分段函数的性质、图象以及应用 (1)

热点分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量 X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已 成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上； 要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到 就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题．例 1【2018 届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍ft 一中、东北育才学校高三上学期期末】设e x , x ≤ 0⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ f (x ) = { lnx , x > 0，则 f ⎢ f e ⎪⎥ = ． 1 【答案】e⎡⎛ 1 ⎫⎤⎣ ⎝ ⎭⎦ ⎛1 ⎫-11 【解析】 f ⎢ f e⎪⎥ = f ln e ⎪ = f (-1)= e = e⎣ ⎝ ⎭⎦⎝ ⎭2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2【2017 届湖南省长沙市第一中学高考模 拟卷一】已知函数 f (x ）={e x, x ≤ elnx , x > e，则函数 y =f (e - x )的大致图象是 （ ）A. B.C. D.【答案】B3分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.1-x, x < 0例3【2018 届北京市东城区高三上学期期中】已知函数f (x)= { xlnx , x > 0，则关于x的方程⎡⎣f(x)⎤⎦2+f(x)+a=0(a∈R)的实根个数不可能为（）．A.2 B.3 C.4 D. 5【答案】A【解析】当x < 0时， f '(x)=-1x2∴ f (x)在(-∞, 0)上是减函数，-1 < 0，当x > 0时， f (x)= ln x = {-lnx, 0 <x < 1，lnx, x ≥ 1∴ f (x)在(0,1)上是减函数，在[1, +∞)上是增函数，作出f (x)的大致图像如图所示：2 ⎭⎝ ⎭⎝设 f (x ) = t ，则当t < 0时，方程 f (x ) = t 有一解，当t = 0时，方程 f (x ) = t 有两解， 当t > 0时，方程 f (x ) = t 有三解，有 ⎡ f (x )⎤2- f (x ) + a = 0，得t 2 - t + a = 0，若方程t 2 - t + a = 0，有两解t ， t ，则t + t= 1，⎣ ⎦∴方程t 2- t + a = 0不可能有两个实数根，∴方程 ⎡⎣ f (x )⎤⎦2- f (x ) + a = 0不可能有2个解． 故选A ．4 分段函数与不等式1 2 12将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例 4【2018 届福建省厦门市高三上学期期末】已知函数 f (x ) = {log 2 x , 0 < x ≤ 2,log 2 (4 - x ), 2 < x < 4,f (a ) ≥ f ⎛a + 1 ⎫，则a 的取值范围是（ ）2 ⎪ ⎝ ⎭A. ⎛ 0, 1 ⎤ ⋃ ⎡2, 7 ⎫B. ⎛ 0, 1 ⎤ ⋃ ⎡ 7 , 7 ⎫2 ⎥⎦ ⎢⎣⎪ 2 ⎥⎦ ⎢⎣4 2 ⎪⎛ 17 -1⎤ ⎡ 7 ⎫ ⎛ 17 -1⎤ ⎡ 7 7 ⎫C. 0, 4 ⎥ ⋃ ⎢2, 2 ⎪D. 0, 4⎥ ⋃ ⎢ , ⎪ ⎝ ⎦ ⎣ ⎭ ⎝⎦ ⎣ 4 2 ⎭【答案】D【解析】画出函数 y =f (x )的图象（图中黑色部分），则函数 y =f (x )的图象向左平移 1个长度单位，得 2到函数 y = ⎛ + 1 ⎫的图象（图中红色部分），设两图象交于点 A , B ，且横坐标分别为 a , a ．由图象可得f x 2 ⎪ 1 2⎝ ⎭若-1+ 17 满足 f (a ) ≥ f ⎛a +1 ⎫的实数a 的取值范围为⎛0, a ]⋃[a ,7 ⎫．2 ⎪ 1 22 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭对于 a ，由-log a = log ⎛a + 1 ⎫，解得 1= a + 1，所以2a 2 - a - 2 = 0，解得 a = 或1 2 1 2 1 2 ⎪ a 1 2 1 1 14 a 1 =⎝ ⎭ 1（舍去）． 4⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ 7对于a 2，由log 2a 2 = log 2 ⎢4 - a 2 + 2 ⎪⎥，解得 a 2 = 4．⎣ ⎝ ⎭⎦综上可得实数a 的取值范围为⎛ 0, -1+ 17 ]⋃[ 7 , 7 ⎫．选 D ． 4 4 2 ⎪⎝ ⎭ 5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围 问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．x + 2, x > a 例 5【2018 届四川省成都实验中学高三上学期 1 月月考】已知函数 f(x)＝{x 2 + 5x + 2, x ≤ a函数 g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )A. [－1，1)B. [0，2]C. [－2，2)D. [－1，2) 【答案】D-1- 176 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时， 也是分段求解析式的.例 6【2018 届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数.当 x > 0时，f (x ) = x 2 - x ，则不等式 f (x ) > 0的解集用区间表示为（ ）A. (-1,1)B. (-∞, -1)⋃ (1, +∞)C. (-∞, -1)⋃ (0,1)D. (-1, 0)⋃ (1, +∞) 【答案】D7分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018 届ft 西省太原十二中高三 1 月月考】已知-8 < m < n ，函数 f (x ) = {3log 8 (-x ), -8 ≤ x < m ,x 2- 2x , m ≤ x ≤ n ,若 f (x )的值域为[-1, 3]，则 n - m 的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B【解析】 f (x )= {log 2 (-x ), -8 ≤ x < m x 2 - 2x , m ≤ x ≤ n，分别作出 y = log 2 (-x )和 y = x 2 - 2x 的图像， f (x )在[-8, m )是减函数且log 2 (-m ) < f (x ) ≤ 3 ，因 f (x )的值域是[-1, 3]，故 f (x )只能在[m , n ]上取最小值-1，所以1 ≤ n ≤ 3. 又-1 ≤ m ≤ -1， 否则 m < -1时， f (x ) > 3， - 1< m < 0时， f (x ) < -1，22m ≥ 0时， log 2 B.(-x )在0 ≤ x ≤ m 上无意义. 故 n - m 的最小值为3，最大值为4，它们的乘积为6，选2点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[-8, m )有最大值3，但无最小值，故函数的最小值-1 只能在[m , n ]取得，但是 y = x 2 - 2x = (x -1)2-1 ≥ -1，因此1∈[m , n ]且 m ≤ - 1，再根据 f (x )的最大2值为 3，得到 m ≥ -1, n ≥ 3，所以 n - m 的最小值为 3，最大值为4，它们的乘积为 6.2例 8【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三 12 月月考】已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，满足f (x +1) = - f (x )，当 x ∈ ⎡0, 1 ⎤时， f (x ) = 4x -1，则函数 h (x ) = (x -1) f (x )-1在区间 ⎡- 3 , 3⎤上⎣⎢ 2 ⎥⎦⎣⎢2 ⎥⎦所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，所以 f (-x ) = - f (x )，又 f (x +1) = - f (x )，所以 f (x )的周期是 2，且 f (x +1) = f (-x )得 x = 1是其中一条对称轴，又当 x ∈ ⎡0,1 ⎤时， f (x ) = 4x-1， 于是2f (x )图象如图所示，⎣⎢ 2 ⎥⎦又函数h (x)=(x -1)f (x)-1零点即为y =f (x)图象与y =1x -1的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于(1, 0)对称，所以x1 +x4 = 2, x2 +x3 = 2，所以零点之和为x1 +x2 +x3 +x4 = 4.故选 A．8 分段函数的单调性例9 已知函数f (x)= {a x , x < 0, 满足对任意x ≠x,都有 f (x1 )- f (x2 )< 0成立,则a的范(a -3)x+ 4a, x ≥ 0 1 2 x1- x2围是( )A.⎛0,1 ⎤B. (0,1)C. ⎡1 ,1⎫D. (0, 3)4 ⎥⎢4 ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】A点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.【反思提升】综合上面的八种类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.。