数列知识点回顾高三复习
数列知识点总结高三
数列知识点总结高三数列是高中数学中的一个重要概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也是许多科学和工程领域的基础。
本文将对高三数学中涉及的数列知识点进行总结，包括等差数列、等比数列、通项公式、前n项和等特性。
希望通过本文的阐述，读者能够更好地掌握数列的基本概念和应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为：an = a + (n - 1)d。
其中，an表示第n项。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，首项a = 1，公差d = 3。
可得该数列的通项公式为an = 1 + (n - 1)×3。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
通常用字母a表示首项，r表示公比。
等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)。
其中，an表示第n项。
例如，对于等比数列2，6，18，54，...，首项a = 2，公比r = 3。
可得该数列的通项公式为an = 2×3^(n-1)。
三、通项公式通项公式是数列中根据项数n来表示第n项的一般公式。
通过通项公式，我们可以直接计算数列中任意项的值，而无需逐项计算。
对于等差数列和等比数列，其通项公式已在前文中给出。
四、前n项和前n项和是指数列前n项的和，常用字母Sn表示。
计算前n项和可以通过直接相加或利用求和公式来实现。
对于等差数列和等比数列，其前n项和公式如下：等差数列的前n项和公式为：Sn = [n(a1 + an)]/2。
等比数列的前n项和公式为：Sn = a(r^n - 1)/(r - 1)。
五、等差数列的性质1. 任意一项等于其前一项加上公差；2. 任意一项等于首项加上前n项差的和；3. 任意一项等于末项减去首项再加1。
六、等比数列的性质1. 任意一项等于其前一项乘以公比；2. 任意一项等于首项乘以公比的n-1次方；3. 公比等于1时，等比数列变为等差数列。
高考数学知识点复习之数列公式及结论总结
高考数学知识点复习之数列公式及结论总结一、高中数列差不多公式：1、一样数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式：an= a1qn-1an= akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m -S2m、S4m- S3m、仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m -S2m、S4m- S3m、仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (什么缘故?)11、{an}为等差数列，则(c0)是等比数列。
12、{bn}(bn0)是等比数列，则{logcbn} (c0且c1) 是等差数列。
高三数学数列知识点归纳总结
高三数学数列知识点归纳总结数列是高中数学中的一个重要知识点，对于高三学生来说，熟练掌握数列的概念、性质和应用是至关重要的。
为了帮助同学们更好地复习和总结数列知识，下面将对高三数学数列知识点进行归纳总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、基础概念数列是按照一定的规律排列成的一列数，通常用字母a、b、c 等表示。
其中，a1为数列的第一个数，an为数列的第n个数，n为自然数。
二、等差数列1. 定义：等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数，该常数称为公差，通常用字母d表示。
2. 求通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项an可表示为an=a1+(n-1)d。
3. 求和公式：等差数列的前n项和Sn可表示为Sn=(a1+an)×n/2 或 Sn=n/2×[2a1+(n-1)d]。
三、等比数列1. 定义：等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数，该常数称为公比，通常用字母q表示。
2. 求通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项an可表示为an=a1×q^(n-1)。
3. 求和公式：等比数列的前n项和Sn可表示为Sn=a1×[1-q^n]/(1-q)。
四、等差数列与等比数列的比较1. 差别：等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两项之比为常数。
2. 公式：等差数列的通项公式中含有公差d，等比数列的通项公式中含有公比q。
3. 求和：等差数列的求和公式中含有首项a1、末项an和项数n，等比数列的求和公式中同样含有首项a1和项数n，但末项an与公比q有关。
五、数列的应用1. 等差数列的应用：等差数列常应用于描述一些增长或减少的情况，如成绩的变化、人口的增长等。
2. 等比数列的应用：等比数列常应用于描述指数增长或指数衰减的情况，如病毒传播、存款利息等。
六、数列的性质1. 递推关系：数列的递推关系是指通过前一项与公式计算得出后一项的关系。
2. 递归公式：数列的递归公式是指通过前一项与前两项计算得出后一项的关系。
数列高三知识点总结
数列高三知识点总结数列在高中数学中占据重要地位，是许多高考数学题的基础。
本文将对高三数学中涉及的数列知识点进行总结，包括数列的概念、常见数列的特点和求解方法等。
一、数列的概念及基本术语数列是按照一定顺序排列的一组数，通常用字母表示。
数列中的每一个数称为该数列的项，而项的位置称为项数。
根据项数的不同，数列可以分为首项、末项、通项和项数等几个基本术语。
首项（a₁）是数列中的第一个数，末项（aₙ）则是数列中的最后一个数。
通项（aₙ）是数列中任意一项的一般表示形式，通常用数学表达式来表示。
项数（n）表示数列中某一项的位置，可以是自然数或整数。
二、常见数列的特点和求解方法1.等差数列（Arithmetic Progression, AP）等差数列指的是数列中任意两项之差都相等的数列。
其通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
求解等差数列有以下几个常用方法：- 求首项和公差：已知数列的前几项，可通过观察找规律，利用已知项之间的关系来确定首项和公差。
- 求前n项和：使用等差数列的部分和公式 Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2，其中Sₙ表示前n项和。
- 求任意一项：利用通项公式，根据已知的首项、公差和项数，计算出所需的项。
2.等比数列（Geometric Progression, GP）等比数列指的是数列中任意两项之比都相等的数列。
其通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。
求解等比数列的方法如下：- 求首项和公比：根据题目中已知的条件，可以得到首项和公比的值。
- 求前n项和：利用等比数列的部分和公式 Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)，其中 Sₙ 表示前n项和。
- 求任意一项：根据通项公式和已知的首项、公比以及项数，计算出所要求的项。
3.斐波那契数列（Fibonacci Sequence）斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项都是1，后续的每一项都是其前两项之和。
高三数列综合知识点总结
高三数列综合知识点总结数列是高中数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
在高三阶段，数列是一个重点考点，在考试中占据一定的比重。
为了帮助同学们系统地掌握数列的知识，下面将对高三数列的综合知识点进行总结。
一、等差数列等差数列是最基础的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
1. 判定等差数列等差数列的判定条件是相邻的两个数之差都相等。
2. 求通项公式已知等差数列的首项a1和公差d，可以利用通项公式求得任意一项的值。
3. 求前n项和求得前n项和。
4. 常见等差数列性质等差数列的性质包括首项、末项、公差、项数、前n项和等。
二、等比数列等比数列是另一个重要的数列概念，它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)。
1. 判定等比数列等比数列的判定条件是相邻的两个数之比都相等。
2. 求通项公式已知等比数列的首项a1和公比r，可以利用通项公式求得任意一项的值。
3. 求前n项和求得前n项和。
4. 常见等比数列性质等比数列的性质包括首项、公比、项数、前n项和等。
三、数列的应用数列在实际问题中的应用非常广泛，下面列举几个常见的数列应用问题。
1. 等差数列应用例如，一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，问2小时后行驶的距离是多少？2. 等比数列应用例如，一枚细菌每分钟分裂一次，如果最初只有一枚细菌，10分钟后有多少枚细菌？3. 数列表示几何图形例如，如何利用数列表示一个等边三角形的周长或面积？四、数列的进阶知识除了等差数列和等比数列，高三阶段还会涉及到数列的一些进阶知识，如等差数列的部分和、等比数列的无穷和、等差数列与等比数列的混合应用等。
五、解数列题的解题技巧解数列题需要掌握一些解题技巧，包括确定数列类型、找到已知条件、利用已知条件求解、化简计算过程等。
高三数学复习知识点-数列
数学复习知识点-数列一、数列概念1.数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 理解数列定义的四个要点：⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++=Λ21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .①已知数列的前n 项和公式S n ，求a n 的方法第一步：求a 1=S 1；第二步：当n ≥2时，求a n =S n -S n-1；第三步：检验当a 1是否适合当n ≥2时得到的a n ，若适合则将a n 用一个式子表示，若不适合，将a n 分段表示出来②已知a n 与S n 的关系式，求a n 方法根据已给出饿关系式，令n=n+1（或n=n-1），写出一个a n+1（或a n-1）与S n+1（或S n-1）， 的关系式，然后将两式相减。
消去S n 得到a n 与a n+1（或a n 与a n-1）的关系，从而确定{a n }是等差数列还是等比数列或者其它数列，然和求出其通项公式。
例1：设数列{a n }的前n 项和S n =n 2，求a n .(答案：1-2n an=)例2：已知数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间满足关系式S n =2-3a n 求a n (答案：)43(1-21n na ⋅=)4.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.利用数列的递推公式求数列的通项公式一般有以下三种方法①累加法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n+1与a n 的差的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n-1个式子相加，整理求出数列的通项公式. 例：已知数列{a n }满足a 1=33，a n+1－a n =2n ，求a n 且求na n 的最小值（答案：221min=na n ）②累积法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n+1与a n 的商的一个关系式，我们可以依次写出前n 项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n-1个式子相乘，整理求出数列的通项公式.例：在数列{a n }中,a n >0,a 1=1且有a r =（n+1，a n ），rb =（n ，a n+1），a r 与r b 共线，求数列的通项公式（答案：na n 1=）③构造法：根据所给的数列的递推公式以及其它有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，再利用等差或等比数列的相关知识点求解 如：形如a n+1=pa n +q ，可以令a n+1+λ=p （a n +λ）⇒a n+1=pa n +（p-1）*λ ⇒（p-1）*λ=q ⇒λ=1-p q 从而得到a n+1+1-p q =p （a n +1-p q ）⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1-p q a n 是等比数列 例：数列的前n 项和为，已知,a 1=1，S n2n n a 1n +=+，n ∈N+，求a n （答案：22-n 1)(n ⋅+=a n ）5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1Λ--- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.二、等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=（n ≥1），1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 或)n 2d -(2d a n s 12n+=(函数的角度，关于n 的一元二次函数)3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：若当n ≥2，n ∈N*时，有d a a n n =-1- （d 为常数）或当n ≥1，n ∈N*时，有d a a n n =-+1（d 为常数），则数列{}n a是等差数列。
数列高考知识点大全总结
数列高考知识点大全总结一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有限或无限个数按照一定的顺序排列组成的。
用数学语言描述就是一个由实数构成的序列。
一般用字母或符号表示，如{an}、{bn}等。
2. 数列中的相关概念（1）通项公式：数列中的第n个数的一般表达式，通常用an表示。
（2）前n项和：数列前n项的和，通常用Sn表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：若数列中相邻两项的差恒定，称其为等差数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）等比数列：若数列中相邻两项的比恒定，称其为等比数列。
其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（3）常数数列：数列中的每一项都相等的数列称为常数数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：当数列中的数有上界和下界时，称其为有界数列。
（2）无界数列：当数列中的数没有上界和下界时，称其为无界数列。
2. 数列的单调性若数列中的每一项都满足an≤an+1或者an≥an+1时，称其为单调递增数列或者单调递减数列。
3. 数列的性质（1）数列的线性组合：若an和bn是两个数列，k和m是任意常数，那么k*an+m*bn 也是一个数列。
（2）数列的绝对值：若an是一个数列，那么|an|也是一个数列。
三、常见数列1. 等差数列（1）性质：等差数列的前n项和Sn=a1*n+n(n-1)d/2。
（2）求通项公式：an=a1+(n−1)d。
（3）常用公式：Sn=n/2(a1+an)。
2. 等比数列（1）性质：等比数列的前n项和Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，|q|>1。
（2）求通项公式：an=a1*q^(n-1)。
（3）常用公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3. 斐波那契数列（1）定义：斐波那契数列是一个典型的递推数列，前两项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
（2）通项公式：an=f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
（3）性质：斐波那契数列是一个无界数列。
数列知识点归纳总结高三网
数列知识点归纳总结高三网数列是数学中的一个重要概念，它是由若干个按照一定顺序排列的数所组成的。
在高中数学中，数列是一个常见的考点，学好数列对于高三学生来说尤为重要。
本文将对数列的知识点进行归纳总结，帮助高三学生更好地掌握数列的相关内容。
一、等差数列1. 定义：等差数列是指其任意两项之差都相等的数列。
2. 公式：第n项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
3. 性质：a. 公差d的特点：d = an - an-1，d = an+1 - an，d = (an+2 - an) / 2。
b. 前n项和公式：Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
c. 通项公式推导：将Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2转化为等差数列前n项和的通项公式an = a1 + (n-1)d，再进行化简得到通项公式。
二、等比数列1. 定义：等比数列是指其任意两项之比都相等的数列。
2. 公式：第n项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 性质：a. 公比r的特点：r = an / an-1，r = an+1 / an，r = √(an * an+2)。
b. 前n项和公式（当|r| < 1时）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
c. 通项公式推导：将Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)转化为等比数列前n 项和的通项公式an = a1 * r^(n-1)，再进行化简得到通项公式。
三、等差数列与等比数列的联系1. 和的关系：等差数列前n项和与等比数列前n项和的关系。
a. 等差数列前n项和：Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
b. 等比数列前n项和（当|r| < 1时）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
c. 当d = (a2 - a1)与r = a2 / a1相等时，等差数列前n项和与等比数列前n项和相等。
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数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1．理解数列定义的四个要点⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．2．数列的通项公式一个数列{ an }的第n项an与项数n之间的函数关系，如果用一个公式an=)(nf来表示，就把这个公式叫做数列{ an }的通项公式。
若给出数列{ an}的通项公式，则这个数列是已知的。
若数列{ an }的前n项和记为Sn，则Sn与an的关系是：an=⎩⎨⎧≥-=-2.1,11nSSnSnn。
第二部分：等差数列1．等差数列定义的几个特点：⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = an －a1-n(n≥2)或d = a1+n －an(n∈N+)．⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n∈N+，an－a1-n= d (n≥2)或d = a1+n－an都成立．一般采用的形式为：①当n≥2时，有a n－a1-n= d (d为常数)．②当n+∈N时，有a1+n－a n= d (d为常数)．③当n≥2时，有a1+n －an= an－a1-n成立．若判断数列{ an }不是等差数列，只需有a3－a2≠a2－a1即可．2．等差中项若a、A、b成等差数列，即A=2ba+，则A是a与b的等差中项；若A=2ba+，则a、A、b成等差数列，故A=2ba+是a、A、b成等差数列，的充要条件。
由于an =211-++nnaa，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
3．等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．⑶若{ an }、{ bn}为等差数列，则{ an±bn}与{kan＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．⑷对任何m、n+∈N，在等差数列{ a n}中有：a n= a m+ (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … ．⑹公差为d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k 为取出项数之差)．⑺如果{ a n }是等差数列，公差为d ，那么，a n ，a 1-n ，…，a 2、a 1也是等差数列，其公差为－d ；在等差数列{ a n }中，a l m +－a l = a k m +－a k = md ．(其中m 、k 、l ∈+N )⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．⑼当公差d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比nm ml --=λ（λ≠－1），则a m =λλ++1nl a a ．4．等差数列前n 项和公式S n =2)(1n a a n +与S n = na 1＋d n n 2)1(-的比较5．等差数列前n 项和公式S n 的基本性质⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是：数列{ a n }的前n 项和S n 可以写成S n = an 2+ bn 的形式(其中a 、b 为常数)．⑵在等差数列{ a n }中，当项数为2n (n ∈N *)时，S 偶－S 奇= nd ，偶奇S S =1+n na a ；当项数为(2n －1) (n +∈N )时，S 偶－S 奇= a n ，偶奇S S =1-n n． ⑶若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 2．⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则n nT S =2121++n n b a ． ⑸在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=mn mn -+(a －b)．⑹等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2dx + (a 1－2d)上． ⑺记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．①若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大；②若a 1＜0 ，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．第三部分：等比数列1．正确理解等比数列的含义⑴q 是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =nn a a 1+ (n +∈N )或q=1-n na a (n ≥2)． ⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n +∈N ，nn a a 1+= q ；或1-n na a = q (n ≥2)都成立．2．等比中项与等差中项的主要区别 如果G 是a 与b 的等比中项，那么a G =Gb，即G 2= ab ，G =±ab ．所以，只要两个同号．．的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A 是a 与b 的等差中项，那么等差中项A 唯一地表示为A=2ba +，其中，a 与b 没有同号．．的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．3．等比数列的基本性质⑴公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q m ( m 为等距离的项数之差)．⑵对任何m 、n +∈N ，在等比数列{ a n }中有：a n = a m · q m n -，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一般地，如果t ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且t + k ，p ，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a n }为等比数列时，有：a t ．a k ．a p ．… = a m ．a n ．a p ．… ．．⑷若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| a n |}、{a 2n }、{ka n }、{na 1}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{q1}．⑸如果{ a n }是等比数列，公比为q ，那么，a 1，a 3，a 5，…，a 12-n ，…是以q 2为公比的等比数列．⑹如果{ a n }是等比数列，那么对任意在n +∈N ，都有a n ·a 2+n = a 2n ·q 2＞0． ⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．⑻当q ＞1且a 1＞0或0＜q ＜1且a 1＜0时，等比数列为递增数列；当a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q ＜0时，等比数列为摆动数列．4．等比数列前n 项和公式S n 的基本性质⑴如果数列{a n }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n 项和公式是S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=.1,1)1(,1,11时当时当q qq a q na n也就是说，公比为q 的等比数列的前n 项和公式是q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n 项和公式，必须要弄清公比q 是可能等于1还是必不等于1，如果q 可能等于1，则需分q = 1和q ≠1进行讨论．⑵当已知a 1，q ，n 时，用公式S n =qq a n --1)1(1；当已知a 1，q ，a n 时，用公式S n =q q a a n --11．⑶若S n 是以q 为公比的等比数列，则有S m n += S m ＋qS n ．⑵⑷若数列{ a n }为等比数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等比数列．⑸若项数为3n 的等比数列(q ≠－1)前n 项和与前n 项积分别为S 1与T 1，次n 项和与次n 项积分别为S 2与T 2，最后n 项和与n 项积分别为S 3与T 3，则S 1，S 2，S 3成等比数列，T 1，T 2，T 3亦成等比数列．二、难点突破1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a n }与a n 是不同的，前者表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，而后者仅表示这个数列的第n 项；⑵数列a 1，a 2，…，a n ，…，与集合{ a 1，a 2，…，a n ，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 2-， aq 1-， a ，aq ，aq 2，…；⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 3-， aq 1-， aq ，aq 3，…．5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a n ≠0，因为当a n = 0时，虽有a 2n = a 1-n · a 1+n 成立，但{a n }不是等比数列，即“b 2= a · c ”是a 、b 、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a n }，“2b = a + c ”是a 、b 、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q ≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．另外，对于等差数列的求法，在进行详细总结，注意最后一种不动点法不要求掌握，其实是因为老师从来没讲过。