考点03 分段函数的4种求法(解析版)

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(完整版)分段函数及函数的性质知识梳理

分段函数及函数的性质分段函数概念在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集函数值求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．注意分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．分段函数的作图因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．例1 设函数()221,0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩„（１）求函数的定义域；（２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．1.设函数 ()221,20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩„（1）求函数的定义域；（2）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．2．设函数()41,20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩„（1）求函数的定义域；（2）求()2(0)(1)f f f -，，；（3）作出函数图像．3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= . 4.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（） A 2 B 3 C 4 D 5函数的性质 1 单调性概念函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．例判断函数42y x =-的单调性1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。

分段函数的几种常见题型和解法

函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）CD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．05．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,166．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．7．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）CD解析：在定义围讨论，当0<x<1时，11y x x=+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（）x.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0]B.(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.答案：D2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.答案：B5．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.答案：D 6．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－107．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34. 答案：－34。

(完整word版)分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）y xACD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若xy0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x-->, 解得01x <-, 当00x >时, 1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。

(新)高三分段函数的性质及应用详细讲解及训练

专题七分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩ 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

一次函数的分段函数的解析式的求法

一次函数的分段函数的解析式的求法
复习：用待定系数法求一次函数解析式的步骤是什么？
1.设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0) ; 2.根据已知条件列出关于k , b 的二元一次方程组 3.解这个方程组,求出k, b ;
4 .将已经求出的 k, b的值代入所设解析式.
已知一次函数的图象经过点(3,4)与（－4，－3）.求这个一次函数的解析式．
• 〔1〕求y与x的函数关系式； • 〔2〕利用函数关系式，说明电力公司采取的
收费标准； • 〔3〕假设该用户某月用电62度，那么应缴费
多少元？假设该用户某月缴费105元时，那么该用户该月用了多少度电？
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ….
求出分段函数后，如何求当x=a时的函数值？
付款金额/元 2.5 5 7.5 10 12 5 x (0≤x ≤2)
分析:付款金额与种子价格相关,问题中种子价格不是固定不变的,它与购买种子数量有关. 求出分段函数后，已知函数值，怎么求对应的自变量的值？
小结：
1.求分段函数时分段的依据是什么？
2.求出分段函数后，如何求当x=a时的函数值？
3.求出分段函数后，已知函数值，怎么求对应的自变量的值？
• 练习：今年以来，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费方法，假设某户居民每月应交电费y〔元〕与用电量x〔度〕的函数图象是一条折线〔如下图〕，根据图象解以下问题：
小明运动的路程图像又是什么函数的图像呢？这种函数的解析式应该怎样怎么来求？
创设情境提出问题
思考：这个函数的图像有几段？怎样求函
数的解析式？
探索新知
解这个方“程组,黄求出k,金b ; 1号”玉米种子的价格为5元/千克，

分段函数的求法高中数学解题方法含详解

分段函数的求法高中数学解题方法一、单选题 1．若f （x ）＝,0,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，且f （x ）＝1，则x ＝（）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．02．为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”．假设计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月的用水量（） A ．13B ．14C ．15D ．163．设函数()121,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩，若()02f x >，则0x 的取值范围是（） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．(),1-∞- C ．()4,+∞D ．()1,4-4．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则使得1(())2f f x =成立的x 的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知函数()0,πcos ,0,3x f x xx ≤=⎨>⎪⎩则()()100f f -=（） A ．12-B ．12C ．1D ．1-6．已知函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩若()04f f m ⎡⎤=⎣⎦，则实数m =（）A ．0B ．1C ．2D ．37．函数1(,0]()3(21)(1),(0,)xx f x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．已知函数,0(),0x e x f x mx m x ⎧≥=⎨+<⎩，在R 上单调递增，其中e 为自然对数的底数，那么当m 取得最大值时，关于x 的不等式()()ln f x m ≤的解集为（） A ．(,1]-∞B ．(]1,1-C ．(]0,eD ．(1,]e -9．已知()()[)2,0,1log ,1,2aax x f x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若()1f x =有两解，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．()1,210．若f (x )=,13,1ax x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()21,12,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩.若()1212,x x R x x ∀∈≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．(]1,3C ．[]3,4D ．(]1,4 12．已知函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤<⎩，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ． ][(,13,) -∞-⋃+∞D ．(3],-∞13．已知函数ln ,1(),()(2),1xx x f x g x kx f xe x ≥⎧==+'⎨<⎩，对12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立，则k 的取值范围是（）A ．11(,]36e -∞-- B ．11[)36e ++∞， C ．1111[,]3636e e --+ D ．11(,]36e -∞--11[)36e ++∞， 14．已知函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，，若存在实数1234x x x x ，，，，当1234x x x x <<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x +++的取值范围是（） A ．2573⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[257)3，C ．46143⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．设函数2cos ,10()23,02x x x f x ax x a x --≤≤=+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则 A ．12a ≥-B ．1123a -≤≤ C ．13a ≥D ．102a -≤<或0a >二、多选题16．已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在实数m 满足()12(())12f m f f m ++=，则（）A ．()0f m ≤B ．()f m 可能大于0C ．(,1]m ∈-∞-D ．(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦17．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题18．设函数()ln ,01,0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩，若()1f m =，则实数m =______.19．已知函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =-，则0x =___________.20．已知函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，若((2))2f f =，则实数a 的值为______．21．已知函数221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，若1()14f a f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则实数a 的值为__________． 22．已知函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是________．23．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．24．已知函数()2log 1,033x x f x x ⎧-<≤⎪=>，则使不等式()12f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围为______.25．已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________. 26．11,1,()3,1x a x x f x a x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩满足：对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，a 的取值范围________．27．已知函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称，则实数m 的取值范围为___________． 28．若函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩1)a ≠,的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．29．已知函数()||f x x x a =--，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为_________．30．已知函数22()4f x x x ax =---在区间(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．31．已知函数220()log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩.(1) 解不等式：()0x f x ⋅≤；(2) 当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，求实数m 的取值范围； (3) 对于满足(2)的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求实数k 的取值范围.32．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.33．已知函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩，数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数t 的取值范围是_________.34．已知0a >且0a ≠，函数223,2()1log ,2a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩存在最小值，则(4)f a 的取值范围为__________．四、双空题35．已知函数()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦_______，若()5f a =-，则a =______．36．若函数12,0()2,0x x x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，则((1))f f -=_________，若1()2f a =，则a =________．37．设函数ln(2),1()24,1x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，当()1f a =时，a =_______；如果对于任意实数R 都有()2f x b ≥成立，那么实数b 的取值范围是_________．超过x 的最大整数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=.已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________. 39．若函数2,11,()ln ,1.x x f x x x a -⎧-≤<=⎨≤≤⎩①当2a =时，若()1f x =，则x =__________．②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是__________． 40．已知函数[][]()sin,1,12f x x x x π=+∈-.其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]3.54,2.12-=-=.(1)函数()f x 是_________函数（奇偶性）；(2)函数()f x 的值域是________.五、解答题41．已知函数()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求()3f 、()()2ff -的值；（2）若()10f a =，求a 的值. 42．已知函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩（1）若1()()12f x f x +->，求x 的取值范围；（2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，求b 的取值范围.43．已知()f x x x a b =-+，x ∈R .（1）当1a =、0b =时，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当1a =、1b =时，若()2log 3f x =，求x 的值.44．已知函数22,2()2,2x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩（1）若0)(8f x =，求0x 的值；（2）解不等式()8f x >.45．设函数()1 ,01(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中a 为常数且()0,1a ∈.新定义：若0x 满足()()00ff x x=，但()00f x x ≠，则称0x 为()f x 的回旋点.（1）当12a =时，分别求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）当(],1x a ∈时，求函数(())y f f x =的解析式，并求出()f x 回旋点；（3）证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点，并求出回旋点12,x x . 46．已知函数()3,0ln ,0x x f x x x e-<⎧=⎨<<⎩的值域为M ,函数()()142x x g x x M +=-∈.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M ∈时,若函数()()142xx h x b b R +=--∈有零点,求b 的取值范围,并讨论零点的个数.47．已知函数2()22,()2|1|f x x tx t g x x =-+-=-，函数()min{(),()}F x f x g x =，其中{},min ,.,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩ （1）若()24f x t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围；（2）若6t ≥，①求使得()()F x f x =成立的x 的取值范围； ②求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M t ． 48．已知()f x x x a =-，0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 在[]1,3-上的最大值；（2）对任意的1x ，[]21,1x ∈-都有()()124f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】分段讨论即可求出. 【详解】解：当x ≥0时，f （x ）＝x ，由f （x ）＝1，得x ＝1，当x ＜0时，f （x ）＝﹣x ，由f （x ）＝1，得1x =-．综上，x ＝±1．故选：C ． 2．B 【分析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可. 【详解】当用水量为312m 时，水费为12336⨯=，而本月交纳的水费为48元，显然用水量超过312m ，当用水量为318m 时，水费为36(1812)672+-⨯=，而本月交纳的水费为48元，所以本月用水量不超过318m ，所以有(4836)62-÷=，因此本月用水量为312214m +=，故选：B 3．A 【分析】分别在00x ≤和00x >的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】当00x ≤时，()0001222x x f x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，01x ∴->，解得：01x <-；当00x >时，()12002f x x ==>，解得：04x ；综上所述：0x 的取值范围为()(),14,-∞-+∞.故选：A. 4．B 【分析】令()f x t =，由()12f t =得到12t =-，2t =()1f x t =和()2f x t =，得到x 的值，从而得到答案.【详解】令()f x t =，则()12f f x =⎡⎤⎣⎦的零点，转化为()12f t =，而21,0()ln ,0t t f t t t ⎧-+≤=⎨>⎩，由21120t t ⎧-+=⎪⎨⎪≤⎩，解得12t =-（正值舍），由1ln 20t t ⎧=⎪⎨⎪>⎩，解得2t =，所以()1f x t ==，即0x ≤时，21x -+=，得12(1)x =-+（正值舍）， 0x >时，ln x =x e =， ()2f x t ==即0x ≤时，21x -+，得x 无解，0x >时，ln x =，得x = 所以()12f f x =⎡⎤⎣⎦有3个零点. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查求复合函数的零点，关键在于通过换元法，区分内外层函数，逐层求解，属于中档题. 5．A 【分析】直接代入，先求()100f -，再求()()100f f -.【详解】由题意知()10010f -==，则()()()10π4ππ10010coscos cos π333f f f ⎛⎫-====+ ⎪⎝⎭π1cos 32=-=-．故选：A【点睛】求分段（复合）函数函数值的方法步骤：（1）找到给定自变量所在的区间；（2）将自变量带入解析式求解. 6．C 【分析】根据分段函数的解析式，先求出()02f =，再根据()04f f m ⎡⎤=⎣⎦可得答案. 【详解】因为函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩，所以()0012f e =+=，所以()()02424f f f m m ⎡⎤==+=⎣⎦，解得2m =，故选：C. 7．B 【分析】依题意，当0x >时，(21)))((1a x x a f =-+-为减函数，再比较分段点处函数值大小，即可得答案. 【详解】依题意()f x 在R 上为减函数，所以02101()13a a -<⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得102a ≤<，故选：B. 8．B 【分析】首先根据函数()f x 的单调性求得01m <≤，从而确定m 的最大值为1，接着确定函数()f x 的解析式，接着分类讨论()()ln 1f x ≤的解集即可.解：因为函数()f x 在R 上单调递增，则有000m m m e>⎧⎨⨯+≤⎩，解得01m <≤，所以m 的最大值为1，此时,0()1,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，令()()ln 1f x ≤，解得()0f x e <≤，当0x <时，01x e <+≤，解得11x e <≤-﹣，所以10x -<<，当0x ≥时，0x e e <≤，解得01x ≤≤，综上，不等式的解集为(]1,1-，故选：B. 【点睛】本题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，处理这类问题主要是每一段上的单调性要考虑，还要考虑两段的端点值进行比较大小才能最后确定函数的单调性. 9．D 【分析】解方程()1f x =，根据该方程有两解可得出关于a 的不等式组，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知0a >且1a ≠.当12x ≤<时，由()log 1a f x x ==，可得x a =；当01x <<时，由()21f x ax ==，可得x =由于方程()1f x =有两解，则1201a ≤<⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得12a <<. 因此，实数a 的取值范围是()1,2. 故选：D. 10．D由()a f x x =在[1，+∞)上单调递减且131aa ≤-+可解得结果. 【详解】因为函数()3f x x a =-+在(,1)-∞上是单调递减的，又()f x =,13,1ax xx a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，所以()af x x =在[1，+∞)上单调递减，即a >0，并且131a a ≤-+，解得12a ≥．综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞.故选：D 【点睛】易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误. 11．B 【分析】首先可得函数()f x 在R 上是增函数，然后保证函数()f x 在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果. 【详解】依题意可知，函数()f x 在R 上是增函数，则11412a a a >⎧⎪⎪≤⎨⎪-≤⎪⎩，解得13a.故选：B . 【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断． 12．B先根据已知条件求解出()f x 的值域以及()g x 的最小值，然后根据题意得到224a a -与()f x 值域的端点的大小关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()2g x x x =-，a 为实数，所以22()24g a a a =-，因为224y a a =-，所以当1a =时，y 的最小值为2-，因为函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象如下图，且2(7)6,()2,()1f f e f e --==-=，所以结合图象可知()f x 值域为[2,6]-，因为存在实数m ，使()2()0f m g a -=，所以22246a a -≤-≤，即13a -≤≤，故选：B ．【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集． 13．D 【分析】由题知，()()min min g x f x ≤，先求出()min f x ，再对k 分类讨论求出范围. 【详解】 1x >时，()ln f x x =()1f x x '∴=∴()122f '=∴1()2g x kx =+12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立()()min min g x f x ∴≤对函数ln ,1(),1xx x f x xe x ≥⎧=⎨<⎩当1x >时，()ln f x x =，此时()min 0f x = 当1x <时，()x f x xe =()(1)x f x x e '∴=+令()(1)0x f x x e '+==得1x =- 当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增所以1x =-为极小值点，此时1(11)f e e-=-=--故()min 1f x e=- 当0k =，1()2g x =不合题意；当0k >，()()min 1332g x g k =-=-+所以1132k e -+≤-，解得1136k e ≥+ 当0k <，()()min 1332g x g k ==+所以1132k e +≤-，解得1136k e ≤--综上得11(,]36k e ∈-∞--11[)36e ++∞，故选：D. 14．D 【分析】画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像, 令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =，分析1234x x x x ，，，所在的区间，结合对数函数，余弦函数的性质，可得1234x x x x +++的取值范围.【详解】解：画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像如图，令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =，当3x =时，(3)cos 1f π=-=，当9x =时，(9)cos31f π=-=，由图像可知，当01a <<时，直线与()f x 有4个交点，且1234013 4.59x x x x <<<<<<<<，则：3132log x log x =，可得3132log x log x =-，121=x x ，由()3y cos x π=-的图像关于直线6x =对称，可得3412x x +=，可得1234x x x x +++=2221211)3(x x x ++<<，设2222121()13()g x x x x =++<<，由对勾函数性质可得其在(1,3)区间上单调递增，当21x =时，123414x x x x +++=，当23x =时，1234463x x x x =+++，故可得1234x x x x +++的取值范围是46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选：D. 【点睛】本题主要考查分段函数的性质、对数函数与余弦函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题. 15．B 【分析】因为()cos f x x x =-在[1,0]-单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在(0,2]也是单调递增，且31a -≥-，解不等式组，即可得到本题答案. 【详解】当10x -≤≤时，()cos 2sin ,1,6666f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=--∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[1,0]-上单调递增，因为()f x 在区间[1,2]-上是单调函数，所以2()23f x ax x a =+-在区间(0,2]上单调递增，当0a >时，对称轴10x a=-<，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤；当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a=->，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足3112a a-≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上得，1123a -≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法. 16．AD 【分析】若()0>f m ，将()f m 代入上支函数，可得(())f f m =ln[()]2f m -，结合题意，可得()f m 的范围，同理若()0f m ≤，将()f m 代入下支函数，又可解得()f m 范围，根据()f m 范围，再分别讨论0m ≤，0m >，将m 代入不同方程，即可得答案. 【详解】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-．若()0>f m ，则()1ln[()]222f m f m -=-，．ln 1≤-x x ，2x x >，．ln 23x x -≤-，112122xxx -<-<-，．1ln 23122x x x x -≤-<-<-，．方程无解；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +，故只需解()0f m ≤即可，当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-；当0m >时，由()ln 20f m m =-≤，解得20e m <≤．综上所述，当(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=．故选：AD . 【点睛】本题考查复合函数求解析式、函数与方程的综合应用及分段函数的应用，难点在于根据题意得到不同的(())f f m 的表达式，再进行求解，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，分类讨论的思想，属中档题. 17．ABC 【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x-为有理数时，x也为有理数∴()1f x-=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.18．e【分析】当0m>时，()ln1f m m==，当0m<时，()11f m m=-=，分别解出m的值，再验证．【详解】函数ln,0,()1,0,x xf xx x>⎧=⎨-<⎩∴当0m>时，()ln1f m m==，解得m e=，当0m<时，()11f m m=-=，解得0m=（舍），∴实数m e=．故答案为：e．19．4【分析】根据题意，由函数的解析式分01x ≤与01x >两种情况讨论，求出0x 的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，当01x ≤时，()()20012f x x =-=-，无解；当01x >时，()0102log 2f x x ==-，解可得04x =，符合题意，故04x =，故答案为：4. 20．2 【分析】根据分段函数解析式计算可得；【详解】解：因为2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，((2))2f f = 所以2log (2)21f ==，则((2))(1)342f f f a a ==-+=，解得2a =．故答案为：2． 21．：8或2- 【分析】根据分段函数解析式先求出1()4f 的值，然后分类讨论解方程即可求a 的值．【详解】因为221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，所以22211()log log 2244f -===-，又因为()f a 1()14f +=，所以()f a 11()1(2)34f =-=--=．若0a >，由()3f a =得2log 3a =，解得8a =；若0a ≤，由()f a 3=得213a --=，即24a -=，2a ∴-=，2a =-，综上8a =或2a =-．故答案为：8或2-．【点睛】方法点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值． 22．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先利用已知条件，结合图象确定,m n 的取值范围，设()()f m f n t ==，即得到n m -是关于t 的二次函数，再求二次函数的取值范围即可. 【详解】先作函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩图象如下：由图可知，若m n <，()()f m f n =，设()()f m f n t ==，则(]0,1t ∈，0m n ≤<，由()1f m m t =+=知，1m t =-；由()f n t ==知，2n t =；故()222131124n m t t t t t ⎛⎫-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，(]0,1t ∈，故12t =时，n m -最小值为34，1t =时，n m -最大值为1，故n m -的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断,m n 的取值范围，才能分别找到,m n 与相等函数值t 的关系，构建函数求值域来突破难点. 23．15,48⎛⎫⎪⎝⎭【分析】采用换元法，令()0f x t =，分别在t A ∈和t B ∈两种情况下求得t 的范围，进而继续通过讨论0x A ∈和0x B ∈来求得结果. 【详解】令()0f x t =，则()f t A ∈. ．若t A ∈，则()12f t t =+，11022t ∴≤+<，解得：102t -≤<，不满足t A ∈，舍去；．若t B ∈，则()()21f t t =-，()10212t ∴≤-<，解得：314t <≤，即()0314f x <≤，若0x A ∈，则()0012f x x =+，031142x ∴<+≤，解得：01142x <≤，011,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭；若0x B ∈，则()()0021f x x =-，()032114x ∴<-≤，解得：01528x ≤<，015,28x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述：0x 的取值范围为15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：求解复合函数()()f g x 类型的不等式或方程类问题时，通常采用换元法，令()g x t =，通过求解不等式或方程得到t 满足的条件，进一步继续求解x 所满足的条件.24．1,32⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用分段函数，列出不等式，分类求解即可. 【详解】211log 1222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭得，当03x <≤时，由2log 12x -<，得132x <≤；当3x >2<，此时无解. 综上所述，不等式()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查分段函数的应用，考查计算能力，属于中档题． 25．2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值. 【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.26．12,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先判断出()y f x =为减函数，列不等式组，解出a 的范围. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，不妨设12x x <，则有()()12f x f x >，所以()y f x =为减函数，所以需满足：1103011113a a a a ⎧-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎛⎫⎪-⨯+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1233a <≤.则a 的取值范围12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法： (1)分段函数的每一段都单调； (2)根据单调性比较端点函数值的大小. 27．()2,+∞ 【分析】根据偶函数的性质可得函数()1e exxg x =+和函数()2h x x m =-+存在两个交点，再结合函数的单调性得()()00h g >，由此可得出结论．【详解】解：∵函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称，构造定义在R 上的函数()1e exx g x =+和函数()2h x x m =-+，易得函数()g x 和函数()h x 均为偶函数， ∴函数()g x 和函数()h x 在R 上存在两个交点， ∴函数()g x 和函数()h x 在()0,∞+上存在一个交点，又函数()g x 在()0,∞+上单调递增，函数()h x 在()0,∞+上单调递减， ∴()()max min h x g x >，即()()00h g >，即112m >+=，故答案为：()2,+∞． 28．1[,1)3【分析】先求出当2x ≥时，()f x 的范围，再由()f x 的值域为R ，列不等式组，解出a 的范围．【详解】当2x ≥时，2log 1x ≥．因为()f x 的值域为R ，所以只需201341a a a <<⎧⎨-+≥⎩，解得113a ≤<．故答案为1[,1)3． 29．1 【分析】当2a ≥时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，矛盾，故不满足；当02a <<时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，进而得212a a -≤+-，解不等式(]0,1a ∈，进而得实数a 的最大值【详解】解：当2a ≥时，取绝对值得()(),,(),,x x a x a f x x x a x a x x a --≥⎧⎪=--=⎨--<⎪⎩，作出函数()f x 的图像如图1，此时，1(2,)x ∈+∞，()(]1,0f x ∈-∞，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，显然不满足，；当02a <<时，函数图像如图2所示，此时，1(2,)x ∈+∞，()()1,42x a f ∈-∞-+，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，所以当212a a -≤+-时，才能满足对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立，整理不等式212a a -≤+-得：20a a -≤，解得：[]0,1a ∈，由于02a <<，所以(]0,1a ∈.由于所求为实数a 的最大值，故不需要再讨论0a ≤的情况.所以，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分2a ≥时和02a <<时两种情况分别讨论求解. 30．08a <≤ 【分析】设2()4g x x ax =--，求出函数()g x 的两个零点12,x x ，且12x x <，将函数()f x 化为分段函数，分类讨论a ，当0a ≤时，可知函数()f x 在区间(,2)-∞-上不可能单调递增；当0a >时，根据1x 的范围可知恒满足函数()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，根据解析式可知()f x 在[,)4a+∞上单调递增，再由24a≤可解得结果. 【详解】设2()4g x x ax =--，其判别式2160a ∆=+>，所以函数()g x 一定有两个零点，设函数()g x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，由240x ax --=得1x =2x =，所以函数2()|()|f x x g x =-=121224,,24,4,ax x x x ax x x x ax x x+<⎧⎪--≤≤⎨⎪+>⎩，①当0a ≤时，()f x 在1(,)x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(,2)-∞-不可能单调递增，故0a >，②当0a >时，12a x =02a <=，1222a x +=+4022a +==>，所以12x >-，所以120x -<<，因为()f x 在1(,)x -∞上单调递增，所以()f x 在(,2)-∞-上也单调递增，因为()f x 在2[,]4a x 和2(,)x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以()f x 在[,)4a+∞上单调递增，欲使()f x 在(2,)+∞上单调递增，只需24a≤，得8a ≤，综上所述：实数a 的取值范围是08a <≤. 故答案为：08a <≤ 【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用2()4g x x ax =--的零点将函数()f x 化为分段函数；②分类讨论a ，利用分段函数的单调性求解. 31．(1) 1x ≤；(2) [0,2]；(3) [4,)+∞. 【分析】(1) 分段函数需分段讨论；(2) 先求方程()1f x =的实根，在结合函数的单调性求解； (3) 利用分离参数的方法，转化为函数的最大值问题. 【详解】(1) 当0x ≤时，由()20x x f x x ⋅=⋅≤得，0x ≤；当0x >时，由2()log 0x f x x x ⋅=⋅≤得，2log 0x ≤，解得01x <≤. 综上可知，不等式()0x f x ⋅≤的解集为{}|1x x ≤.(2) 解()1f x =得0x =或2x =，又函数2x y =为增函数，所以当0x <时，()21xf x =<，2log y x =为增函数，所以当2x >时，()1f x >，当02x <≤时，()1f x ≤，故若(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，则m 的取值范围为[]0,2.(3)在(2)的条件下，有()1f x ≤恒成立，若2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，只需2(2)3101m k m k --+-≥，对[]0,2m ∈恒成立.整理得22113m m k m+-≥--，令3t m =-，有[]1,3t ∈，3m t =-，()()23231148t t k t t t -+--⎛⎫≥-=-++ ⎪⎝⎭，又44t t +≥=，当且仅当2t =时等号成立，所以48484t t ⎛⎫-++≤-+= ⎪⎝⎭，故4k ≥，所以k 的取值范围为[)4,+∞. 32．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】作出()y f x =，()1y f x =-的大致图象，由()()1f x f x -<恒成立，利用数形结合可得到关于a 的不等式()91a a ---<，解不等式即可得解. 【详解】(),3,33,313,3313,3333x a a x ax a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <，又0a >，所以108a <<. 故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数()f x 的大致图象，然后根据函数()y f x =与()1y f x =-的图象的关系，数形结合判段a 的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题. 33．12,1⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由分段函数及复合函数单调性的性质,可得t 的取值范围.再由分段函数单调性的性质,及数列的自变量取值特征,即可确定t 的取值范围. 【详解】数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈,若数列{}n a 是单调递减数列函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩当03,*n n N <<∈时, ()2144tn n a f n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由复合函数单调性性质可知2y tn =-为单调递增函数.则0t >;当3,*n n N ≥∈时,()()241518n a f n tn t n t ==-+-+-为单调递减,则()04722t t t >⎧⎪-⎨-<⎪⨯-⎩,解得12t >当2n =时222144t a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当3n =时, ()3934151836a t t t t =-+-+-=-.因为数列{}n a 是单调递减数列所以满足2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立而当1t =时,2214364t t -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 22144t y -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减,36y t =-单调递增由函数性质可知2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1t <由以上可得t 满足0121t t t >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩,所以112t <<.即1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为:1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了数列的函数性质,分段函数单调性的综合应用,由数列的单调性求参数的取值范围.注意数列与函数的取值范围区别,不等式边界的选取也是解决问题的关键,属于难题. 34．[4,)+∞ 【解析】当2x ≤时．()()222312f x x x x =-+=-+，当且仅当1x =时．()f x 取得最小值2．当2x >时，若01a <<．则()1log 22a f x <+<．显然不满足题意．若1a >．要使()f x 存在最小值，必有1log 22a +≥．解得12a <≤．即448a <≤．()()4141log 42log 42log a a f a a a =+=+=+．由410log 2a <≤．可得212log a ≥．可得()44f a ≥．故答案为[)4,+∞. 35．2172或1或2利用函数解析式由内到外逐层计算可得()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；分0a ≤和0a >解方程()5f a =-，综合可得出实数a 的值. 【详解】()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()11335f =--=-，则()()1510122f f f ⎡⎤=-=-+=⎣⎦；当0a ≤时，()2125f a a =+=-，解得172a =-，合乎题意；当0a >时，()2335f a a a =--=-，可得2320a a ，解得1a =或2.综上所述，172a =-或1或2. 故答案为：2；172或1或2.36．21-或14【分析】根据分段函数定义计算，注意自变量的取值范围，在已知1()2f a =求a 时要分类讨论．【详解】121(1)2f --==，所以1211((1))()22f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭1()2f a =，若122x=，1x =-，符合题意，若1212x =，14x =也符合题意．故答案为：2；1-或14．37．2e -或52- (],1-∞- 【分析】分类讨论将a 代入()f x 进行求值即可，再根据恒成立问题的解法求得()f x 的最小值即可得解.若1a ≥-可得()ln(2)1f a a =+=，所以2a e =-，满足题意，若1a <-，()241f a a =--=，所以52a =-，满足题意，当1x ≥-，ln(2)0x +≥，当1x <-，242x -->-，根据题意可得22b -≥，所以1b ≤-. 故答案为：2e -或52-；(],1-∞-. 38．163,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可. 【详解】由题意，得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，当01x ≤<时，5332x -=，即16x =；当12x ≤<时，5222x -=，即94x =(舍)，综上16x =；当01x ≤<时，33x x -≤，即314x ≤<，当12x ≤<时，22x x -≤，即12x ≤<，综上，324x ≤<. 故答案为：16；3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.39．①0 ②2]．【分析】．1）若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则x e =，舍去．（2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦，所以为使得值域为[]0,2，则ln x 的值能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．【详解】．1）分段讨论：若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则1lnx =，则x e =，不在定义域范围内，所以舍去因此0x =（2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦，为使得值域为[]0,2，则ln x 的值域能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．所以122e a e ≤≤ ，即2a e ⎤∈⎦【点睛】本题考查分段函数定义域与值域的求解，关键分清自变量取值对值域取值的影响，属于难题． 40．非奇非偶 (){}1,12-⋃ 【分析】根据函数奇偶性定义，可判断函数[][]()sin ,1,12f x x x x π=+∈-是非奇非偶函数，再根据三角函数值域，可分段求解函数值域. 【详解】（1）(1)110,(1)112f f -=-+==+=函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数.（2）由题意得[)(]1sin ,1,02()sin ,0,122,1x x xf x x x ππ⎧--∈-⎪⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎪⎩当[)1,0x ∈-时，函数()f x 是减函数，(0)()(1)f f x f <≤-得1()0f x -<≤；当()0,1x ∈时，函数()f x 是增函数，(0)()(1)f f x f ∴<<，得0()1<<f x ；当1x =时，()2f x =.综上得函数()f x 的值域为(){}1,12-⋃. ．．．．：①非奇非偶；② (){}1,12-⋃ 【点睛】本题考查具体函数的奇偶性定义，和新函数的值域求法，综合性较强，有一定难度. 41．（1）()36f =，()()20f f -=；（2）5. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算可得答案；（2）分类讨论，代入求解可得a 的值. 【详解】（1）因为()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩，所以()3236,f =⨯=()2220,f -=-+=则()()200f f f -==⎡⎤⎣⎦.（2）当 1a ≤-时，()210f a a =+=，解得8a =（舍）；当1?2a -<<时，()210f a a ==，则a =；当2a ≥时，()210f a a ==，则5a =. 所以a 的值为5. 42．（1）14x >-；（2）12b ≤.【分析】（1）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可；（2）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，求出21()2f x x +的最小值，即可求得的b 取值范围. 【详解】（1）若0x ≤，则1122x -≤-，则1()()12f x f x +->等价为11112x x ++-+>，解得14x >-，此时014x -<≤；当0x >时，()21x f x =>，1122x ->-，当102x ->即12x >时，满足1()()12f x f x +->恒成立，当11022x -<-≤，即102x <≤时，1111()12222f x x x -=-+=+>，此时1()()12f x f x +->恒成立.综上所述：14x >-. （2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，即2min 1[()]2b f x x ≤+.令21()()2g x f x x =+，当0x ≤时，22211111()()1(1)22222g x f x x x x x =+=++=++≥，当0x >时，2211()()222x g x f x x x =+=+在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=，综上，21()()2g x f x x =+的最小值是12，所以12b ≤. 43．（1）非奇非偶函数；（2）x 的值为4 【分析】（1）根据题意得出()1f x x x =-，然后得出()f x -与()f x -，再根据奇函数与偶函数性质即可得出结果；（2）根据题意将()2log 3f x =转化为22log log 120x x --=，然后分为2log 1x ≥、2log 1x <两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）当1a =、0b =时，()1f x x x =-，则()11f x x x x x -=---=-+，()1f x x x -=--，因为()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，所以函数()f x 是非奇非偶函数.（2）当1a =、1b =时，()11f x x x =-+，()2log 3f x =，即22log log 113x x -+=，22log log 120x x --=，若2log 1x ≥，即2x ≥，()22log log 120x x --=，()222log log 20x x --=，()()22log 2log 10x x -+=，解得2log 2x =或2log 1x =-（舍去），即4x =；若2log 1x <，即02x <<，()22log 1log 20x x --=，()222log log 20x x -+=，无解，综合所述，x 的值为4. 【点睛】关键点点睛：定义域关于y 轴对称的函数()f x ，若函数()f x 满足()()f x f x =-，则函数()f x 是偶函数，若函数()f x 满足()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数.44．（1）0x =；（2）{|>x x .【分析】（1））当02x ≤时，根据解析式求出0x ，当02x >时，求出对应的0x ，判断0x 是否符合要求，进而即可求解.（2）根据分段函数对x 进行分类讨论，分别求出2x ≤和2x >时的满足()8f x >的范围，进而求解即可.【详解】（1）当02x ≤时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x0x =(舍去)，故0x （2）()8f x >等价于228x x ≤⎧⎨>⎩ ——①或2228x x >⎧⎨+>⎩——②解①得x φ∈，解②得>x综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于一般题目. 45．（1）12(())33f f =，4455f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩；211x a a =-++是()f x 的回旋点（3）见解析，121a x a a =-++，2211x a a =-++. 【分析】（1）利用函数解析式即可求出13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）由1a x <≤得出()()111f x x a=--，讨论21a x a a <<-+和211a a x -+≤≤时，()()f f x 的解析式，即可得出当(],1x a ∈时，函数(())y f f x =的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出()f x 回旋点；（3）将0x a ≤≤分成20x a ≤≤和2a x a <≤两种情况进行讨论，得出[]0,x a ∈内()f x 的回旋点，结合（2）中得出的(],1x a ∈内()f x 的回旋点，即可证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点. 【详解】解：（1）当12a =时，()()1 2,02121,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩∴121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝ 44221555f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴422425555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）f x 中[]0,1x ∈时，值域也是0,1又1a x <≤，()0,1a ∈()()111f x x a∴=-- 由()1111a x a<-≤-，得21a x a a <<-+ ∴当21a x a a <<-+时，()()21111(1)()11(1)f f x x x a a a a ⎡⎤=--=-⎢⎥---⎣⎦ 同理，当211a a x -+≤≤时，()10()11f x x a a≤=-≤- ()()f f x ∴=()()111111(1)x x a a a a ⎡⎤⨯-=-⎢⎥--⎣⎦∴当(],1x a ∈时，()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩当21a x a a <<-+，由21()(1)x a x a -=-得12x a=∈-2(,1)a a a -+ 1111(1)2122f a a a a ⎛⎫∴=-= ⎪----⎝⎭，故12x a =-不是()f x 的回旋点. 当211a a x -+≤≤时，由()11(1)x x a a -=-得211x a a =∈-++]2(1,1a a -+。

高中数学第三章函数-分段函数教师用书新人教B版必修第一册

第3课时分段函数问题导学预习教材P90－P92的内容，思考以下问题：1．什么是分段函数？2．分段函数是一个函数还是多个函数？1．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．■名师点拨(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．2．分段函数的图像分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像．■名师点拨在画每一段函数图像时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图像即可，即“分段作图”．3．常数函数值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0是分段函数．( )(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④答案：B已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0B ．13 C ．1D ．2解析：选C.f (2)＝2－1＝1.函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，－2，x <0的定义域为______________，值域为______________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)分段函数的定义域、值域(1)已知函数f (x )＝|x |x，则其定义域为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0<x <1，0，x ＝0，x 2－1，－1<x <0的定义域为________，值域为________．【解析】 (1)要使f (x )有意义，需x ≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知得，f (x )的定义域为{x |0<x <1}∪{0}∪{x |－1<x <0}＝{x |－1<x <1}，即(－1，1)，又0<x <1时，0<－x 2＋1<1，－1<x <0时，－1<x 2－1<0，x ＝0时，f (x )＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．【答案】 (1)D (2)(－1，1) (－1，1)(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集．(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，则函数的定义域为________，值域为________．解析：由已知得，f (x )的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R ，又x ∈[－1，1]时，x 2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]．答案：R [0，1]分段函数的求值问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．【解】由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，－2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34.(变问法)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0，所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3.因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，所以a ＝1符合题意． ③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意．综合①②③知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.(1)分段函数求函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论； ②然后代入到不同的解析式中； ③通过解方程求出字母的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．解：当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4. 综上可得：x >0或x <－4.分段函数的图像及应用角度一分段函数图像的识别(2019·济南检测)函数y＝x2|x|的图像的大致形状是( )【解析】因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图像为选项A.【答案】 A角度二分段函数图像的画法分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <－2，－3x ，－2≤x ＜2，－3，x ≥2.【解】各函数对应图像如图所示：由图像知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．角度三分段函数图像的应用某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解下列问题：(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？【解】 (1)当0≤x ≤100时，设函数关系式为y ＝kx . 将x ＝100，y ＝65代入，得k ＝0.65，所以y ＝0.65x .当x >100时，设函数关系式为y ＝ax ＋b . 将x ＝100，y ＝65和x ＝130，y ＝89代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋b ＝65，130a ＋b ＝89，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.8，b ＝－15. 所以y ＝0.8x －15.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.65x ，0≤x ≤100，0.8x －15，x >100.(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．(3)当x ＝62时，y ＝62×0.65＝40.3(元)；当y ＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x >100，所以105＝0.8x －15，x ＝150.即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．已知函数f (x )＝|x |－x2＋1(－2<x ≤2)．(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数； (2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出函数的值域．解：(1)①当0≤x ≤2时，f (x )＝x －x2＋1＝1.②当－2<x <0时，f (x )＝－x －x2＋1＝－x ＋1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，－x ＋1，－2<x <0.(2)函数f (x )的图像如图所示：由图可知，函数f (x )的值域为[1，3)．1．函数f (x )＝y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{y |0≤y ≤2或y ＝3}解析：选D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y |0≤y ≤2或y ＝3}．2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是 ( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：选A.当x ≤0时，x 2＋1＝5，x ＝－2.当x >0时，－2x <0，不合题意．故x ＝－2. 3．函数y ＝x ＋|x |x的图像是( )解析：选C.对于y ＝x ＋|x |x ，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故其图像应为C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.所以x 0＝4.[A 基础达标]1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D.f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139.3．(2019·广东深圳中学期中考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3 B ．9C ．－1或1D ．－3或 3解析：选A.依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.4．函数f (x )＝x 2－2|x |的图像是( )解析：选C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，分段画出，应选C.5．已知函数f (x )的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于 ( ) A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：选B.由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________．解析：因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.答案：77．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，求得a ＝43.答案：438．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月交水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应交水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.答案：139．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图像；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图像可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图像知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0，1]． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值；(2)画出函数f (x )的图像．解：(1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f (f (f (5)))＝－1.(2)图像如图所示．[B 能力提升]11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x <0}解析：选A.当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x <0.综上，x ≤1.12．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 答案：－3413．如图，△OAB 是边长为4的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t (0<t <6)左侧的图形的面积为f (t )，求函数f (t )的解析式．解：当0<t ≤2时，f (t )＝12×t ×3t ＝3t 22；当2<t ≤4时，f (t )＝12×4×23－12(4－t )×3(4－t )＝－32t 2＋43t －43；当4<t <6时，f (t )＝12×4×23＝4 3. 所以函数f (t )的解析式为 f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 22，0<t ≤2，－32t 2＋43t －43，2<t ≤4，43，4<t <6. 14．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f (f (x 0))∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0<12，且f (x 0)＝x 0＋12，又12≤x 0＋12<1，所以 x 0＋12∈B ，所以f (f (x 0))＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f (f (x 0))∈A ，所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14＜x 0≤12，又0≤x 0＜12，所以14<x 0<12. [C 拓展探究]15．讨论方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根的个数．解：将方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根个数问题转化为函数y ＝x 2－4|x |＋5的图像与直线y ＝m 的交点个数问题．作出函数y ＝x 2－4|x |＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x ＜0的图像，如图所示．由图像可以看出：①当m ＜1时，直线y ＝m 与该图像无交点，此时方程无解；②当m ＝1时，直线y ＝m 与该图像有2个交点，此时方程有2个实根；③当1＜m ＜5时，直线y ＝m 与该图像有4个交点，此时方程有4个实根； ④当m ＝5时，直线y ＝m 与该图像有3个交点，此时方程有3个实根；⑤当m ＞5时，直线y ＝m 与该图像有2个交点，此时方程有2个实根．。

分段函数、换元法求解析式

1. 函数表示法第二课时例2 2. 化简函数
y | x 5 | x 2 x 1 y 解：由题 y = | x + 5 | + | x －1 | 当 x ≤－5 时， y = －( x + 5 ) －( x －1 ) =－2x－4
2
当－5 ＜ x ≤ 1 时， y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6 当 x ＞1 时， y = ( x + 5 ) + ( x －1 ) = 2x + 4
解:函数解析式为
2, 0 x ≤ 5, 3, 5 x ≤ 10, y 4, 10 x ≤ 15, 5, 15 x ≤ 20.
y
5 4 3 2 1 O
5 10 15 20
x
有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．
O 5 10
20
30 t
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s).
求下列函数的解析式
【高考热点、重点】
x －1 1. y=kx+b经过点(1,0),(0,－1),则y = _______;
2. 求满足下列条件的二次函数 f (x) 的解析式:
顶点坐标为( 2,3 ),且图象经过(3,1)点,
2 2
x
f ( t ) t t 1, ( t 1).
即 f ( x ) x x 1, ( x 1).
例3. 已知f ( x 1) x 2 x , 求f ( x ).
解:设t x 1, 则 t ≥ 1,
2
x ( t 1) .
f ( t ) ( t 1) 2( t 1) t 1.

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专题二函数考点3 分段函数的4种求法【方法点拨】分段函数的4种求法1. 求函数值或解不等式：由自变量所属区间，选定相应的解析式求解.2. 求函数值域：分别求每一段的值域取并集.3. 求函数最值：分别求每一段的最值，然后比较大小.4.求参数的值(或参数范围)：分段处理，分类讨论，综合作答. 三、【高考模拟】1．已知函数()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()4f f =（）A ．-4B ．14-C ．14D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，先求()4f ，再求()2f -即可求解.【解析】由()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()42f ==-，所以()()()214224ff f -=-==. 故选：C2．已知函数(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，则(1)f =（）A ．3B ．6C ．15D ．12【答案】C 【分析】根据分段函数解析式代入计算即可；【解析】解：因为(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，所以()()()11233215f f =+=⨯+=故选：C3．已知函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()1f -=（）A ．12B ．2C ．14D ．18【答案】C 【分析】根据函数的解析式，代入计算，即可求解. 【解析】由题意，函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，可得()()()211113224f f f ⎛⎫-=-+=== ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1f -=（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数各段的定义域求解. 【解析】因为20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，所以()()()110122f f f -====，故选：C 5．已知5,6()(4),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（）A ．6-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【分析】利用解析式可有()()(1)37f f f -==，利用已有的解析式可得(1)f -的值. 【解析】由题设有()()(1)372f f f -===，故选：C.6．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()2f f =（）A ．26B ．17C ．8D ．-10【答案】B 【分析】利用分段函数的解析式，将自变量代入即可求解. 【解析】由21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2224f =-⨯=-，所以()()()()2244117ff f =-=-+=.故选：B7．已知函数()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()0f f =（）A ．4B ．16C ．32D ．64【答案】D 【分析】直接根据分段函数解析式代入计算可得；【解析】解：因为()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以()0022f =+=，()()()2226022264f f f +==== 故选：D8．已知1,(1)()3,(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（）A ．52 B ．32C ．92D ．12-【答案】B 【分析】先根据12所在区间计算出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果，然后再根据12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在区间计算出12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【解析】因为112≤，所以1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为312>，所以133332222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.9．设函数()()2221log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()0f f （）A ．0B ．3C ．1D ．2 【答案】C 【分析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案. 【解析】由题意得2(0)022f =+=，所以2((0))(2)log 21f f f ===，故选：C10．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（） A ．4a < B ．2a <C ．2a >D ．R【答案】A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【解析】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<；综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.11．已知函数24,2()25,2x x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（） A ．(),0-∞ B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解. 【解析】当2x ≤时，2()4f x x x =-+，由二次函数的性质可得()f x 单调递增且(](),4f x ∈-∞；若要满足题意，只需使()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，当2x >时，若0a >，则()()2545,f x ax a =-=-+∞，则454a -<，解得94a <，此时904a <<；若0a =，()5f x =-，符合题意；若0a <，则()()25,45f x ax a =-=-∞-，符合题意；综上，实数a 的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.12．已知()()()23200x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，方程()()2210f x f x +-=⎡⎤⎣⎦的根x 的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】画出函数的图象，求出22[()]()10f x f x +-=的根，结合函数的图象，求解即可．【解析】232(0)()(0)x x x f x x x ⎧-=⎨<⎩的图象如图：方程22[()]()10f x f x +-=，可得()1f x =-，或1()2f x =，由函数的图象可知：()1f x =-，有2个x 的值，1()2f x =，有一个x 的值，所以方程22[()]()10f x f x +-=的根x 的个数是3．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根问题，考查分段函数的图象，解决本题的关键点是先由关于()f x 的一元二次方程解出方程根()1f x =-或1()2f x =，再画出分段函数的图象可得与1y =和12y =的交点个数，即为根x 的个数，考查学生数形结合思想和计算能力，属于中档题． 13．已知函数()1,01,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若()()2f f a =，则（）A ．1a =±B ．1a =-C ．0a ≤D ．0a <【答案】C 【分析】分0a <，0a =，0a >三种情况求解即可【解析】当0a <时，()1f a =，得()()()12f f a f ==，当0a =时，()01f =，()()()12ff a f ==，成立，当0a >时，()1f a a =+，得()()()1112ff a f a a =+=++=，得0a =，不成立；所以0a ≤. 故选：C14．已知函数()22,1,,12,2,2,x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f a =，则a =（）A ．1 BC．D ．32【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程即可得出结果. 【解析】当1a ≤-时，由23a +=，得1a =，舍去；当1a 2-<<时，由23a =得a =a =当2a ≥时，由23a =得32a =舍去，综上，a =故选：B.15．已知函数()232,1,1x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若()()06f f a =，则实数a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】由函数解析式，先计算()0f 的值，然后将其代入，由此得到关于a 的方程，求解即可. 【解析】 (0)2f =2((0))(2)226f f f a a ==+=，解得：1a =故选：A 【点睛】方法点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()ff a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16．设f （x ）＝,012(1),1x x x x ⎧<<⎪⎨-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（）A ．14B ．54C ．14或54D ．2【答案】C 【分析】根据解析式分段讨论可求出. 【解析】解：∵(),012(1),1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a a <<⎧⎪⎨=⎪⎩或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ． 17．已知函()f x ={222,0,,0,x mx m x x m x -+≤+>，若()()12ff =，则实数m的值为（） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先求()11f m =+，分1m ≤-和1m >-，两种情况求()()1f f ，再计算实数m 的值.【解析】()11f m =+，当1m ≤-时，()10f ≤，此时()()()()()221112112f f f m m m m m =+=+-++=≠，故不成立；当1m >-时，()10f >，此时()()()()1112f f f m m m =+=++=，解得：12m =，成立. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数求自变量，本题的关键是求出()11f m =+后，需分两种情况，求实数m 的值.18．已知函数222,0,()1,0,x x f x x x ⎧->=⎨+⎩，若()2f a =，则a =（）A ．2B ．1C ．2或1-D ．1或1-【答案】C 【分析】分类讨论a ，代入解析式可解得结果. 【解析】当0a >时，()222af a =-=，解得2a =；当0a 时，2()12f a a =+=，解得1a =-．综上，2a =或1a =-．故选：C19．已知()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值是（）A ．0或2B ．4C ．1或4D ．1【答案】C 【分析】讨论()1f a ≤与()1f a >先计算()f a 的值；再讨论1a ≤与1a >计算a 值. 【解析】由()()1ff a =，当()1f a ≤时，有()21f a=，则()0f a = ；当()1f a >时，有()2log 1f a =，则()2f a = ；由()0f a =，当1a ≤时，有20a =，a 无解；当1a >时，有2log 0a =，1a =不符合；由()2f a =，当1a ≤时，有22a =，1a =；当1a >时，有2log 2a =，4a =；综上所述：1a =或4a = 故选：C20．已知函数()221,031,0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()()18f a f +-=，则实数a 的值是（） A ．52B ．213±或52 C．21或52D ．213-或52 【答案】D 【分析】分0a >和0a ≤两种情况求解【解析】解：当0a >时，因为()()18f a f +-=，所以2213(1)18a ++⨯--=，解得52a =，当0a ≤时，因为()()18f a f +-=，所以22313(1)18a -+⨯--=，解得21a =（舍去），或21a =-，综上52a =或213a =-，故选：D21．某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数()f x 可能是（）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()211f x x =+ 【答案】A 【分析】根据函数对称性及定义域，直接利用排除法求出结果. 【解析】选项A ：函数的图象的渐近线为 1x =或1x =-与原图象相符；选项B ：1x =-时，()111112-==--f 与原图不相符；选项C ：3x =时，函数无意义与原图不相符；选项D ：1x =时，()111112f ==+与原图不相符；故选：A22．函数图象如图，其对应的函数可能是（）A ．1()|||1|f x x =-B ．1()|1|f x x =-C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 【答案】A 【分析】根据定义域可排除BD ，根据()01f =可排除C. 【解析】由图可知()f x 的定义域为{}1x x ≠±，故BD 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.23．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()212x f x x -=⋅ B ．()212x f x x -=⋅C ．()()1)f x x x =⋅- D ．()221x f x x =-【答案】A 【分析】利用()10f >可排除CD ，利用奇偶性可排除B ，由此得到结果. 【解析】当1x =时，()10f >，CD 中的函数()10f =，可排除CD ；由图象关于原点对称可知()f x 为奇函数，A 中()()212x f x x f x --=-⋅=-，满足奇函数定义；B中()()221122x x f x x x f x ---=⋅-=⋅=，满足偶函数定义，可排除B.故选：A.24．已知函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，则a 的取值范围为___________. 【答案】122675a <≤ 【分析】令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，得到()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，结合函数()g x 和()h x 的图象，根据()f x 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值求解. 【解析】因为函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R ，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，解得22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩，所以()()()2,()()()()()()2,()()g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，其中()g x 过点()()0,0,,0a -，()h x 过点()()1,0,1,0-，因为2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，当0a -≤，即0a ≥时，3933916,1525552525g a h ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3355h g ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取到最小值，则2233g h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2335g h ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即425939a +>，且42169325a +≤，解得122675a <≤，当0a ->，即0a <时，242245,1393399g a h ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2233g h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，则3355g h ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3253g h ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即931625525a ->，且9352559a -≤，即715a <-，且44135a ≥-时，无解，综上：a 的取值范围为122675a <≤.故答案为：122675a <≤ 【点睛】关键点点睛：本题关键是由函数()f x 解析式的结构特征，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，将函数转化为()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，利用二次函数22(),()1g x x ax h x x =+=-的图象和性质求解.25．已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()f x 的最小值是a ，则a 的值为__________.【答案】4- 【分析】利用指数函数的单调性，可得0x ≥时，()f x 的最小值为1a +，由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，求得对称轴，可得224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得即可；【解析】解：当0x ≥时，()2xf x a =+在定义域上单调递增，所以()()01f x f a ≥=+即0x =时，()f x 的最小值为1a +；当0x <时，()22224a a f x x ax x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ 由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，即有02a<，所以0a <，则224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得4a =- 故答案为：4-26．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________．【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【解析】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a ∴<≤，21112[2,3)f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：[2,3). 【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值；（2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.27．已知函数21(),0()22,04x a x f x x x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[3,0)- 【分析】由二次函数的性质可得当04x 时，函数的值域刚好为[8-，1]，故只需1()2xy =-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，可得a 的不等式，结合指数函数的单调性可得．【解析】解：当04x 时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，图象为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，011()8,()122a ---当1x =时，函数取最大值1，当4x =时，函数取最小值8-，又函数()f x 的值域为[8-，1]，1()2xy ∴=-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，1()2x y =-，0a x <单调递增，∴只需0182112a⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得30a -<故答案为：[3,0)-．28．设函数()()222,0,21,0.x a a x f x x x a x ⎧--+≤⎪=⎨-++->⎪⎩若()0f 是()f x 的最大值，则a 的取值范围为__________．【答案】[)2+∞，【分析】由题可得要使()0f 是()f x 的最大值，只需满足020a a ≥⎧⎨-≤⎩即可.【解析】()0=0f ，当0x ≤时，()22y x a a =--+，对称轴为x a =，开口向下，当0x >时，221y x x a =-++-对称轴为1x =，开口向下，则此时在1x =取得最大值为2a -，要使()0f 是()f x 的最大值，则020a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得2a ≥，则a 的取值范围为[)2+∞，. 故答案为：[)2+∞，. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题及其应用，其中解答题中涉及到二次函数的图象与性质的应用，以及分段函数的最值问题的求解方法，此类问题解答的关键在于正确理解分段的性质，合理列出相应的不等关系式.29．函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】54a ≤ 【分析】根据分段函数的解析式，先求出1≥x 时，函数的值域；再求出1x <时，函数的值域；根据题中条件，即可得出结果. 【解析】由题意，当1≥x 时，()2f x x =-显然单调递减，则()(]2,1f x x =-∈-∞；当1x <时，()2f x x x a =++是开口向，对称轴为12x =-的二次函数，则()1124f x f a ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，又函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，所以只需114a -≤，解得54a ≤. 故答案为：54a ≤.30．设函数31,0,()1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()1f f 的值为______．【答案】1 【分析】先计算(1)f ，再计算()()1f f 可得．【解析】由题意(1)110f =-=，所以((1))(0)1==f f f ．故答案为：1．。