数学教学中直觉思维的培养

数学教学中直觉思维的培养 【内容提示】我们知道，数学的主要思维是逻辑思维．逻辑思维能力主要是指使用形式逻辑的思维方式，正确合理地进行判断、推理的思考能力．包括观察、分析、比较、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比等．逻辑思维能力是数学思维能力的核心，是人们进行思维活动的基础．它在数学学科中是使用数学素材进行训练培养的． 与逻辑思维并存的还有直觉思维，直觉思维区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格的逻辑思维之前，迅速对事物作出判断，得出结论． 文章分二部分．第一部分介绍什么是直觉思维，直觉思维与逻辑思维的联系与区别及直觉思维的主要特点．第二部分是作者结合近几年的高考与教学实际，从四个方面谈了如何在日常教学中培养学生的直觉思维．因水平有限，对直觉思维的研究只能停留在一个很浅的层面上，对于更深层面上的问题，还需专家及广大同仁不吝赐教． 【关键字】 直觉思维 逻辑思维 直觉思维的培养

一 什么是直觉思维 １ 直觉思维的科学内涵 直觉思维是指不受固定的逻辑思维规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式．直觉思维区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格的逻辑思维之前，迅速对事物作出判断，得出结论，而这种结论还需要严格的逻辑证明．事实上，由直觉思维得出的结论并不是主观臆断，而是以扎实的知识为基础，以对事物敏锐的观察、深刻的理解为前提的． 在直觉思维的过程中，人们以已有的知识为根据，对研究的问题提出合理的猜测和假设，含有一个飞跃的过程，往往表现为突然的认识和领悟． ２ 直觉思维与逻辑思维的联系与区别 逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式．逻辑思维在数学中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分．逻辑思维与直觉思维形成辨证的互补关系．它们的辨证运动构成了完整的数学思维过程．直觉思维为逻辑思维提供了动力并指示着方向，逻辑思维则对直觉思维作出检验和反馈，是直觉思维的深入和精华． ３ 直觉思维的主要特点 直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点．直觉思维的特征主要表现为思维对象的整体性，思维产生的突发性，思维过程的非逻辑性，思维结果的创造性和超前性以及思维模式的灵活性和敏捷性等．从培养直觉思维的必要性来看，笔者以为直觉思维有以下三个主要特点： (1)简约性 直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式．它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”． (2)创造性 现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神．直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔．正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性． 伊恩．斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”，许多重大的发现都是基于直觉．欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上迸发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分了环状结构更是一个直觉思维的成功典范． (3)自信力 学生对数学产生兴趣的原因主要有两种，一种是教师的人格魅力，其二是来自数学本身的魅力．不可否认情感的重要作用，但笔者的观点是，兴趣更多来自数学本身．成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”．相比其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久．当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力，从而更加相信自己的能力． 高斯在小学时就能解决问题“1+2+ …… +99+100＝?”，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响．而现在的中学生极少具有直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法形成自信． 二 直觉思维的培养 １ 培养直觉思维应具备的基本条件 直觉思维的形成与产生需要扎实的基础知识，要培养学生认识事物、发现事物属性的能力；要培养学生概括事物的属性，从中抽象出事物的本质特性及数学特性，从而建立其数学模型，并最终形成数学概念的能力；同时还要培养学生认识、掌握知识之间及事物之间的内在联系与区别并具有发现关系的能力等．

例１ 函数xxy2cos)23sin( 的最小正周期是

A 2 B  C 2 D 4 该题的常规解法如下： )22sin()23sin(2cos)23sin(xxxxy

)1252sin(12cos2x． 由于12cos2是非零常数，所以 22||2T．但如果能观察到y通过恒等变形最终可化为 bxAy)sin(的形式．函数y 的周期只与x2的系数2有关，而与其他一切无关，直觉思维便由此产生，则完全可以由题目中的x2进行猜想而直接得到T的结论． 教师在教学中，要引导学生注意对已有知识的归纳和总结，培养学生对数、式、图的分析，形成经验并建立起完整的知识结构和体系，只有这样才能在思维的海洋中激发起直觉思维的火花并发现新的规律和新的认识，从猜想变成现实，对事物有一个更深、更高层次的认识．

例２ 已知11a，)(221Nnaaannn，求通项公式na．

本题可以先分别求出 ,31,52,21,32,154321aaaaa教师应指导学生对这五项数的结构特点进行观察分析，会发现偶数项的分子为2，奇数项分子为1，若将奇数项进行处理得:

,62,52,42,32,2254321aaaaa 可直接得到 12nan

． 另外，教师还可以引导学生对 221nnnaaa进行分析，发现1na与na的关系，取倒数会得到 21111nnaa．这样的分析会对学生形成发现关系，发现属性的能力有很大的帮助．将直接影响学生直觉思维的形成． 2 培养直觉思维必须充分重视直觉思维与逻辑思维的联系 直觉思维与逻辑思维是密不可分的，由直觉思维得出的判断还必须由逻辑思维进行验证．实际上直觉思维中蕴涵着逻辑思维，它是逻辑思维在整体上的一种推断，是一种带有假设性的并需要进一步推理的阶段性思维．逻辑思维需要直觉思维，直觉思维是逻辑思维的源泉，它为逻辑思维提供了多种可能的假设和通道，没有直觉思维，逻辑思维就会枯竭．而逻辑思维的逻辑性能够验证直觉思维正确性．因此，教师要在日常教学中培养学生的数学转换能力，数学推理能力，使学生形成数学通则通法的概括能力、识别模式的能力、发现相似性的能力、形成数学变式的能力等．

例３ 如果xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，则a（ ） A 2 B 2 C １ D －１． 解该题时，学生可凭直觉判断出选项D是正确的．在这个过程中，充分体现直觉思维的突发性，思维过程的非逻辑性，思维结果的创造性和超前性以及思维模式的灵活性和敏捷性等．但凭直觉思维得出得结论并不是主观臆断，还需要以下验证，将1a代入解析

式得)42sin(22cos2sinxxxy,再将8x代入，得2y,则

8x确实是y的一条对称轴．

例４ 已知3个汽水空瓶可以换一瓶汽水，现有10个汽水瓶，若不交钱，最多还可以喝汽水（ ） A 3瓶 B 8瓶 C 5瓶 D 6瓶 解此题时分三步解答： 第一步，用现有的10个空瓶去换3瓶汽水，还剩1个空瓶． 第二步，用现有的4个空瓶去换1瓶汽水，还剩1个空瓶． 第三步，用现有的两个空瓶，再借1个空瓶，去换1瓶汽水，喝完后在扣还所借的哪个瓶．所以最多喝3+1+1=5瓶汽水，选C． 有了上面的基础，老师可提醒学生结合各选项，用直觉思维去做，很快排除选项A，可凭借10个空瓶，换5瓶汽水(不含瓶的价格)．事实上，我们可以这样去思考，既然3个空瓶可以换一瓶汽水，而一瓶汽水抛去瓶的价格，实际上一瓶汽水(不含瓶的价格)只有两个空瓶的价格，现在有10个空瓶，所以最多可以喝汽水5瓶． 例5 已知函数4sin)(3xbxaxf，其中ba,为常数，且5)10(lg(log3f，求)]3[lg(lgf． 解本题时，教师应该让学生明白，不可能通过求ba,来解决问题．这时，只有通过研究自变量的关系来处理问题．我们很快发现)10lg(log3

与)3lg(lg互为相反数，利用函数的奇偶性便能解决该问题．

实际上，注意到若令 3sin)(xbxaxg，则函数3sin)(xbxaxg

是一个奇函数．而4)()(xgxf 所以：8)()(xfxf， 所以：8)3(lg(lg)]10[lg(log3ff，所以： 358)]10[lg(log8)3(lg(lg3ff 应当说明的是正是教师的这种仔细的具有逻辑性的推理分析，才会为学生今后的直觉思维的突发性、逻辑性作好准备，打下基础． 3 应注重培养学生数学思维能力的层次性与整体性 有关数学思维能力结构的研究表明，直觉思维能力是高层次的能力因素．这种能力因素的形成要以它的能力因素作基础，因此，教师应注重培养学生数学思维能力层次性与整体性．

例6 不等式组|22|330xxxxx 的解集是 A }20|{xx； B }520|{．xx； C }60|{xx； D }30|{xx． 本题若采用解不等式的直接方法来解，运算量很大．







|22|330xxxxx











xxxxxxxxx223322330

解这两个分式不等式，其运算量不小，再往下作相当于一道解