周期数列详解
数列知识点总结
数列知识点总结定义：数列是按照一定顺序排列的一列数，每个数称为该数列的项。
数列中的数按一定“次序”排列，不强调有“规律”。
如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。
在数列中同一个数可以重复出现。
表示方法：数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列的一般形式可以写成{aₙ}，其中aₙ表示数列的第n项。
分类：有穷数列和无穷数列：项数有限的数列为“有穷数列”，项数无限的数列为“无穷数列”。
递增数列、递减数列和摆动数列：对于正项数列，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列；如果任意相邻两项之商为一个常数，那么该数列为等比数列。
此外，还有摆动数列，即数列中的项有时大于前一项，有时小于前一项。
周期数列：各项呈周期性变化的数列称为周期数列。
常数数列：各项相等的数列称为常数数列。
通项公式：数列的第n项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式aₙ=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
通过通项公式，可以求出数列中任意一项的值。
等差数列和等比数列有特定的通项公式。
数列求和：数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。
常见的求和方法包括公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法等。
应用：数列在日常生活和各种领域中有着广泛的应用，如经济学中的金融市场分析和预测趋势、自然科学中的现象和事件研究、计算机科学中的算法设计、工程学中的流体控制和材料科学等。
总之，数列是数学中的一个重要概念，其知识点涵盖了定义、表示方法、分类、通项公式、求和以及应用等方面。
掌握数列的基本知识点对于理解高级数学概念和解决实际问题都具有重要意义。
山东省青岛开发区一中2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析
山东省青岛开发区一中2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．193．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．014．函数cos 23sin 20,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．86．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．54 B ．53C ．52D ．57．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．448．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-29．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ） A ．-3B ．3C ．-2D ．211．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．1412．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ 1-0 1P1(1)3p - 2313p 则当p 在23(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
周期
周期作者：梁义史媛媛来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第04期摘要：数列问题是历年来高考和各级数学竞赛命题的热门课题之一，它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系．在中学阶段，周期数列问题的一般解法是列举前有限项观察其周期性，再利用其周期求解，显然，列举前有限项的方法只能解决一些最小正周期不大的数列问题，对于最小正周期较大的数列我们就不易解决了，而且，由数列有限项得出它是周期数列的结论也缺乏科学证明，因此有必要对数列中的周期类型做一些探讨，从而解决相关问题．关键词：数列；函数方法?摇数列问题是历年来各级数学高考、竞赛及最近火热的自主招生考试命题的热门课题之一，纵观近几年全国各地高考、模拟试题，出现了不少与周期有关的问题，它即可以以填空题或选择题等形式出现，也可以作为解答题中的枝问为后面的设问做铺垫或结合其他知识考查学生的综合能力．处理数列问题时，我们不但要掌握数列的概念，还要充分挖掘数列的性质，因为数列是一种特殊的函数，所以数列中也存在着单调性、周期等性质，有些数列题，表面上看与周期无关，但实际上隐含着周期性，一旦揭示了其周期，问题便迎刃而解．下面笔者就近几年模拟、高考试题中的几种常见类型题目归类解析如下，希望可以给大家带来帮助：通过观察、归纳探究数列中的项例1 已知数列｛ａn｝中，a1=2，an= －（n≥2），则a2011=________．解析：由题意知：a1=2，a2=－，a3=2，a4=－，由此归纳可得该数列的周期为2，于是a2011=a1005×2+1=a1=2．例2 已知数列｛ａn｝（n∈N*）满足：an+1=an-t，an>t，t+2－an，an2，若an+l=an（k∈N*），则实数k的最小值为________．解析：由题意知a2=a1－t∈（0，1），故a2点评：上述两题在考试中出现的频率很高，难度不大，我们只要对首项值的大小或取值范围做些比较，充分利用题设中的递推关系就可以达到解题的目的．借助特征根方程探究周期例3 已知数列｛ａn｝满足：an+1=（n∈N*），其中a1=1，试求a11．解析：设特征方程为x=，此方程无解，于是判断出该数列为周期数列，通过求解可得周期为4，则a11=a3=－．与三角知识结合例4 数列｛ａn｝的通项ａn=n2·cos2-sin2，其前n项和为Sn，则S30为________．解析：由于cos2－sin2以3为周期，故S30=-+32+-+62+…+-+302=-+（3k）2=9k-=-25=470.点评：善于发现题目的结构特征并能灵活、准确运用三角和数列求和知识是解决本题的关键．通过赋值确定具体项的取值例5 已知数列｛ａn｝的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1．那么a10=______．解析：令m=n=1，则S1+S1=S2?圯a1+a1=a2+a1，故a2=1；令m=1，n=2，则S3=S1+S2=3，所以a3=1，…，故a10=1．例6 已知数列｛ａn｝中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m（n>m）满足a-a=an-man+m，则a119=________．解析：令m=2，则a=an-2·an+2，由此得｛ａn｝中的偶数项均为0；令m=1，则a=an+1·an-1+1，从而a=a1a3+1，a3=-1．由a=an-2·an+2及a1=1，a3=－1知｛ａn｝中的奇数项依次成等比数列，公比为－1，故a119=－1．此类题目还有：已知数列｛ａn｝满足：a4n-3=1，a4n-1=0，a2n=an，n∈N*，则a2009=________；a2014=_________．解析：本题主要考查周期数列等基础知识．属于创新题型．依题意，得a2009=a4×503-3=1，a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0．分段型递推数列中的周期问题例7 已知数列｛ａn｝满足：a1=a=，an+1=2an，an≤3，an－3，an>3，则S4m+2=______．解析：由m∈N*，可得2m－1≥1，故a=≤3，当1故ak=2k-1a且am+1=2ma．又am+1=>3，所以am+2=am+1－3=2ma－3=2m·－3=a．故S4m+2=S4（m+1）－a4m+3－a4m+4 =4（a1+a2+·…+am+1）－（2m-1+2m）a=4（1+2+…+2m）a－3×2m-1a=4（2m+1－1）a－3×2m-1a=（2m+3－4－3×2m-1）a=．变式：已知数列｛ａn｝满足：a1=a，an+1=an－3，an>3，4－an，an≤3（n∈N*），求证：对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n>m时，an+4=an成立．解析：（1）a>3时，不妨设a=3k+p（k∈N*，0≤pm时，an+2=an成立，则an+4=an成立；②当0m时， an+4=an成立；③当p=1时，则有ak+2=3，ak+3=1，…，所以存在正整数m=k，当n>m时，an+2=an成立，则an+4=an成立；④当1m时，an+2=an成立，则an+4=an 成立；（2）当a=3时，a2=1，由（1）③知命题成立；（3）当03，由（1）知命题成立．综上，对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n>m时，an+4=an成立．点评：上两题难度较大，关键在于切入点的选择上，区别于例1的地方在于数列的首项取值范围不明朗，需要讨论，所以给学生带来困惑，很多学生在确定首项的取值范围后，对第二项的取值便感到无从下手，这就需要我们挖掘问题的实质：何时跳出前段进入下一段的递推，这时对临界值的把握就显得至关重要，对学生的综合能力要求较高．模周期数列例8 设数列｛ｖn｝满足v0=1，v1=3，vn+2=4vn+1－vn．试对非负整数n，确定2v-vn的末两位数字．解析：因vn+2=－vn（mod4），v0=1，v1=3，从而vn=1（mod4），若m≡0或3（mod4），3（mod4），若n≡1或2（mod4），2v-vn≡1或3（mod4）．另外，vn除以25，余数成周期为15的数列：1，3，11，16，3，21，3，6，21，3，16，11，3，1；1，2，11，16，3，… ，所以vn≡1，3，6，11，16，21（mod25）．不难验证恒有2v-vn≡1（mod25）．由此，得2v-vn=1（mod100），若m≡0或3（mod4），51（mod100），若n≡1或2（mod4），即在n=4k或4k+3时，2v-vn的末两位数字为01，在n=4k+1或4k+2时，2v-vn的末两位数字为51．点评：模周期数列常用于处理与数论有关的问题，讨论数列的整除性，考查完全平方项等．周期数列问题中往往是要对通项的代数性质进行研究，始终抓住an+T=an一式，有很多讨论只要在一个周期内进行即可推广到全体的项，充分考查了学生的推理、论证能力，对培养分类讨论思想和严谨的做题思维都起到了很好的训练作用．。
周期问题的题型
周期问题的题型
【周期现象】
事物在运动变化过程中，某些.特征有规律循环出现;周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.
分类:
1.图形中的周期问题;
2.数列中的周期问题;
3.年月日中的周期问题。
周期性问题的基本解题思路:首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用.这些规律作为解题的依据;其次要确定解题的突破口。
主要方法有观察法、逆推法、经验法等。
主要问题有年月日、星期几问题等。
【典型练习题】
1. 甲、乙、丙、丁四人轮流打扫大楼卫生，如果第1天是甲来打扫，第56天是谁打扫卫生？
【解答】是丁.
根据题意，周期为：甲、乙、丙、丁，周期长度为4，56÷4=14（组），说明刚好是完整周期的最后一个，是丁打扫卫生．
2. 公园门口按照三盆兰花两盆月季的顺序摆放花篮，第一盆是兰花，那么第72盆是什么花？
【解答】兰花.
根据题意，重复出现的周期为：三盆兰花，两盆月季，周期长度为5，算出72盆花中包含多少个完整的周期，第72盆在周期中数出即可．
72÷5=14···2，是一个完整周期里的第二盆，所以是兰花．答：第盆是兰花．
3. 有一串数字1，3，2，1，3，2，1，3···按这样的顺序，第72个数是多少？
【解答】数列的周期为1，3，2；周期长度为3，72÷3=24（组），第72个数刚好是完整周期的最后一个数，所以是2．。
高中数学中的数列及其性质
数列（Sequence）是一系列按照一定顺序排列的数字，这些数字可以互相递推、相加或者相乘，也被称为数序、数列或级数。
在高中数学中，数列是一种常见的数学模型，被广泛应用于各个方面，包括代数、几何、概率统计等。
数列的性质包括：1. 等差数列：如果一个数列中每一项与前一项的差都相等，那么这个数列被称为等差数列。
例如，1, 3, 5, 7, 9, 11 等就是等差数列。
2. 等比数列：如果一个数列中每一项与前一项的比都相等，那么这个数列被称为等比数列。
例如，1/2, 2/3, 3/4, 4/5 等就是等比数列。
3. 等和数列：如果一个数列中每一项与其后一项的和都相等，那么这个数列被称为等和数列。
例如，1, 1, 2, 2, 3, 3 等就是等和数列。
4. 周期数列：如果一个数列中每一项都按照一定的周期重复出现，那么这个数列被称为周期数列。
例如，1, 3, 5, 7, 9 等就是周期数列。
5. 递增数列：如果一个数列中每一项都比前一项大，那么这个数列被称为递增数列。
例如，1, 2, 3, 4 等就是递增数列。
6. 递减数列：如果一个数列中每一项都比前一项小，那么这个数列被称为递减数列。
例如，4, 3, 2, 1 等就是递减数列。
7. 等比级数：如果一个数列中每一项与前一项的比都为常数，那么这个数列被称为等比级数。
例如，1/2, 1/4, 1/8, 1/16 等就是等比级数。
8. 等差级数：如果一个数列中每一项与前一项的差都为常数，那么这个数列被称为等差级数。
例如，1, 3, 5, 7, 9 等就是等差级数。
9. 无穷级数：如果一个数列中的项无穷无尽，无法穷尽列举，那么这个数列被称为无穷级数。
例如，自然数的序列（0, 1, 2, 3, ...）就是一个无穷级数。
在高中数学中，我们可以通过观察和分析这些性质来理解数列的规律和特点，从而更好地解决相关问题。
《周期数列》专题
《周期数列》专题2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于() A.32 B.53 C.85 D.23答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12， a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.数列的周期性典例 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝ .答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3，∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1， a 1＝35，则数列的第2 018项为 ．答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15， a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35， ∴{a n }为周期数列且T ＝4，∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15. (2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( )A ．504B ．588C ．－588D ．－504 答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( ) A ．3B ．2 C.12D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．5.数列{a n }满足a 1=2,a n+1=,则a 2019= ( )A .B .-C .2D .-35.数列{a n }满足a 1=1,a n =1+（n >1）,则a 2= ( )A .1B .2C .3D .45.数列{a n }满足a 1=2,a n +1=,则a 2019= ( ) A .1 B .2C .3D .4。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 理 高三全册数学课件
＝__－___1n___.
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【解析】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得 a1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an＝2n.
2 ． 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 通 项 公 式 为 an ， 则 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.
3．三种必会方法 (1)叠加法：对于 an＋1－an＝f(n)型，若 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可 求的，可用多式相加法求得 an.
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2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)， 即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.故 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3， 则 b1＝a1＋3＝5，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列．所以 bn＝5×2n－1，故 an＝5×2n－1－3.
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考向三 由递推关系求通项公式
n2＋n＋2
【例 3】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____.
【解析】 由条件知 an＋1－an＝n＋1， 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2 ＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋2n＋2.
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精品-- --精品 周期数列 一、周期数列的定义： 类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{na，如果存在一个常数
T)(NT，使得对任意的正整数0nn恒有nTnaa成立，则称数列}{na是从第
0
n
项起的周期为T的周期数列。若10n，则称数列}{na为纯周期数列，若20n，则称
数列}{na为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。
设{An}是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{An(mod m)}。若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列。
二、 周期数列的性质 1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
2、如果T是数列}{na的周期，则对于任意的Nk，kT也是数列}{na的周期。
3、若数列}{na满足21nnnaaa（Nn，且2n），则6是数列的一个周期。
4、已知数列}{na满足ntnaa（Ntn,，且t为常数），nS分别为}{na的前n项
的和，若rqtn（tr0，Nr），则rnaa，rtnSqSS。
特别地：数列}{na的周期为6，（即：nnaa6）则262012335SSS
5、若数列}{na满足saaknn),(Nnkn，则数列}{na是周期数列；
若数列}{na满足saaaknnn1),(Nnkn，则数列}{na是周期数列。
若数列}{na满足saaaknnn1)0,,(sNnkn，则数列}{na是周期数
列。
特别地：数列}{na满足saann1),(Nnkn，则数列}{na周期T=2；
数列}{na满足saaannn21),(Nnkn，则数列}{na周期T=3
数列}{na满足saann1),(Nnkn，则数列}{na周期T=2；
数列}{na满足saaannn21),(Nnkn，则数列}{na周期T=3 精品-- --精品 6、若数列}{na满足,11dcabaaannna+d=0,则数列}{na是周期T=2；
例：数列}{na满足,37311nnnaaa则数列}{na是周期T=2；；
三、周期数列性质的简单应用 1、求数列的通项公式 （1）数列 1，2，1，2，1，2，… 的通项公式
解析：原数列可构造成：2123，2123，2123，2123，212
3，
2123，…… ，
它的通项公式可以写成：21)1(2
3
nna (n∈ N)，
或者写成：)2sin(212
3
nan ( n∈ N)，
又或者写成：na
ncos2123 (n∈ N)，
总结：一般的数列 a，b，a，b，a，b，…… 它的通项公式可以写成：
nabbaancos)(21)(21 ( n ∈ N)
（2）1，0，1，1，0，1，……的通项公式 解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数xytan 进行改造，使它们能发生
联系。事实上，当 x分别为3，0，3，32，，34，……时，xtan的值分别为3，0，3，3，0，3，……
这样1，0，1，1，0，1，……的通项公式可以写成：)2tan(
3
1
n
所以，原数列的通项公式为 )2tan(312nbn (n ∈N) （3）数列}c{n ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式 解析：将原数列扩大2倍：2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，…… 精品-- --精品 再减去平均数5得到：3，1， 1， 3，3，1， 1， 3，……
分解成两个数列：(1) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 1， 1，……
(2) 2，2， 2， 2， 2， 2， 2， 2，…… (1)的通项公式为n
)1( 易得，(2)的通项只要求出1，1，1，1，1，1，1，
1，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数2。
以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：
)4121sin(21ncn (n∈N)， ∴ 2，2，2，2，2，2，2，2，……的通项为： )4121sin(222ncn (n∈N)， ∴ 3，1，1，3，3，1，1，3，……的通项为： )4121sin(22)1(3ncnn (n∈N)， 则原数列}c{n的通项为： )]4121sin(22)1(5[21ncnn (n∈N)。 （4）}{nc：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式
乘以(－4)得：
4，4，4，4，8，8，8，8，12，12，12，12，……，
加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……， 它的通项公式为：
)]4121sin(22)1(5[2
1
'ncn
n 精品-- --精品 又)4(4'nccnn 化简整理得： ]4121sin(22)1(32[81nncnn (n∈N)。 2、求数列中的项 例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列}{na中，5,321aa且对于大于2的正整
数，总有21nnnaaa，则2009a
等于（ ）．
A．-5 B．-2 C．2 D．3． 解析：由性质（2）知，数列}{na是以6为周期的周期数列，而533462009，
再由性质（3）可得5)(3233452009aaaaaaa，故选A．
例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列}{na满足aa1（a为实数），11313nn
na
aa(Nn)，求2000a．
解：11313nn
na
aa(Nn)可变形为1133133nnnaaa．我们发现
1133133n
n
na
aa
与三角式6tantan16tantan)6tan(xxx
十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系
的原型．通过运算，发现本题中可取na=6tann，6)1(tan1nan．显然此数列的周期是6．而263332000，再由性质（3），得aaaa31322000． 3、求周期数列的前n项和 例5、设数列}{na中，21321aaa，，且对Nn，有321nnnnaaaa=
321nnnnaaaa（121nnnaaa）成立，试求该数列前100项和100S．
解：由已知条件，对任何自然数N，有321nnnnaaaa= 321nnnnaaaa，把式
中的n换成1n，得4321nnnnaaaa= 4321nnnnaaaa
．两式相减得，
44321)(nnnnnnnaaaaaaa．因为1321nnnaaa，所以
nnaa4)(Nn．所以}{na是以4为周期的周期数列，而254100，再由性质
（3），得200)4211(25254100SS．