【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第六章 第3讲 等比数列及其前n项和 理 新人教A版

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第3讲 等比数列及其前n项和
一、选择题
1.2＋1与2－1两数的等比中项是( )
A．1 B．－1

C．±1 D.12
解析 设等比中项为x，
则x2＝(2＋1)(2－1)＝1，即x＝±1.
答案 C
2．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列
等式中恒成立的是( )．
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析 (特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.
答案 D
3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝
( )．

A．2 B.12 C．2或12 D．3
解析 ∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，
化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.
答案 A
4．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝
( )．
A．8 B．15(2＋1)
C．15(2－1) D．15(1－2)

解析 ∵a2a6＝a24＝8，∴a21q6＝8，∴q＝2，∴S8＝1－q81－q＝15(2＋1)．
答案 B
5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为( )．

A．4 B．5 C.45 D.15
解析 ∵a1＝S1＝15t－15，a2＝S2－S1＝45t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知




4

5
t
2
2

＝15t－15·4t，显然t≠0，所以t＝5.
答案 B
6．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的
值为 ( )．

A.12 B.32 C．1 D．－32
解析 因为a3a4a5＝3π＝a34，所以a4＝3π3.
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a74＝7log33π3＝7π3，所以sin(log3a1＋
log3a2＋…＋log3a7)＝32.
答案 B
二、填空题
7．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为
1的等差数列，则q的最小值是________．
解析 设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，t＋1，
3t＋2}故q的最小值是3
3.

答案 33
8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝
________.
解析 由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝4n－1.
答案 4n－1
9．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(
x

＋y)，若a1＝12，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．

解析 由已知可得a1＝f(1)＝12，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝122，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝
[f(1)]3＝123，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝12n，
∴Sn＝12＋122＋123＋…＋12n
3

＝121－12n1－12＝1－12n，
∵n∈N*，∴12≤Sn<1.
答案 12，1
10．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列









1

2
a
n

为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－nn－12d；④若d>0，则Sn一
定有最大值．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

解析 对于①，注意到12an＋112an＝12an＋1－an＝12d是一个非零常数，因此数列12an是等
比数列，①正确．对于②，S13＝13a1＋a132＝13a2＋a122＝13，因此②正确．对于
③，注意到Sn＝na1＋nn－12d＝n[an－(n－1)d]＋nn－12d＝nan－nn－12d，因
此③正确．对于④，Sn＝na1＋nn－12d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综
上所述，其中正确命题的序号是①②③.
答案 ①②③
三、解答题

11．已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q＝13.

(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝1－an2；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．

解 (1)证明 因为an＝13×13n－1＝13n，Sn＝131－13n1－13＝1－13n2，所以Sn＝1－an2.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12.所以{bn}的通项
公式为bn＝－nn＋12.
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12．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋
S
n

＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
(1)证明 ∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，

∴an＋1－1an－1＝12.
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝12，∴c1＝－12，公比q＝12.

∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．
(2)解 由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，
∴an＝cn＋1＝1－12n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1
＝12n－1－12n＝12n.
又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.
13．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解 (1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，

代入(*)得a＝13.
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14．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)

＝4n－13＋1＋nn2.