14.2.1函数极限的概念简案
函数的极限课件
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时 , 必有
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例4. 证明: 当
时
证:
1 x0
x x0
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0 , 则当 0 x x0 时, 必有
因此
lim
x x0
x
x0
o x x0 x
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当 0 | x x0 | 时, 有
| f (x) A | 1 | f (x) || f (x) A | | A || A | 1,
取 M | A | 1, 则 定理得证.
定理3（函数极限的局部保号性）
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若
且 A > 0 ( < 0 )，则存在
f ( x) 0 ( 0).
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
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例5. 设函数
f
(
x)
x 1, 0,
x 1 ,
x0 x0 x0
y
y x1
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 1 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
第三节
第一章
函数的极限
一、函数极限的定义 1、自变量趋于有限值时函数的极限
2、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、函数极限的性质
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一、函数极限的定义 1、自变量趋于有限值时函数的极限
高等数学函数与极限教案
高等数学函数与极限教案教案：高等数学-函数与极限教学目标：1.了解函数与极限的基本概念和性质。
2.掌握计算函数的极限的方法和技巧。
3.能够解决实际问题中的极限计算。
4.培养学生的数学分析能力和解决问题的能力。
教学重点：1.函数的极限的定义和性质。
2.极限的计算方法和技巧。
教学难点：1.极限的计算方法的应用。
2.解决实际问题中的极限计算。
教学步骤：第一步：引入问题（5分钟）通过一个实际问题引入函数与极限的概念，例如：小明每分钟的步数逐渐增加，求他一小时内步数的极限。
第二步：引入函数与极限的概念（10分钟）1.定义函数与极限的概念，引入极限的符号表示。
2.介绍函数的局部性质和极限的全局性质。
第三步：函数的极限性质（10分钟）1.引入函数的极限存在性和唯一性的概念。
2.介绍函数极限的四则运算法则和复合函数的极限性质。
第四步：函数极限的计算方法（15分钟）1.介绍初等函数的极限计算方法，包括多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数的极限。
2.讲解无穷大与无穷小的概念和计算方法。
3.介绍极限的夹逼准则和函数极限的单调有界准则。
第五步：实例讲解（15分钟）通过一些例题讲解函数极限的具体计算方法，指导学生理解和掌握极限的计算技巧。
例如：计算lim(x→0) (sinx/x)。
第六步：综合练习（20分钟）给学生布置一些练习题，巩固函数极限的计算方法和性质。
例如：计算lim(x→∞) (1+x)^1/x。
第七步：总结与归纳（10分钟）总结函数与极限的基本概念、性质和计算方法，归纳重点和难点。
第八步：拓展学习（5分钟）引导学生进一步了解函数与极限的拓展内容，例如：无穷小阶、无穷小等价、洛必达法则等。
第九步：课堂小结（5分钟）总结本节课学习的要点和问题，检查学生的学习情况，提出解决问题的方法和建议。
教学工具：1.演示板和黑板。
2.教学PPT。
教学评价：1.学生课堂表现，包括参与度、问题解决能力等。
2.练习题的完成情况和质量。
高等数学 函数的极限课件
无穷小的运算性质
加法性质
两个无穷小的和仍然是无穷小 。
乘法性质
两个无穷小的乘积仍然是无穷 小。
幂运算性质
无穷小的幂仍然是无穷小，但 需要注意其阶数变化。
复合函数的无穷小
复合函数的无穷小可以通过链 式法则进行计算。
THANKS
感谢观看
函数极限的运算性质
和差运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)+g(x)]=A+B$。
乘积运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
利用函数极限求某些函数的值
求定积分
通过计算被积函数的上下限在积分区 间的极限，可以求得定积分的值。
求数列的通项公式
通过求解数列的递推公式的极限，可 以求得数列的通项公式。
利用函数极限研究函数的性质
函数的连续性
通过计算函数在某点的极限，可以判断函数在该点是否连续。
函数的可导性
通过计算函数的导数在某点的极限，可以判断函数在该点是否可导。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B 。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) × g(x)] = A × B 。
函数极限的直观定义
如果当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)$的取值逐渐 接近某个确定的数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在 $xto x_0$时的极限。
高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明
高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明高中数学必修课教案：函数的极限与连续的推理与证明导言：函数是数学中一个重要的概念，它可以描述不同变量之间的关系。
在高中数学必修课程中，学生需要学习函数的极限与连续，这是进一步理解函数性质与应用的基础。
本教案将以极限与连续为核心内容，通过推理与证明的方式展示相关知识点。
通过本教案的学习，学生将掌握函数的极限定义、极限的运算规律以及连续函数的特性和证明方法。
一、函数的极限1. 极限的引入极限是描述函数在某一点附近的取值趋势的概念。
通过接近或逼近的方式，我们可以研究函数在某一点的表现。
2. 极限的定义函数f(x)在x=a处的极限为L，表示为lim[x→a] f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在δ>0，对于所有满足0<|x-a|<δ的x值，都有|f(x)-L|<ε。
3. 极限的性质（1）极限唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，则极限唯一。
（2）四则运算性质：设lim[x→a] f(x) = A，lim[x→a] g(x) = B，则(i) lim[x→a] [f(x)±g(x)] = A±B(ii) lim[x→a] [f(x)·g(x)] = A·B(iii) lim[x→a] [f(x)/g(x)] = A/B (其中B≠0)4.无穷小与无穷大（1）无穷小：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限是0，则称f(x)为x→a时的一个无穷小。
（2）无穷大：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限不存在或者无穷大，则称f(x)为x→a时的一个无穷大。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，表示为f(a)=lim[x→a] f(x)存在且等于f(a)。
2. 连续函数的性质（1）基本初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数在其定义域内都是连续函数。
高中数学函数极限应用教案
高中数学函数极限应用教案
一、教学目标：
1. 理解函数极限的定义和概念；
2. 掌握利用极限求解函数的极限值；
3. 能够应用函数极限解决实际问题；
4. 培养学生的数学建模能力和分析问题的能力。
二、教学重点：
1. 函数极限的概念和定义；
2. 函数极限的性质及计算方法；
3. 应用函数极限解决实际问题。
三、教学内容：
1. 函数极限的定义和概念：
a. 函数极限的定义；
b. 函数极限存在的条件；
c. 函数极限不存在的情况。
2. 函数极限的性质及计算方法：
a. 两个函数的极限；
b. 函数与常数的极限；
c. 函数的和、差、积、商的极限；
d. 复合函数的极限。
3. 应用函数极限解决实际问题：
a. 利用函数极限求解函数的极限值；
b. 利用函数极限解决实际问题。
四、教学过程：
1. 导入：通过引入一个实际问题，引发学生对函数极限的思考。
2. 学习函数极限的定义和概念，让学生理解极限的概念及计算方法。
3. 练习函数极限的性质及计算方法，让学生熟悉函数的各种性质及运用方法。
4. 考察学生对函数极限概念的理解，进行课堂小测验。
5. 应用函数极限解决实际问题，让学生将函数极限应用到实际生活中去解决问题。
6. 总结：回顾本节课的重点内容，强化学生对函数极限的理解。
五、作业布置：
1. 完成课堂练习题；
2. 完成一道函数极限应用题。
六、课后反思：
本节课教学内容设计是否合理？学生对函数极限的掌握情况如何？如有不足，如何改进？注：本教案仅为范本，实际教学内容可根据实际情况进行调整。
高中数学备课教案函数的极限与无穷大
高中数学备课教案函数的极限与无穷大高中数学备课教案函数的极限与无穷大一、教学目标1. 理解函数的极限的概念和意义；2. 掌握计算函数在某一点的极限；3. 理解函数的无穷大的概念和性质；4. 能够计算函数在无穷大时的极限。
二、教学重点1. 函数的极限的概念和计算方法；2. 函数的无穷大的概念和性质。
三、教学内容与过程1. 函数的极限函数的极限是函数在某一点上的取值逐渐趋近于某个常数或者无穷大的过程。
我们用符号lim来表示极限。
函数f(x)在x=a处的极限为lim┬(x→a)〖f(x)〗=L，表示当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。
计算函数在某一点的极限时，可以使用以下的方法：- 代入法：将函数的值直接代入到极限公式中计算；- 分式法：如果函数存在分式形式，可以通过分子、分母的极限分别求解；- 夹逼法：对于复杂函数的极限，可以通过夹逼定理来确定极限的值。
2. 函数的无穷大函数的无穷大是指函数的取值在某一点或者在某个区间内，无限逼近于正无穷或负无穷的过程。
我们用符号∞来表示无穷大。
函数f(x)在x→∞时的极限为lim┬(x→∞)〖f(x)〗=L，表示当x趋向于正无穷时，f(x)的取值趋近于L。
计算函数在正无穷或负无穷时的极限时，可以使用以下的方法：- 代入法：将∞代入到极限公式中计算；- 套用定理：使用极限的性质和定理来计算。
四、教学案例案例1：计算函数在某一点的极限已知函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1，求f(x)在x = 2处的极限。
解：通过代入法，将x = 2代入到极限公式中计算。
lim┬(x→2)〖(3x^2 + 2x + 1)〗 = (3(2)^2 + 2(2) + 1) = 19所以，函数f(x)在x = 2处的极限为19。
案例2：计算函数在无穷大时的极限已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，求f(x)在x→∞时的极限。
解：通过套用定理，我们可以计算函数在无穷大时的极限。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
高中数学教案函数与极限
高中数学教案函数与极限高中数学教案：函数与极限一、引言数学中的函数与极限是高中数学中非常重要的概念。
函数是描述变量之间关系的工具，而极限则是研究函数变化趋势和性质的工具。
本教案将重点介绍函数与极限的基本概念和性质，并针对高中数学教学的特点，提供一些案例和练习，以帮助学生深入理解。
二、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素（称为自变量）对应到另一个集合的元素（称为因变量）。
函数通常用符号表示，例如$f(x)$或$y=f(x)$，其中$x$表示自变量，$y$表示因变量。
2. 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系上的表示，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
通过绘制函数的图像，可以更直观地了解函数的性质和特点。
3. 常见函数的类型在高中数学中，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数类型都有其独特的图像和性质，学生需要熟悉它们的特点并能够应用到实际问题中。
三、极限的基本概念1. 极限的定义极限是研究函数变化趋势和性质的重要工具。
给定一个函数$f(x)$和一个实数$a$，当自变量$x$无限接近$a$时，如果因变量$f(x)$的值也无限接近一个实数$L$，则称$L$为函数$f(x)$当$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a} f(x)=L$。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，包括四则运算法则（加法、减法、乘法、除法）、复合函数的极限法则、函数的夹逼定理等。
学生需要掌握这些性质，并能够灵活运用到问题的解决中。
四、教学案例及练习1. 教学案例：线性函数的图像与性质教学目标：通过绘制线性函数的图像，了解线性函数的性质和特点。
教学步骤：（1）引导学生回顾线性函数的定义，并解释线性函数的图像特点。
（2）通过给定不同的线性函数，要求学生绘制其图像，并根据图像分析其斜率、截距等性质。
（3）引导学生思考线性函数图像的平移、伸缩和翻转等变化对函数性质的影响。
极限的概念说课稿PPT课件
数学的素质教育
一、说课
4 数学应用篇 3 数学理论篇 2 数学文化篇 1 导入新课
二、授课
1 导入新课
请思考这两句诗的意境！
二、授课 刘徽(约225 – 295年)
2 数学文化篇
我国古代魏末晋初的杰出数学家。他撰写《 重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面 的评注，指出并纠正了其中的错误，在数学方法 和数学理论上作出了杰出的贡献 。他的 “ 割圆 术 ” 求圆周率 的方法 ：
正62边n1形的面积 A n A 1,A 2,A 3, ,A n, S
2 数学文化篇
R
二、授课
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
——《庄子.天下篇》
第一天截完后所剩杖的长度为
X1
1 2
;
第二天截完后所剩杖的长度为 X 2
1 22
;
第n天截完后所剩杖的长度为
Xn
Hale Waihona Puke 1 2n;Xn
1 2n
x
如果在上述定义中, 限制 x只取正值或者只取负值,
即有 lim f(x)A或 lim f(x)A , 则称常数A
x
x
为函数 f (x) 当 x 或 x 时的极限.
注意到 x 意味着同时考虑 x 与x ,
可以得到下面的定理:
二、授课
3 数学理论篇
定理1 极限 lim f(x)A的充分必要条件是 x
0
2 数学文化篇
二、授课
3 数学理论篇
（一）数列的极限
定义1 按一定次序排列的一列数
x1,x2,,xn,
简洁美
这一列有序的数就叫数列. 记为xn.其中的每个数称
第三节函数的极限讲解教学教案
定理 lim f(x)A x
lim f(x)A .
x
lim f(x)A且
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–X
0
X
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
定义
lim f(x)A
xx0
0, 0,
使当 0 |xx0|时,恒有 |f(x ) A |.
函数的极限 limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
0| xx0|δ时A,+
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A–
的纵坐标 f(x)落在
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A AA
A
A AA
A
–X
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课程单元教学简案
学习情境（任务） 函数的极限与连续性 学习单元 14.2函数极限的概念 课次
授课方式 （请打√） 理论课√ 实践课 理实一体课 习题课 其他 课时
安排
2
授课班级 上课 时间 年 月 日第 周 节 星期 授课地点 年 月 日第 周 节 星期
年 月 日第 周 节 星期
学习目标、要求
知识目标：函数的六种极限过程0xx，0xx，
0
xx
x
，x，
x
能力目标：能够熟练掌握极限的六种过程
情感目标：➀深刻思维能力 ➁团结合作能力 ➂语言表达能力
学习重点及难点
教学重点：函数极限的六种过程
教学难点：求函数极限
教 学 基 本 内 容 方法手段
一、教学内容 1、学习极限0xx 2、在任务2完成的基础上，自学0xx，0xx，x，x，x 二、例题讲解 例1 计算1)(xlim21x 例2 计算1-1-lim21xxx 三、课堂练习 P10 练习14.2.1 P12练习14.2.2 P13练习14.2.3 讲解
指导自主学
习
讨论
练习
作业布置 P16 习题14.2 A 1 2 3 听课人
教学反思
评 课
说明：听课人、教学反思和评课三项在教学任务完成后手工填写。