个“直角三角形数阵”：每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为()*,,ij a i j i j N ≥∈，则85_____a =13、已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且AB AC =,3A π∠=,ABC S ∆=若球的表面积为16π则,A B 两点的 球面距离是____ 14、设n a (n ＝2,3,4…)是(3n +的展开式中x 的一次项的系数,则2342010234201020103333()2009a a a a ++++的值是________ 二、选择题（每小题4分,共计16分）15、与命题“若M a ∈则M b ∉”的等价的命题是（ ） A ．若M a ∉，则M b ∉ B ．若M b ∉，则M a ∈C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉ 16、设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D 17、一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 2π+D. 4π+18、已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体： 当[]1,1,21-∈x x 时，都有|)()(|21x f x f -||421x x -⋅≤，在以下函数①5)(=x f ；②34)(-=x x f ；③x x x f 2)(2+=；④21)(+=x x f 中 可以是集合M 中的元素的序号为（ ）（A ）①②③④； （B ）①②④； （C ）②③； （D ）①②③。
2010上海高考数学(文科)+答案
2010年高考数学（文科）上海试题一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．已知集合A ={1,3,m }，B ={3,4}，A ⋃B ={1,2,3,4}，则m =_______________．2．不等式204xx ->+的解集是_______________．3．行列式cos sin 66sincos66ππππ的值是_______________．4．若复数z =1-2i （i 为虚数单位），则z z z ⋅+=_______________．5．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽 取容量为100的样本，则应从C 中抽取_______________个个体．6．已知四棱锥P —ABCD 的底面是边长为6的正方体，侧棱P A ⊥底面ABCD ， 且P A =8，则该四棱锥的体积是_______________．7．圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线3x +4y +4=0的距离d =_______________． 8．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等， 则点P 的轨迹方程为_________．9．函数f (x )=log 3(x +3)的反函数的图像与y 轴的交点坐标是_____．10．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的 概率为____________（结果用最简分数表示）．11．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中， S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前 1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________． 12．在n 行n列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,···,n )．当n =9时，a 11+a 22+a 33+···+a 99=_______________．13．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e = 、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+ (a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是_______________． 14．将直线l 1:x +y -1=0、l 2:nx +y -n =0、l 3:x +ny -n =0(n ∈N *,n ≥2)围成的三角形面积记为S n ，则l i m n n S →∞=_______．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z =x +y 的最大值是 （ ）A ．1B ．32C ．2D ．316．“24x k ππ=+(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 17．若x 0是方程lg x +x =2的解，则x 0属于区间 （ ） A ．(0,1) B ．(1,1.25) C ．(1.25,1.75) D ．(1.75,2) 18．若∆ABC 的三个内角满足sin A :sin B :sin C =5:11:13，则∆ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分） 已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．(1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图 （作图时，不需考虑骨架等因素）． 21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n -5a n -85,n ∈N *．(1) 证明：{a n -1}是等比数列； (2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n +1>S n 成立的最小正整数n ． 22．（本题满分16分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 若实数x 、y 、m 满足|x -m |<|y -m |，则称x 比y 接近m ． (1) 若x 2-1比3接近0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2；(3) 已知函数f (x )的定义域D ={x |x ≠k π,k ∈Z ,x ∈R }．任取x ∈D ，f (x )等于1+sin x 和1-sin x 中接近0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明） 23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，A (0,b )、B (0,-b )和Q (a ,0)为Γ的三个顶点．(1) 若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标；(2) 设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线l 2:y =k 2x 于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；(3) 设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点P 1、P 2满足12PP PP PQ +=？令a =10，b =5，点P 的坐标是(-8,-1)．若椭圆Γ上的点P 1、P 2满足12PP PP PQ += ，求点P 1、P 2的坐标．2010年上海高考数学文科参考答案一、填空题 1．2； 2．(-4,2)； 3．0.5； 4．6-2i ； 5．20； 6．96； 7．3；8．y 2=8x ； 9．(0,-2)； 10．117； 11．S ←S +a ； 12．45； 13．4ab =1；14．12．二、选择题15．C ； 16．A ； 17．D ； 18．C ． 三、解答题19．原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．20．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图为两个圆，一个正方形．21．(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；由S n +1>S n ，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，最小正整数n =15． 22．(1) x ∈(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有222a b ab +>332a b +>因为22332|2|2()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，所以2233|2|2a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2； (3) 1sin ,(2,2)()1|sin |,1sin ,(2,2)x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-⎧==-≠⎨-∈+⎩,k ∈Z ， f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0，函数f (x )在区间[,)2k k πππ-单调递增，在区间(,]2k k πππ+单调递减，k ∈Z ． 23．(1) (,)22a bM -； (2) 由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，所以∆>0，即222210a k b p +->， 设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则212102221201022212x x a k p x a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩ 由方程组12y k x p y k x =+⎧⎨=⎩得 (k 2-k 1)x =p ，又2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p p x x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ += 知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=，解方程组22112110025y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)。
上海市部分重点中学2010届高三第一次联考(数学文)
上海市部分重点中2010届高三第一次联考数学试题（文科）校对：卢立臻一、填空题（每小题4分,共计56分） 1．不等式102x x +>-的解集是 2．设全集U=R ，{|110,}A x x x N =≤≤∈2{|60,}B x x x x R =+-=∈则右图中阴影表示的集合为___________3．若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ=4．设()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，()()x x f +=1log 3，则()=-2f ____ 5．ABC ∆中，若30B ∠=，AB =AC =BC = 6．如图，函数()f x 的图像是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4)，则方程()(1)f x f = 所有解的和为_ __7．已知数列1(n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数）（为偶数）则123499100a a a a a a ++++++= __ ___8．已知偶函数()f x 的定义域为{}2,x x a a x R +-<∈，则正数a 的值为________9．数列{n a }的通项公式为⎩⎨⎧∈≥≤≤=-N n n n a n n n ,3,)(21,2211，则=∞→n n S lim10．用min{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设()min{sin ,cos }f x x x =，则()f x 的最大值等于___________11．在△ABC 中，02,190AC BC ABC ==∠=,若△ABC 绕直线AC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是_________12．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b ,且,{0,1,2,3,9}a b ∈,若1a b -≤,则称甲乙“心有灵犀”。
现任意找两个人玩这个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为 ______ 13．在101()x mx-的展开式中，若4x 的系数为15-，则实数m 的值为___ _14．若在所给条件下，数列{}n a 的每一项的值都能唯一确定，则称该数列是“确定的”，在下列各组条件下，有哪些数列是“确定的”？请把对应的序号填在横线上 （注：n S 是{}n a 的前n 项和，*n N ∈）①{}n a 是等差数列，122,3S S ==， ②{}n a 是等差数列，151,25S S == ③{}n a 是等比数列，141,31S S == ④{}n a 是等比数列，132,2S a ==⑤{}n a 满足2n n S a =二、选择题（每小题4分,共计16分） 15．在ABC ∆中，“6A π=”是“1sin 2A =”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．设函数24606x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．),3()1,3(+∞⋃-B ．),2()1,3(+∞⋃-C ．),3()1,1(+∞⋃-D ．)3,1()3,(⋃--∞17．若不等式f （x ）＝2ax x c --＞0的解集{}|21x x -<<，则函数y ＝f （－x ）的图象为（ ）18．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 三、解答题 19．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）如图A ．B 是单位圆O 上的点，且点B 在第二象限. C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，△AOB 为直角三角形. （1）求sin COA ∠；（2）求BC 的长度20．（本题满分15分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题5分）如图：直三棱柱'''ABC A B C -的圆柱中，已知90ACB ∠= ，'AA =1BC AC ==,O AB 为的中点求（1）圆柱的全面积（2）求异面直线'AB 与CO 所成的角的大小 （3）求直线'A C 与平面''ABB A 所成的角的大小21．（本题满分15分，第1小题8分，第2小题7分）据行业协会预测：某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨%x ，则销售量将减少%mx ，且该化工产品每吨的价格上涨幅度不超过80%，（其中m 为正常数）（1）当21=m 时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？ （2）如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多，求m 的取值范围.22．（本题满分16分，第1小题3分，第2小题8分，第3小题5分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S , 等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，4224S S =+,219b =，249T = （1）求公差d 的值；（2）若对任意的*n N ∈，都有8S n S ≥成立，求1a 的取值范围 （3）若112a =,判别方程2009n n S T +=是否有解？说明理由 23．（本题满分20分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题8分）对于定义在D 上的函数()y f x =，若同时满足（I ）存在闭区间[],a b D ⊆，使得任取[]1,x a b ∈，都有()1f x c =（c 是常数）； （II ）对于D 内任意2x ，当[]2,x a b ∉时总有()2f x c >称()f x 为“平底型”函数。
闸北区2010学年度第一学期高三数学定位考答案
闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．x -； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{. 二、11．C ． 12．D ． 13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则)3,1(-=． ……………………………………………………2分 所以，1010||||cos =⋅=AB AO A ， …………………………………………………….2分 所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….2分 【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….2分综上所述，)425,4(∈b ． ..………………………………………………2分（2）【解一】若A ∠为锐角，则0>⋅AB AO ，即09164>++-b ，得425<b ．.….2分若B ∠为锐角，则0>⋅，即0)4(>--b b ，得0<b 或4>b ．……………….2分若O ∠为锐角，则0>⋅，即04>b ，得0>b ．………………...………………..2分 综上所述，)425,4(∈b ．..……………………………………………………………………2分 【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得22,1=-==EB AB AE DE ，….2分 所以，.3222212213122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 （2）【解一】如图所示，以B 为原点，分别以线段BC 、BA 所在的直线为x 轴、z 轴，通过B 点，做垂直于平面ABCD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．………………….1分 由题意，得)2,0,0(A ，)22,0,1(D ，)0,sin ,(cos 'θθC ，)22,sin ,(cos 'θθD ， ………2分 )22,sin ,(cos '-=θθAD ，)22,sin ,1(cos '--=θθDC若''DC AD ⊥，则021sin )1(cos cos 2=++-θθθ， (4)得23cos =θ，与1cos 1≤≤-θ矛盾， (1)故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)【解二】取BA 的中点E ，连DE ，E C '，则E DC '∠（或其补角）就是异面直线''DCAD 与所成的角． (1)在E DC '∆中，26''==AD EC ，1==CB DE ，.cos 22cos 2112'θθ-=-+=CC .3分 .cos 225)cos 211(212'22'θθ-=-++=+=CC DC DC .…….………….…………. .2分 02cos 232cos ''''22'2''>⋅-=⋅-+=∠∴DC ECD C EC DE EC DC E DC θ，.…….….…….…………. .2分 故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)16．解：（1）由题意可知，当0=x 时，1=m （万件），由13+-=x km 可得2=k ．所以123+-=x m ．………………………………………………………………………….3分由题意，有2123≥+-=x m ，解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元）， 所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(8411628+--=x x ． ……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ， 所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分最大值为38、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：];1,0[单调递减区间：]0,1[-；...…………………………………………1分 零点：0=x ．.…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.33)(xxx f --= 设]1,0[21∈x x ，，21x x <，)3333()33()()(21212121x x x x x x x f x f ⋅-+-=-)3311)(33(2121x x x x ⋅+-=证明)(x f 在区间]1,0[上是递增函数由于函数x y 3=是单调递增函数，且03>x恒成立，所以03321<-xx ，0331121>⋅+x x， 0)()(21<-∴x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是增函数．…………………………………………………….4分证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数【证法一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x0)()()()(2121>---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是减函数． …………………………………………………..4分 【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得 .33)()(x x x f x f -=-=-以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数 ………………………………………..4分 （2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以.33)2()()(22k x xk x k f x f x f ---=-=-=………………………………………….4分 18．解：（1）【解一】由)0,2()1(11≠≥-+=-+λλλn b b b n n n 得， )(11-+-=-n n n n b b b b λ．又1121=-=b b a ，0≠λ，0≠n a ．所以，{n a }是首项为1，公比为λ的等比数列，1-=n n a λ．…………………………….5分由)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n b b b b b b b b ，得)2(121≥+⋅⋅⋅++=--n b b n n λλ所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ……………………………………………….6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………..1分【解二】猜测1-=n n a λ，并用数学归纳法证明 …………………………………………….5分 n b 的求法如【解一】 ………………………………………………………………………..7分 【解三】猜测⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ，并用数学归纳法证明 ………………………….7分 1-n 1λ=-=+n n n b b a …………………………………………………………………..5分（2）当1=λ时，3b 不是6b 与9b 的等差中项，不合题意；……………………………….1分当1≠λ时，由32b 96b b +=得02258=-+λλλ，由0≠λ得0236=-+λλ（可解得32-=λ）..…………………………………………2分对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项． .………………………………….2分 证明：0)2(1263163=---=-+-++λλλλn n n n b b b ，263+++=∴n n n b b b ， .………………………………….3分 即，对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项．闸北区2010学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．)0(2≥-x x ； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{； 二、11．C ．12．D ．13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则．………………………………………………………………………… ….2分 所以，1010cos ==A ， …………………………………………………….2分 所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….3分 【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….3分（2）【解一】若A ∠为钝角，则0<⋅AB AO ，…………………………………………….3分即09164<++-b ，…………………………………………………….……………2分解得425>b ，故，),425(+∞∈b ． ..…………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得2,2=-==EB AB AE DE ，….2分所以，.321622223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 （2）连接''CC DD ，，有6'==AD AD ，θcos 882'2'-==CC DD ，………….3分由题意，得22'2'AD AD DD +=， ……………….…………………….………………….2分 即12cos 88=-θ ……………….………………….……………….………………….2分21cos -=θ，）（或 12032πθ=． ……………….………………….……………….………………….2分 16．解：（1）由题意，有2123≥+-=x m ， …………………………………………….3分 解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元）， 所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(84 11628+--=x x ． ……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ， 所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数； .………………………………………………………………………1分 最大值为2、最小值为0； .…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：]0,1[-，单调递减区间：];1,0[ ...………………………………………1分 零点：0=x ． .…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.2)(2x x x f -=设]1,0[21∈x x ，，21x x <，221<+x x ，0)2)(()2()2()()(212122212121>-+-=---=-x x x x x x x x x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是递减函数． ………………………………………………….4分以下证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． 【证明一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x 0)()()()(2121<---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． ………………………………………………...4分 【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得.2)()(2x x x f x f +=-=以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数 ………………………………………..4分 （2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以).1(4)21(2)2(2)2()2()()(22-+-+=---=-=-=k k k x x k x k x k f x f x f 4分 18．解：（1）由)0,2()1(11≠≥-+=-+q n qa a q a n n n 得， )(11-+-=-n n n n a a q a a ，即)2(1≥=-n qb b n n ．又1121=-=a a b ，0≠q ，0≠n b ．所以，{n b }是首项为1，公比为q 的等比数列．…………………………………………..5分（2）由（1）有，1-=n n q b)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n a a a a a a a a)2(12≥+⋅⋅⋅++=-n q q n所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111q n q qq a n n ……………………………………………..6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………1分（3）1=q 符合题意；…………………………………………………………………………2分若1≠q ，11111-->--+n n q q q 0)111)(1(1>-+--qq n ………………………………………………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧>-+>--0111,011q q n 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.0111,011q q n 解得：)2,1()1,0( ∈q ………………………………………………………………………..3分综上，)2,0(∈q ………………………………………………………………………………..1分。
2010年高考数学文科试题上海卷(word)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B = 则m = 。
2.不等式204xx ->+的解集是 。
3.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 。
4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。
5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。
若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体。
6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =， 则该四棱椎的体积是 。
7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。
8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 。
9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。
10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。
11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
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，
所以
所以
………3分
………6分 当
，即
时等号成立. 所以外围的周长的最小值为
米，此时堤高
米.------------9分 （2）由（1）知
， 因为函数在递增． 所以当时，（米） 故外周长最小应为米.
………………11分 ……13分 ……14分
19.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题 满分8分.
13.在三角形ABC中，若则此三角形必是（ B ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角
形
14.已知二次函数（其中）的图像如下面右图所示，则函数的图像是 (
A)
f (x)
三.解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须在 答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 15．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题 满分6分.
（2）请你将五个命题中假命题的序号全部选择出来，并选择其中一 个加以证明. 解：（1）真命题的序号是③④⑤. ……3分 ③的证明：因为，
所以. 又由得， ∴， ∴函数是偶函数. 故命题③是真命题.
④的证明：因为在R上是增函数，且，所以. 同向相加得. 故命题④是真命题.
⑤的证明：由得.
依题意知，函数与其反函数是同一函数，∴. ∴.
设，
∴函数在上是减函数.
故命题⑤是真命题.
……10分
（2）假命题的序号是①②.
……12分
①的证明：由，得.
函数的图像与其反函数的图像有三个公共点，且只有一个公共点在直线
上，而另外两个公共点和都不在直线上.所以命题①是假命题.
②的证明：当时，. 由，，得. 所以函数不是奇函数. 故命题①是假命题. ……18分 20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满 分7分，第3小题满分7分.
3.记的展开式中第m项的系数为，若，则的值为_____5_____.
4.方程的解集为
.
5.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角,，它们的终边分别与
单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为．则tan()的值为
_______.
6.已知函数，若存在使成立，则实数的取值范围是_____________.
∵，.
∴满足是偶函数，是奇函数， 又∵，
∴，
.
…………8分
由，，
平方，得，∴，
故.
…………11分
（3）∵在上是增函数，
…………12分
∴.
…………13分
∴对于恒成立，
∴对于恒成立，
…………15分
令，则，当且仅当时等号成立，
而，∴函数在上是减函数，
∴，
…………17分
故.
…………18分
请认真阅读并思考以下五个命题：
①函数的图像与其反函数的图像有公共点，且公共点必在直线上.
②函数是奇函数的充要条件是. ③若定义在R上的函数满足和，则函数一定是偶函数. ④已知函数在上是增函数，若，且，则.
⑤设函数的图像关于直线对称，则函数在区间上是减函数.
（1）请你将五个命题中真命题的序号全部选择出来，并选择其中一 个加以证明；
已知函数定义在R上.
（1）若函数的反函数为，且，求实数的值；
（2）若可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设，
，求出的解析式；
（3）若对任意都有成立，求实数m的取值范围.
解：（1）依题意有.
…………4
分
（2）假设①，其中为偶函数，为奇函数，
则有，即②，
由①②解得，. …………6分
∵定义在R上，∴，都定义在R上.
（2）令，判断函数的奇偶性，并加以证明．
解：（1）． …4分
的最小正周期．
………………6分
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
………………8分
（2）由（1）知．又．
． ………………11分
．
………………13分
函数是偶函数．
………………14分
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题 满分5分.
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正
确答案，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
11．若，则M，N两个集合的关系是（ D ）
A． B．＝Φ
C．
D．
12．“成立”是“成立”的（ A ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
已知集合，集合，集合． （1）求A∪B； （2）若，求实数的取值范围． 解：（1）或， ……………………2分
= ……………………4分 所以A∪B=． ……………………6分 （2）因为，所以，………………………10分 因此实数a的取值范围是． ………………………12分
16.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满 分6分.
7.不等式的解集是________________.
8.若函数，则不等式的解集为______[-1,1]_____.
9.已知函数，若关于x的方程在区间上有实数解，则实数a的取值范围是
______________.
10.设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，.若方程恰
好有5个不同的解，则实数的取值范围是______________.
上海重点中学2010学年第一学期期中考试
高三数学试卷（文科）
考生注意：本试卷共有20道试题，满分150分，考试时间120分钟
一.填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，考生必须在答题纸相 应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零 分.
1.若集合，满足，则实数 5 ． 2.若，则正整数的值为______10____.
在中，． （1）求角C； （2）求的面积． 解：（1）由，，得，
所以 因为，…6分 又， 故 （2）根据正弦定理得， 所以的面积为
…………4分
………… 8分 …………11分 …………14分
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题
满分6分.
已知函数．
（1）求函数的最小正周期及最值；
现建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为
（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面 面积为
平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外 周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小. （1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少？ （2）如防洪堤的高限制在范围内，则外周长的最小应为多少米？ 【解】（1）依题意有