备战2023年上海中考数学真题(5年)与一二模题(1年)分类汇编填空压轴题含详解

专题03 填空压轴题1．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，4AB=，6BC=，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE上一点，O的半径为1，如果O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．2．（2022•虹口区二模）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是边CD的中点，将BCM∆沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点E处，联结AE并延长交射线BM于点F，那么EF的长为．3．（2022•普陀区二模）如图，矩形ABCD中，3AB=，4BC=．矩形ABCD绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点B'、C'、D'，如果点B'恰好落在对角线BD上，联结DD'，DD'与B C''交于点E，那么DE=．4．（2022•浦东新区二模）如图，已知在ABC∆中，90C∠=︒，4AC=，点D在边BC上，且BD AC=，4sin5ADC∠=．那么边BC的长为．5．（2022•浦东新区二模）如图，已知在Rt ABC∆中，90C∠=︒，将ABC∆绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D（不与点B重合）处，点A落在点E处，如果//DE BC，联结AE，那么sin EAC∠的值为．6．（2022•杨浦区三模）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，ABC ∆是等高底三角形，BC 是等底，点A 关于直线BC 的对称点是点A '，联结AA '，如果点B 是△AAC '的重心，那么ACBC的值是 ．7．（2022•杨浦区三模）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC =，4cos 5B =，点P 是斜边AB 上一点，过点P 作PM AB ⊥交边AC 于点M ，过点P 作AC 的平行线，与过点M 作AB 的平行线交于点Q ．如果点Q 恰好在ABC ∠的平分线上，那么AP 的长为 ．8．（2022•徐汇区模拟）如图，已知点(0,8)A 和点(4,8)B ，点B 在函数(0)ky x x=>的图象上，点C 是AB 的延长线上一点，过点C 的直线交x 轴正半轴于点E 、交双曲线于点D ．如果CD DE =，那么线段CE 长度的取值范围是 ．9．（2022•徐汇区模拟）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知90ABO∠=︒，3OB=，4AB=，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为．10．（2022•徐汇区模拟）如图，在ABCD中，70B∠=︒，6BC=，以AD为直径的O交CD于点E，则劣弧AE的长为．（结算结果保留)π11．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知点A是双曲线1(0)y xx=<上一动点，联结OA，作OB OA⊥，且2OB OA=，如果当点A在双曲线1yx=上运动时，点B恰好在双曲线kyx=上运动，那么k的值为．12．（2022•黄浦区校级二模）已知点P是直线2y=上一点，P与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果2AB=，那么点P的坐标是．13．（2022•黄浦区校级二模）如图，在ABC∆中，120ACB∠=︒，6AC BC==，点E在边AB上且2AE BE=，点F在边BC上，过点F作EF的垂线交射线AC于点G，当Rt EFG∆的一条直角边与ABC∆的一边平行时，则AG=．14．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，2AC =，3cos 5C =．BC 的垂直平分线交AB 于点E ，那么:BE AE 的值是 ．15．（2022•宝山区模拟）如图1，ABC ∆内有一点P ，满足PAB CBP ACP ∠=∠=∠，那么点P 被称为ABC ∆的“布洛卡点”．如图2，在DEF ∆中，DE DF =，90EDF ∠=︒，点P 是DEF ∆的一个“布洛卡点”，那么tan DFP ∠= ．16．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，在Rt ABC ∆内部作正方形1111D E FG ，其中点1D ，1E 分别在AC ，BC 边上，边11F G 在BC 上，它的面积记作1S ；按同样的方法在△11CD E 内部作正方形2222D E F G ，它的面积记作2S ，2S = ，⋯，照此规律作下去，正方形n n n n D E F G 的面积n S = ．17．（2022•徐汇区校级模拟）如图，点P 是y 轴正半轴上一点，以P 为圆心的圆与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 、C 、D ．已知点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,1)-，则点D 的坐标为 ．18．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在直角坐标系中，(0,3)B 、(4,0)C 、(0,2)D ，AB 与CD 交于点P ，若45APC ∠=︒，则A 点坐标为 ．19．（2022•普陀区模拟）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt ABC ∆为“格线三角形”，且90BAC ∠=︒，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为 ．20．（2022•普陀区模拟）如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5tan 12A =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒后得ADE ∆，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，联结BE 、CD ，作CAD ∠的平分线AN ，交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AMAN的值为 ．21．（2022•宝山区模拟）如图，正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，点A 、B 、C 在同一条直线上，联结AD 、BD ，那么cot ADB ∠的值为 ．22．（2022•宝山区模拟）如图，已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3sin 5A =，把ABC ∆绕着点C 按顺时针方向旋转．将点A 、B 的对应点分别记为点A '、B '，如果△AA B ''为直角三角形，那么点A 与点A '的距离为 ．23．（2022中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =b =，得1ab =，记11111S a b=+++，2221111S a b =+++，⋯，1010101111S a b=+++，则1210S S S ++⋯+= ． 24．（2022•松江区校级模拟）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，点D 在边BC 上，且4BD =，过点D 的面积等分线交ABC ∆的边于点E ，那么线段AE 的长等于 ．25．（2022•松江区校级模拟）如图，已知在ABC ∆中，AB AC =，1tan 2B ∠=，将ABC ∆翻折，使点C 与点A 重合，折痕DE 交边BC 于点D ，交边AC 于点E ，那么BDDC的值为 ．26．（2022•浦东新区校级模拟）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形” ABCD 的边长为4，BD 是它的较短对角线，点M 、N 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足4AM CN +=，设BMN ∆的面积为S ，则S 的取值范围是 ．27．（2022•浦东新区校级模拟）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB CD ==，4sin 5B =，点E 是腰CD 上的一点且4CD DE =，当ABE ∆是直角三角形时，则边AD 的长为 ．28．（2022•嘉定区校级模拟）如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM AB ⊥，ON AC ⊥，垂足分别为M 、N ，如果3MN =，那么BC = ．29．（2022•嘉定区校级模拟）Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，50B ∠=︒，点D 在边BC 上，2BD CD =（如图）．把ABC ∆绕着点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒后，如果点B 恰好落在初始Rt ABC ∆的边上，那么m = ．30．（2022•金山区校级模拟）如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔塔尖点P 的仰角为60︒，沿山坡向上走200米到达B 处，在B 处测得点P 的仰角为15︒．已知山坡AB 的坡度i =H 、A 、B 、P 在同一平面内，那么电视塔的高度PH 为 米．（结果保留根号形式）31．（2022•金山区校级模拟）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．将ABC ∆翻折，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕EF 交边AC 于点E ，交边BC 于点F ，如果//DE BC ，则线段EF 的长为 ．32．（2022•青浦区模拟）设a，b是任意两个实数，用{max a，}b表示a，b两数中较大者，例如：{2=．参照上面的材料，如果=，{3-=-，{1max-，2}2max-，2}2max，2}3-+=-+，那么x的取值范围是．x x{21-+，2}2max x33．（2022•青浦区模拟）在矩形ABCD中，5BC=（如图）．将矩形ABCD绕点BAB=，3按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，点A的对应点为点E，且在边CD上，如果联结CG，那么CG的长为．34．（2022•松江区校级模拟）如图，在ABC∠=︒，ACAACB∆中，90∠=︒，45D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90︒的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．35．（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt ABC∠=︒，10AC=，点A∆中，90∠=︒，60BM、N分别在线段AC、AB上，将ANM∆沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM∆为直角三角形时，折痕MN的长为．专题03 填空压轴题1．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 是BC 的中点，联结AE ，点O 是线段AE 上一点，O 的半径为1，如果O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 ．【答案】51534AO <<【详解】设O 与AB 相切于点F ，连接OF ，1OF =，116322BE BC ==⨯=，90B ∠=︒，5AE ∴==，ABE ∆中，AB BE >，BAE ∴∠<∠BEÁ//AD BC ，DAE BEA ∴∠=∠， BAE DAE ∴∠<∠，90AFO ABE ∠=∠=︒，FAO BAE ∠=∠， AFO ABE ∴∆∆∽，∴AO OF AE EB =，即15533OF AE AO EB ⨯⨯===，DAE BAE ∠>∠，∴若O 与AD 相切时，和AB 一定相交；若O 与AB 相切时，和AD 一定相离．同理当O 与BC 相切于点M 时，连接OM ，1OM =，计算得54EO =， ∴此时5155544AO EO =-=-=，∴当51534AO <<时，O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点， 故答案为：51534AO <<．2．（2022•虹口区二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点M 是边CD 的中点，将BCM ∆沿直线BM 翻折，使得点C 落在同一平面内的点E 处，联结AE 并延长交射线BM 于点F ，那么EF 的长为 ．【详解】连接CE ，交BF 于点H ，过点B 作BN AF ⊥于点N ，由翻折得，BM 垂直平分EC ，BEH BCH ∆≅∆，12∠=∠， 1AB BC BE ===，BN AF ⊥， ABN NBE ∴∠=∠，111904522NBE ABC ∴∠+∠=∠=⨯︒=︒，BNF ∴∆是等腰直角三角形，45F ∠=︒，EHF ∴∆是等腰直角三角形，在Rt BEM ∆中，BM ==1122BEM S BE EM BM EH ∆=⋅=⋅，∴1111222EH ⨯⨯=，EH ∴=EF ∴，． 3．（2022•普陀区二模）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D '，如果点B '恰好落在对角线BD 上，联结DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE = ．【答案】2120【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，3AB =，4BC AD ==，90ABC ∠=︒，5BD ∴=，1122ABD S AB AD BD AF ∆=⨯=⨯， 345AF ∴⨯=，125AF ∴=，95BF ∴==， 将矩形ABCD 绕着点A 旋转后得到矩形AB C D '''，AB AB '∴=，90ABC AB C ''∠=∠=︒，AD AD '=，AF BD ⊥，95BF B F '∴==， 187555B D BD BB ''∴=-=-=， 由旋转的性质可知，AB AB '=，AD AD '=，BAB DAD ''∠=∠，ABD ADD '∴∠=∠，90ABD ADB ∠+∠=︒，90ADD ADB '∴∠+∠=︒，90AB F DB E ''∠+∠=︒，90DB E B ED ''∠+∠=︒，AB F DEB ''∴∠=∠，90AFB B DE ''∠=∠=︒，AFB '∴∆∽△B DE '， ∴AF B F B D DE'='， ∴1295575DE=， 2120DE ∴=． 故答案为：2120． 4．（2022•浦东新区二模）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，点D 在边BC 上，且BD AC =，4sin 5ADC ∠=．那么边BC 的长为 ．【答案】7 【详解】在Rt ADC ∆中，90C ∠=︒，sin AC ADC AD ∴∠=， 4sin 5ADC ∠=，4AC =， 5AD ∴=，∴在Rt ADC ∆中，根据勾股定理得：3CD ，BD AC =，4∴=，BDBC BD DC∴=+=+=．4375．（2022•浦东新区二模）如图，已知在Rt ABC∠=︒，将ABC∆绕着点C旋转，C∆中，90点B恰好落在边AB上的点D（不与点B重合）处，点A落在点E处，如果//DE BC，联结AE，那么sin EAC∠的值为．【详解】如图：将ABC∆绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D，=，∠=∠，AC EC∴=，EDC BBC DC∴∠=∠=∠，CDB B EDC//DE BC，∴∠=∠，EDC DCB∴∠=∠=∠，CDB B DCB∠=︒，DCB∴∆是等边三角形，60DCB∴∠=︒-∠=∠=︒，ACE ACD DCB9060∴∆是等边三角形，ACEEAC∴∠=︒，60∴∠=，sin EAC．6．（2022•杨浦区三模）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，ABC ∆是等高底三角形，BC 是等底，点A 关于直线BC 的对称点是点A '，联结AA '，如果点B 是△AAC '的重心，那么AC BC的值是 ．【详解】延长CB 与AA '交于点D ，点A 关于直线BC 的对称点是点A '，AC AC ∴='，AD A D ='，AD CD ⊥，ABC ∆是等高底三角形，BC 是等底，AD BC ∴=，点B 是△AAC '的重心，23AD BC CD ∴==， 设2AD BC x ==，则3CD x =，AC ∴=，∴AC BC ==7．（2022•杨浦区三模）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC =，4cos 5B =，点P 是斜边AB 上一点，过点P 作PM AB ⊥交边AC 于点M ，过点P 作AC 的平行线，与过点M 作AB 的平行线交于点Q ．如果点Q 恰好在ABC ∠的平分线上，那么AP 的长为 ．【答案】53【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC =，4cos 5B =，10cos BC AB B ∴==，6AC ==， PM AB ∴⊥，90APM C ∴∠=︒=∠，A A ∠=∠，APM ACB ∴∆∆∽， ∴AP PM AM AC BC AB==， 设3AP x =，则4PM x =，5AM x =，65MC x ∴=-，//MN AB ， ∴CM CN MN CA CB AB==， 2083CN x ∴=-，25103MN x =-， BQ 平分ABC ∠，//MN AB ，QBN BQN ∴∠=∠，203NQ BN BC CN x ∴==-=， //MN AB ，//PQ AC ，∴四边形APQM 是平行四边形，3QM AP x ∴==，2029333MN NQ MQ x x x ∴=+=+=， ∴29251033x x =-， 解得59x =， 533AP x ∴==， 故答案为：53．8．（2022•徐汇区模拟）如图，已知点(0,8)A 和点(4,8)B ，点B 在函数(0)k y x x=>的图象上，点C 是AB 的延长线上一点，过点C 的直线交x 轴正半轴于点E 、交双曲线于点D ．如果CD DE =，那么线段CE 长度的取值范围是 ．【答案】885CE <【详解】(0,8)A ，(4,8)B ，//AB x ∴轴．点B 在双曲线(0)k y x x =>上， 84k ∴=， 32k ∴=．过点D 作DF OA ⊥于点F ，如图，则//DF AB ．(0,8)A ，8OA ∴=．CD DE =，142AF OF OA ∴===， ∴点D 的纵坐标为4，点D 在双曲线32y x=上， 8x ∴=， (8,4)D ∴．当EC x ⊥轴时，此时EC 最小，8EC OA ==；当点E 与点O 重合时，此时EC 最大，CD DE =，∴点(16,8)C ，EC ∴=点E 在x 轴正半轴，885CE ∴<， 故答案为：885CE <．9．（2022•徐汇区模拟）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E 、F 、G 、H 分别在白色直角三角形的斜边上，已知90ABO ∠=︒，3OB =，4AB =，若点A 、E 、D 在同一直线上，则OE 的长为 ．【答案】4537【详解】建立平面直角坐标系如图：90ABO ∠=︒，3OB =，4AB =，ABO CDO ∆≅∆， 3OD OB ∴==，4CD AB ==，∴点(4,3)A --、(0,3)B -、(3,4)C -、(3,0)D ， 设直线AD 的解析式为y kx b =+，∴4330k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得3797k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为3977y x =-， 设直线OC 析式为y mx =，34m ∴=-，解得43m =-， ∴直线OC 析式为43y x =-， 联立397743y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得27373637x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，27(37E ∴，36)37-，4537OE ∴==． 故答案为：4537． 10．（2022•徐汇区模拟）如图，在ABCD 中，70B ∠=︒，6BC =，以AD 为直径的O 交CD 于点E ，则劣弧AE 的长为 ．（结算结果保留)π 【答案】73π 【详解】四边形ABCD 是平行四边形，70B ∠=︒，6BC =， 70D B ∴∠=∠=︒，6BC AD ==， 连接OE ，2140AOE D ∴∠=∠=︒，3OA OD ==， ∴劣弧AE 的长为：140371803ππ⨯=， 故答案为：73π．11．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知点A 是双曲线1(0)y x x=<上一动点，联结OA ，作OB OA ⊥，且2OB OA =，如果当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 恰好在双曲线k y x=上运动，那么k 的值为 ．【答案】4-【详解】过A 作AC x ⊥轴于点C ，过B 作BD x ⊥轴于点D ， OB OA ⊥，90BOD AOC AOC OAC ∴∠+∠=∠+∠=︒， BOD OAC ∴∠=∠，且BDO ACO ∠=∠， AOC OBD ∴∆∆∽，2OB OA =， ∴21()4AOC OBD S OA S OB ∆∆==， ∴111214||2k ⨯=， ||4k ∴=，0k <，4k ∴=-，故答案为：4-．12．（2022•黄浦区校级二模）已知点P 是直线2y =上一点，P 与y 轴相切，且与x 轴负半轴交于A 、B 两点，如果2AB =，那么点P 的坐标是 ．【答案】(2)【详解】根据题意，画出图形如下：AB=，∴=，2ON2过点P作x轴的垂线，垂足为M，==，AM BM∴=，1PM2在Rt PBM∆中，PB===，P与y轴相切，∴⊥轴，PN PBPN y=，P与x轴负半轴交于A、B两点，∴点P的坐标是(2)．故答案为：(2)．13．（2022•黄浦区校级二模）如图，在ABCAC BC∠=︒，6==，点E在边ACB∆中，120=，点F在边BC上，过点F作EF的垂线交射线AC于点G，当Rt EFG AE BEAB上且2∆的一条直角边与ABC∆的一边平行时，则AG=．【答案】4或8【详解】过点C作CM AB⊥，AC BC==，ACB∠=︒，6120∴∠=∠=︒，30A B在Rt CBM ∆中，132CM BC ==，22AB BM ∴===2AE BE =，AE ∴=BE =①当//GF AB 时，由题意可得90GFE ∠=︒， 90FEB ∴∠=︒，在Rt EFB ∆中，30B ∠=︒，2EF ∴==，4BF =， 又//GF AB ，30CGF CFG ∴∠=∠=︒， 2CG CF ∴==， 4AG ∴=；②当//GE BC 时，此时AG AEAC AB=，∴6AG =， 4AG ∴=；③当//EF AC 时，此时30FEB A ∠=∠=︒，过点F 作FN EB ⊥，EN BN ∴=22BF FN ==，120ACB ∠=︒，90CGF ∠=︒，60GCF ∴∠=︒，在Rt CGF ∆中，11(62)222CG CF ==-=，628AG ∴=+=，综上，AG 的长为4或8， 故答案为：4或8．14．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，2AC =，3cos 5C =．BC 的垂直平分线交AB 于点E ，那么:BE AE 的值是 ．【答案】7【详解】过点A 作AH BC ⊥于H ，作BC 的垂直平分线交AB 于点E 、交BC 于F ， 在Rt AHC ∆中，cos CHC AC=，2AC =， 则325CH =， 解得：65CH =，由勾股定理得：85AH ，在Rt ABH ∆中，45B ∠=︒， 则85BH AH ==，145BC BH CH ∴=+=， EF 是BC 的垂直平分线，75BF ∴=， 15FH BH BF ∴=-=，EF BC ⊥，AH BC ⊥， //EF AH ∴，∴7BE BFEA FH==， 故答案为：7．15．（2022•宝山区模拟）如图1，ABC ∆内有一点P ，满足PAB CBP ACP ∠=∠=∠，那么点P 被称为ABC ∆的“布洛卡点”．如图2，在DEF ∆中，DE DF =，90EDF ∠=︒，点P 是DEF ∆的一个“布洛卡点”，那么tan DFP ∠= ．【答案】12【详解】DE DF =，90EDF ∠=︒，EF ∴=，45DEF DFE ∠=∠=︒，点P 是DEF ∆的一个“布洛卡点”，EDP PEF DFP ∴∠=∠=∠，DEP PFE ∴∠=∠， DEP EFP ∴∆∆∽，∴DE DP PE EF EP PF ===，DP ∴=，PF =，1tan 2DP DFP PF ∴∠==， 故答案为：12． 16．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，在Rt ABC ∆内部作正方形1111D E FG ，其中点1D ，1E 分别在AC ，BC 边上，边11F G 在BC 上，它的面积记作1S ；按同样的方法在△11CD E 内部作正方形2222D E F G ，它的面积记作2S ，2S = ，⋯，照此规律作下去，正方形n n n n D E F G 的面积n S = ．【答案】483，283n 【详解】CA CB =，90C ∴∠=︒， 45A B ∴∠=∠=︒，正方形1111D E FG ，易知113AB G F =，11223G F G F =，∴正方形1111D E FG 的边长为3，面积为28893=，正方形2222D E F G ，面积为483， ⋯，正方形n n n n D E F G 的面积283n nS =， 故答案分别为483，283n ． 17．（2022•徐汇区校级模拟）如图，点P 是y 轴正半轴上一点，以P 为圆心的圆与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 、C 、D ．已知点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,1)-，则点D 的坐标为 ．【答案】(0,9) 【详解】连接AP ，点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,1)-，3OA ∴=，1OC =，设P 的半径为x ，则1OP PC OC x =-=-，在Rt AOP ∆中，222OA OP AP +=， 即2223(1)x x +-=， 解得：5x =，5PD ∴=，14OP x =-=，9OD OP PD ∴=+=，∴点D 的坐标为：(0,9)．故答案为：(0,9)．18．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在直角坐标系中，(0,3)B 、(4,0)C 、(0,2)D ，AB 与CD 交于点P ，若45APC ∠=︒，则A 点坐标为 ．【答案】(1,0)【详解】如图，将DC 绕点D 逆时针旋转90︒得到DQ ，则(2,6)Q(4,0)C ，∴直线CQ 的解析式为312y x =-+，45APC DCQ ∠=∠=︒， //AB CQ ∴，∴直线AB 的解析式为33y x =-+， ∴点(1,0)A ，故答案为：(1,0)．19．（2022•普陀区模拟）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt ABC ∆为“格线三角形”，且90BAC ∠=︒，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为 ．【答案】3【详解】过B 作BE ⊥直线a 于E ，延长EB 交直线c 于F ，过C 作CD ⊥直线a 于D ，则90CDA AEB ∠=∠=︒，直线//a 直线//b 直线c ，相邻两条平行线间的距离相等（设为)d ，BF ∴⊥直线c ，2CD d =，BE BF d ∴==，90CAB ∠=︒，90CDA ∠=︒，90DCA DAC ∴∠+∠=︒，90EAB DAC ∠+∠=︒， DCA EAB ∴∠=∠，在CDA ∆和AEB ∆中， DCA EAB CDA AEB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CDA AEB AAS ∴∆≅∆， 2AE CD d ∴==，AD BE d ==，23CF DE AE AD d d d ∴==+=+=， BF d =，3cot 3CF dBF dα∴===， 故答案为：3．20．（2022•普陀区模拟）如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5tan 12A =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒后得ADE ∆，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，联结BE 、CD ，作CAD ∠的平分线AN ，交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AMAN的值为 ．【答案】23【详解】方法一：解：由90C ∠=︒和5tan 12A =可设5BC k =，12AC k =， 13AB k ∴=，由旋转得，12AE AC k ==，5ED BC k ==，13AB AD k ==，如图，以点C 为原点，BC 和AC 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,12)A k ，(5,0)B k -，旋转角为90︒，(12,12)E k k ∴，(12,7)D k k ，过点N 作NF AC ⊥于点F ，交BE 于点P ，作NH AD ⊥于点H ， AN 平分CAD ∠， NF NH ∴=，∴1213ANC AND S AC kS AD k∆∆==， 又ANC ∆在边CN 上的高和AND ∆在边DN 上的高相等，∴1213ANC AND S CN DN S ∆∆==， ∴点N 的坐标为144(25k ，84)25k，设直线BE 的解析式为y mx n =+，则 501212km n km n k -+=⎧⎨+=⎩，解得：12176017m k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BE 的解析式为12601717y x k =+， 当8425k y =时，126084171725kx k +=， 解得：625x k =-， 6(25P k ∴-，84)25k ， 1446()62525k NP k k ∴=--=， NF AC ⊥，90EAC ∠=︒， //AE NP ∴， MAE MNP ∴∆∆∽，∴1226AM AE k NM NP k ===， ∴23AM AN =， 方法二：解：由题可知，BAC DAE ∠=∠，CAM MAD ∠=∠， BAC CAM DAE MAD ∴∠+∠=∠+∠， BAN NAE ∴∠=∠，如图，延长AN ，交BC 的延长线于点F ， //AE BC ， EAN AFC ∴∠=∠， BAN AFC ∴∠=∠，BF BA ∴=，设5BC =，12AC =，13AB =，∴1213AE BF =， AME FMB ∴∆∆∽，∴1213AM AE MF BF ==，∴1225AM AF =， 延长AD 与BC 的延长线交于点H ，延长ED 与BH 交于点I ， 5DE =，∴四边形ACIE 为正方形，7DI ∴=，延长CD 与AE 延长线交于点G ， 易证EDG IDC ∆∆∽，∴EG DECI DI=，即5127EG =， 607EG ∴=， 601441277AG ∴=+=， 易知，ANG FNC ∆∆∽，∴AN AG NF FC=， 13BF =，5BC =， 8CF ∴=， ∴14418787AN NF ==， ∴1825AN NF =， 1225AM AF =， ∴122183AM AN ==， 故答案为：23．21．（2022•宝山区模拟）如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C在同一条直线上，联结AD、，那么的值为．【答案】3【详解】连接交于，设正方形的边长为，，，，，，，故答案为：3．22．（2022•宝山区模拟）如图，已知在中，，，，把绕着点按顺时针方向旋转．将点、的对应点分别记为点、，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为．【答案】或【详解】在中，，，，，，，，，绕着点按顺时针方向旋转得到△，，，，①当时，如图，过点作，，，，，，；②当时，如图，过点作，，，，，，，，，在中，，，，，在△中，，③当时，如图，过点作，，，，，，，，综上所述，或，故答案为：或．23．（2022•徐汇区模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，则．【答案】10【详解】，，，，，故答案为10．24．（2022•松江区校级模拟）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知中，，，点在边上，且，过点的面积等分线交的边于点，那么线段的长等于．【答案】【详解】过点作于，过点作于，，．，．在中，由勾股定理，得．，．，，，即．，，，，即，．故答案为：．25．（2022•松江区校级模拟）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为．【答案】【详解】过点作于点，连接．由翻折可知，，，，，．设，在中，，，，在中，，，，，则，．故答案为：．26．（2022•浦东新区校级模拟）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为4，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是．【答案】【详解】菱形的边长为4，，和都为正三角形，，，，，，在和中，，；，，，，，为正三角形；设，则，当时，最小为：，，当与重合时，最大，菱形的边长为4，，最大为4，，．则的取值范围是．故答案为：．27．（2022•浦东新区校级模拟）如图，在梯形中，，，，点是腰上的一点且，当是直角三角形时，则边的长为．【答案】【详解】如图，过点作交于点，以为坐标原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，，，，，，，设，如图，过点，作，于点，，，四边形是矩形，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，是直角三角形，当时，，，解得，当时，此种情况不存在，一线三垂直模型可算出结果是根号则边的长为．故答案为：．28．（2022•嘉定区校级模拟）如图，、都是圆的弦，，，垂足分别为、，如果，那么．【答案】6【详解】、都是圆的弦，，，、为、的中点，即线段为的中位线，．故答案为：6．29．（2022•嘉定区校级模拟）中，已知，，点在边上，（如图）．把绕着点逆时针旋转后，如果点恰好落在初始的边上，那么．【答案】或【详解】如图，在线段取一点，使，在线段取一点，使，①旋转角，②在△中，，，旋转角．故答案为：或．30．（2022•金山区校级模拟）如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔塔尖点的仰角为，沿山坡向上走200米到达处，在处测得点的仰角为．已知山坡的坡度，且、、、在同一平面内，那么电视塔的高度为米．（结果保留根号形式）【答案】【详解】过作于，过作，如图所示：则，，由题意得：米，，，山坡的坡度，，，，，，是等腰直角三角形，米，在中，，（米，故答案为：．31．（2022•金山区校级模拟）如图，已知Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=．将ABC∆翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果//DE BC，则线段EF的长为．【答案】7【详解】如图，由折叠可知，EC ED=，FC FD=，CEF DEF∠=∠，EF是CD的垂直平分线，//DE BC，90ACB∠=︒，90AED ACB∴∠=∠=︒，45CEF DEF∴∠=∠=︒，90CED ECF EDF∴∠=∠=∠=︒∴四边形CEDF是正方形，设CF x=，则6AE x=-，8BF x=-，由AED DFB∆∆∽得，AE EDDF FB=，即，68x xx x-=-，解得，247x=，在Rt CEF∆中，EF==32．（2022•青浦区模拟）设a ，b 是任意两个实数，用{max a ，}b 表示a ，b 两数中较大者，例如：{2max -，2}2-=-，{1max -，2}2=，{3max ，2}3=．参照上面的材料，如果{21max x -+，2}2x x -+=-+，那么x 的取值范围是 ．【答案】1x -【详解】{21max x -+，2}2x x -+=-+，∴根据题中的新定义得：212x x -+-+，移项合并得：1x -，解得：1x -．故答案为：1x -．33．（2022•青浦区模拟）在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =（如图）．将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形EBFG ，点A 的对应点为点E ，且在边CD 上，如果联结CG ，那么CG 的长为 ．【详解】过G 作GH CD ⊥于点H ，由旋转变换的性质可知，5BA BE ==，3AD EG ==，由勾股定理得，4CE ==，90CBE CEB CEB HEG ∠+∠=∠+∠=︒，CBE HEG ∴∠=∠，90BCE EHG ∠=∠=︒，BCE EHG ∴∆∆∽， ∴BE BC EC EG EH GH==， 即5343EH GH ==， 95EH ∴=，125GH =， 115CH CE EH ∴=-=，CG ∴=，34．（2022•松江区校级模拟）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，AC D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90︒的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】142π- 【详解】连接CD ，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，45A ∠=︒，AC 12CD AB BD ∴==，CA CB =，2AB ∴=，CD AB ⊥，90GDC CDH CDH HDB ∴∠+∠=∠+∠=︒， GDH HDB ∴∠=∠，又DB DC =，45DCG DBH ∠=∠=︒，()DGC DHB ASA ∴∆≅∆，∴四边形DGCH 的面积等于ACD ∆的面积∴阴影部分的面积是：2901111360242ππ⨯⨯-=-， 故答案为：142π-．35．（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，10AC =，点M 、N 分别在线段AC 、AB 上，将ANM ∆沿直线MN 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在线段BC 上，当DCM ∆为直角三角形时，折痕MN 的长为 ．【答案】或 【详解】分两种情况：①如图，当时，是直角三角形， 在中，，，， ，， 由折叠可得，，，， ， ， ，，，10390CDM ∠=︒CDM∆Rt ABC ∆90B ∠=︒60A ∠=︒10AC =30C ∴∠=︒152AB AC ==60MDN A ∠=∠=︒30BDN ∴∠=︒1122BN DN AN ∴==1533BN AB ∴==1023AN BN ∴==60DNB ∠=︒60ANM DNM ∴∠=∠=︒60AMN ∴∠=︒； ②如图，当时，是直角三角形， 由题可得，，， ，，，， 又，，，过作于，则， ，， 由折叠可得，，是等腰直角三角形，，．故答案为：或． 103MN AN ∴==90CMD ∠=︒CDM ∆60CDM ∠=︒60A MDN ∠=∠=︒60BDN ∴∠=︒30BND ∠=︒1122BD DN AN ∴==BN =5AB=20AN ∴=-15BN =-N NH AM ⊥H 30ANH ∠=︒1102AH AN ∴==-15HN =45AMN DMN ∠=∠=︒MNH∴∆15HM HN ∴==MN ∴=103。