力法和位移计算
第八章位移法
8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E
浅析超静定结构计算中力法与位移法的异同
浅析超静定结构计算中力法与位移法的异同作者：赵浩楠来源：《科学与财富》2019年第17期摘要：力法和位移法是结构力学中计算超静定结构的两种基本方法，这两种计算方法既有相同之处，又有不同之处，本文从二者的基本原理、基本未知量、基本体系及典型方程等方面对比分析力法与位移法在结构计算中的异同。
关键词：超静定结构；力法；位移法；异同在实际工程计算中，大多数结构都是超静定的，结构力学计算通常包括两个部分：内力计算和位移计算，力法和位移法在结构力学中是计算超静定结构的两种基本方法，二者既有相同的地方也有许多不同之处。
相同之处在于二者的分析依据相同，并且最终目的都是为了求解出结构的内力和支座反力；不同之处主要是在于两者的基本原理、基本未知量、基本体系和典型方程不同。
1 力法与位移法对比分析之同1.1 分析依据超静定结构计算中，力法和位移法是常用的两种计算方法。
所谓的超静定结构即指具有多余约束的几何不变体系、基于静力平衡条件不能唯一确定内力和反力的结构。
力法和位移法不仅考虑静力平衡条件，还考虑了变形协调条件及物理条件，从而对超静定结构进行求解。
1.2 目的力法和位移法都是综合利用静力平衡条件、变形协调的几何条件、应力与应变间本构关系的物理条件，根据各自的简单基本结构和关于基本未知量的基本方程，先求解出基本未知量，再求出剩余未知量，最终求解出实际工程中常见的超静定结构各截面的内力和支座反力。
力法和位移法都是综合利用静力平衡条件、变形协调及物理关系三个方面的条件，使各自基本体系与原结构的受力、变形情况一致，从而应用基本体系建立相应的典型方程以达到分析原结构的目的。
2 力法与位移法对比分析之异2.1 基本原理结构在一定的荷载作用下，其内力与位移有一定的关系，简单来说，在分析超静定结构时，力法是先求出结构内力，然后计算其相应的位移；而位移法是先确定位移，再根据位移求出结构内力。
力法的基本原理是：通过撤除多余约束把多余未知力作为基本未知量，将分析超静定结构转化为分析相应的基本结构，然后根据多余约束处的变形协调条件（位移条件）建立力法基本方程，求出基本未知量后即可通过静力平衡条件求出结构的全部内力。
结构力学 超静定结构计算)
0 0
(0)
(0)
0
00
0
绘M 图
17.67
3.17
(12)
D
A
B
C
1.9
M 图(kN·m)
21.6
【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。
M
A
B
M/2
解：运算过程如图所示
运算过程
M图(kN·m)
本节小结
一、转动刚度S：
远端固定：S = 4i 远端铰支：S = 3i 远端滑动 S = i 远端自由 S = 0
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
第八章渐近线法及其他算法简述
§1 力矩分配法的基本概念 §2 多结点的力矩分配 §3 对称结构的计算 §4 无剪力分配法 §5 力矩分配法与位移法联合应用
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们 都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算 典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的 方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增 加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的物理概念生 动形象，每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适 合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。 因此，在结构设计中得到广泛应用。在连续梁及无侧移 刚架中应用十分广泛。
超静定结构的计算方法: 力法、位移法
力法计算步骤
位移法计算步骤
1、选取基本体系
1、设基本未知量
2、列力法方程
2、列杆端弯矩方程
3、计算系数及自由项 3、列位移法方程
4、解方程 5、作内力图
4、解方程 5、求杆端弯矩
6、做内力图
为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计 算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程 中进行力矩的分配与传递。
位移法的典型方程与力法的典型方程一样
位移法的典型方程与力法的典型方程一样位移法和力法是结构分析中常用的两种方法。
位移法是通过求解结构的位移来得到结构的反力，而力法是通过已知的外力和支座反力来求解结构的内力和位移。
尽管这两种方法的思想和计算过程不同，但它们的本质是相同的，都是基于平衡原理和变形原理，因此它们的典型方程也具有相似性。
一、位移法的典型方程位移法是一种基于变形原理的方法，它假设结构的变形是已知的，通过求解结构的位移来得到结构的反力。
位移法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{u}=boldsymbol{F}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{u}$是结构的位移向量，$boldsymbol{F}$是结构的外力向量。
在这个方程中，$boldsymbol{u}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{F}$是已知量。
因此，通过求解这个方程，可以得到结构的位移和反力。
二、力法的典型方程力法是一种基于平衡原理的方法，它假设结构的外力和支座反力是已知的，通过求解结构的内力和位移来满足平衡条件。
力法的典型方程是：$$boldsymbol{K}boldsymbol{x}=boldsymbol{P}$$其中，$boldsymbol{K}$是结构的刚度矩阵，$boldsymbol{x}$是结构的位移向量，$boldsymbol{P}$是结构的等效节点力向量。
在这个方程中，$boldsymbol{x}$是未知量，$boldsymbol{K}$和$boldsymbol{P}$是已知量。
因此，通过求解这个方程，可以得到结构的内力和位移。
三、位移法和力法的相似性位移法和力法的本质是相同的，它们都是基于平衡原理和变形原理的。
因此，它们的典型方程也具有相似性。
首先，它们的典型方程都是线性方程组。
在位移法和力法中，结构的刚度矩阵和等效节点力向量都是已知的，未知量是结构的位移和反力（力法中是内力和位移）。
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解
超静定结构是指在结构中存在多余的支座或者杆件，使得结构的自由度小于零，即结构无法通过静力学方法求解。
在这种情况下，我们需要采用力法或者位移法来求解结构的内力和位移。
力法是指通过假设结构内力的大小和方向，来求解结构的内力和位移的方法。
在力法中，我们需要假设结构内力的大小和方向，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
力法的优点是计算简单，适用于简单的结构，但是对于复杂的结构，力法的假设可能会导致误差较大。
位移法是指通过假设结构的位移，来求解结构的内力和位移的方法。
在位移法中，我们需要假设结构的位移，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
位移法的优点是适用于复杂的结构，可以准确地求解结构的内力和位移，但是计算较为繁琐。
在实际工程中，我们通常采用力法和位移法相结合的方法来求解超静定结构。
首先，我们可以通过力法来确定结构的内力大小和方向，然后再通过位移法来求解结构的位移。
这种方法可以充分利用力法和位移法的优点，减小误差，提高计算精度。
超静定结构的求解需要采用力法和位移法相结合的方法，通过假设结构的内力和位移，来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，以保证计算精度和效率。
福建专升本建筑学力法位移法支座位移解析
一、静定结构在支座移动时的位移计算静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只会发生刚体位移。
因此，静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。
应用虚功方程求解时，虚拟状态的选取同前，因实际状态的变形为零，因此内力虚功为零。
这时结构的位移表达式可以根据式（8-9）改写为（8-28）如果令表示支座移动所引起的位移，为虚拟状态中的支座反力，表示支座位移，则式（8-28）改写为（8-29）式（8-29）就是计算结构由于支座移动所引起的位移表达式。
例8-11 图8-30a 所示为三铰刚架。
支座B 有水平位移a 和竖向位移b ，试求铰C 两边截面的相对转角。
图8-30解：为求C 铰两边截面的相对转角，需在其两边截面施加一对方向相反的单位力偶。
此时因单位力偶的作用产生的支座反力为、、、，如图8-30b 所示。
利用式（8-29），得∑⋅-=c R k K ∆ic ∆R c ∑⋅-=c R ic∆Ax F Ay F Bx F By F ())(h a 0a h 1b F a F c R By Bx C ic 弧度-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=⋅-⋅-=⋅-==∆∑ϕ负号表示C处的相对转动的方向与所设的单位力偶的转向相反。
例1 已知简支梁AB跨度为l，右支座B竖直下沉Δ，如图(a)所示。
求梁中点C的竖向位移ΔCV。
解：(1) 在梁中点C处加单位力P=1，如图(b)所示。
(2)计算单位荷载作用下的支座反力:由于A支座无位移，故只需计算B支座反力RB即可。
由对称得B支座反力RB=1/2 (↑)(3) 计算ΔCVΔCV=-∑RC=-(-1/2×Δ)=Δ/2 (↓)例2 图示三铰刚架跨度l=12m，高为h=8m。
已知右支座B发生了竖直沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm (向右)，如图(a)所示。
求由此引起的左支座A处的杆端转角φA。
解: (1) 在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。
(2) 计算单位荷载作用下的支座反力由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。
力法和位移法—有结点线位移钢架的计算(建筑力学)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3)求未知量、 。 对刚结点C列平衡方程 转角位移方程化简得 4)求杆端弯矩。
MC 0 : MCA MCD 0
4 3 8 6 0 2
10 3 8 0
2
取刚架整体列投影方程 Fx 0 : ql FQAC FQBD 0
3 15 12 0
24 ( 3 3 12) 3 0
单元八 熟用力法和位移法
主要内容
无结点线位移结构的计算 有结点线位移钢架的计算
有结点线位移刚架的计算
5-3 用位移法计算图示超静定刚架，作出弯矩图。
解：1)确定基本未知量。 C点角位移和一线位移记
2)写出转角位移方程：
M AC
2i
6i ql 2 l 12
2 6 6 42 4 12
8
8.82kN m
MCD 6 61.47 8.82kN m
M BD
3 4
3 4
15.16
11.37 kN m
熟知力法的基本原理
用力法计算超静定结构的步骤归纳如下：
1）判定结构的超静定次数，选取力法基本结构。 2）根据基本结构在去掉多余约束处的位移等于原结构相应处的
位移，建立力法方程。
3）计算力法方程中各系数和自由项。为此，需要绘出基本结构
解：1)确定基本未知量。 C点角位移和一线位移记
2)写出转角位移方程：
M AC
2i
6i ql 2 l 12
2 6 6 42 4 12
2 3 8 2
M CA
4i
6i l
ql 2 12
4
6 4
6 42 12
4
3 2
8
MCD 3i 3 2 6
M BD
第8章 位移法
§8－1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
基本概念：（以刚架为例）
n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形，
结点位移
Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件
§8－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB
弦转角βAB = ΔAB∕l 顺时针为（＋）
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
11x1 12 x2 1 A 21x1 22 x2 2 B
1、基本未知量的确定 刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变） 角位移数＝刚结点数
固定端角位移＝0 铰结点、铰支座处杆端转角不独立
线位移数＝独立的结点线位移数
a．观察——φ、Δ
b．独立线位移数——几何构造分析方法确定： （1）将所有刚结点（包括固定支座）变铰结点 （2）铰结体系的自由度数＝独立的线位移数
图8－7 M1：r11=3i + 3i＝6i MP： R1P=96-120=-24kN∙m Z1=-R1P/r11=4kN∙m/i M=MP+Z1M1
无侧移刚架： 【题9－9】2个转角位移 （对称性利用——1个转角位移）
例：（图8－9） （a）有侧移结构
计算步骤 （1）基本未知量 z1（φ1）、z2（Δ2） 刚结点——附加刚臂（只约束转动，不约束移动） 结点——附加支座链杆（独立线位移方向）
力法和位移法的基本方程
力法和位移法的基本方程力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法。
力法是以外力为基础，通过计算结构内力来求解结构的变形和应力状态；位移法则是以结构变形为基础，通过计算结构位移来求解结构的内力和应力状态。
两种方法各有优缺点，应根据具体情况选择合适的方法进行分析。
力法的基本方程为平衡方程和应力-应变关系式。
平衡方程是指结构受到的外力与内力的平衡关系，可以用以下公式表示：∑F = 0其中，∑F表示结构受到的所有外力的合力，等于内力的合力。
这个方程可以用来计算结构的内力分布。
应力-应变关系式是指材料的应力与应变之间的关系，可以用以下公式表示：σ = Eε其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
这个方程可以用来计算结构的应力分布。
位移法的基本方程为位移-力关系式和应力-应变关系式。
位移-力关系式是指结构的位移与内力之间的关系，可以用以下公式表示：u = ∑(k_i)^(-1)F_i其中，u表示结构的位移，k_i表示第i个节点的刚度，F_i表示第i个节点的外力。
这个方程可以用来计算结构的内力分布。
应力-应变关系式同样适用于位移法，可以用来计算结构的应力分布。
需要注意的是，力法和位移法的基本方程只是分析结构的起点，具体的分析方法和计算过程还需要根据具体情况进行选择和确定。
同时，结构的材料性质、几何形状、边界条件等因素也会对分析结果产生影响，需要进行综合考虑。
总之，力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法，它们的基本方程为平衡方程和应力-应变关系式、位移-力关系式和应力-应变关系式。
在实际分析中，应根据具体情况选择合适的方法进行分析，并考虑结构的材料性质、几何形状、边界条件等因素。
第八章 位移法
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为
6i F ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l M AB 4i A 2i B
转角位移方程
第8章 位移法
三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
EI FP B
FP
EI EI
EI
EI
3、图示结构，各杆长为l， 用位移法求解时， 典型方程的系数r11= ，自由项R1P= 。
FPl FP
4、已知刚架的弯矩图如图所示，各杆 EI为常数，杆长l=4m，则结点B的转角 ΦB= 。 30
30
l
l/2
l/2
第8章 位移法
例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
由
M M1Z1 M
第8章 位移法
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
FS13 FS24 0
φA P q βAB φA FSAB FSBA l EI t1˚C t2˚C
MAB
A
B ΔAB
B'
EI EI F M 3 3 Δ M AB A AB l l2 M BA 0
EI 令：i 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
一、杆端力的表示方法和正负号的规定
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 平面杆系结构位移计算一般公式R N s K F c F du Md F ds ϕγ∆=-+++∑∑∑∑⎰⎰⎰弹塑性结构都适用。
( )
2. 图示结构的超静定次数为：
(
) A. 7； B. 8； C. 9； D. 10。
3．图中取A 支座反力为力法的基本未知量X 1 (向上为正)，则X 1为 （ ） A. 3P/16； B. 4P/16； C. 5P/16； D. 不定，取决于EI 值
4. 图示梁的跨中挠度为零。
（ y ）
5．图示结构的超静定次数是 。
6. n 次超静定结构，只需去掉n 个多余约束即可作为力法基本结构。
（n ）
7. 试求图示结构C 截面的角位移。
8. 图示结构的超静定次数为： ( ) ①. 5； ②. 6； ③. 7； ④. 8。
9.
A. θ2=Δ4
B. θ1=Δ5
C. Δ1=θ2+θ3
D. Δ4=θ2+θ
3
10．已知图示简支梁仅在C 点作用荷载P 1=1时，D 点产生的竖向位移为f D ＝2mm （ ），则
当在D 点作用荷载P 2=2时，C 点产生的竖向位移为f c ＝______mm 。
(a) 11．图示对称刚架，A 支座的三个反力中，必定为零的是 （ ）
A ． V A ;
B ． H A ;
C ． M A ;
D ． H A 和M A 。
12．图示下承式三角形桁架中，a 杆轴力a N 的影响线在C 点处的竖标值为_______。
13. 图（a ）所示结构，取图（b ）所示结构为力法基本体系进行计算，则力法方程为：
1111p X δ+∆= 。
(各二力杆EA 为常数).
(a) (b)
14. 图示三铰拱，支座B发生竖向位移Δ，K点的竖向位移为（向下为正）：（）
A. Δ；
B. Δ/4；
C.Δ/2；
D. 3Δ/4 .
f
2f/3
A
Δ
15. 图示对称结构，C截面的3( )
A.N C 、Q C ；
B.N C 、M C；
C.M C 、Q C；
D.M C 、N C 、Q C。
16. 图示2个结构，材料、外形、荷载和支承均相同，它们左柱上端的弯矩关系是：（）
A.M DC＞M BA ；
B. M DC＜M BA；
C.M DC=M BA；
D.不一定。
17.图示结构的超静定次数为
18. 求图中所示结构 C 点的竖向位移△Cy 。
各杆EI、EA均为常数。
19．（12分）试求图示结构B 截面的水平位移。
20. (10分)求图示结构铰C 两侧截面的相对转角θc 。
各杆EI 为常数。
21．试求图示结构C 截面的水平位移。
各杆EI 为常数。
22. 试求图示结构C 点的水平线位移（各杆EI 为常数）。
q 23. (10分)求图示结构C 点竖向位移Δcy 。
各杆
EI 为常数。
24．试求图示结构C点的水平线位移
CX
25. 试求图示结构C点的水平线位移（各杆EI为常数）。
q
26.求图示结构最大挠度。
EI为常数。
27. 用力法求图示结构的弯矩图。
28．用力法求图示结构的弯矩图，EI为常数，P=qL。
29．试写出用力法计算图示结构的典型方程（采用右图所示基本体系），并求出方程中的全部系数和自由项（不求解方程）。
已知各杆EI=常数。
30. 用力法绘出刚架的M 图。
EI 为常数，各杆均不计轴向变形。
31. 用力法求图示结构的M 图，其中链杆BG 的刚度EA=∞，其余各杆刚度EI=常数。
q
q
F
l
l
l/2
l/2
32．（14分）用力法求图示结构的弯矩图。
各杆EI 为常数。
33．（14分）用力法求图示结构的弯矩图。
34. 用力法求图示结构的弯矩图（各杆EI为常数）。
35. （11EI为常数）。
36.（12分）用力法作图示超静定刚架的弯矩图（EI为常数）。
37.（12分）用力法作图示超静定刚架的弯矩图（EI为常数）。
38.（12分）用力法作图示超静定刚架的弯矩图（EI为常数）。