分段函数与复合函数
已知分段函数如何求复合函数
已知分段函数如何求复合函数分段函数是指定义域被分成若干个区间，每个区间内的函数表达式不同的函数。
而复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。
那么如何求解分段函数的复合函数呢？首先，我们需要明确复合函数的定义。
设函数f的定义域为A，值域为B，函数g的定义域为C，值域为D，且满足B⊆C，那么f和g的复合函数g(f(x))的定义域为{x∈A|f(x)∈B}，值域为{y∈D|y=g(x),x∈A,f(x)∈B}。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何求解分段函数的复合函数。
假设有以下分段函数：f(x) = {x+1, x<0; 2x, x≥0}g(x) = {x^2, x<1; x, x≥1}我们需要求解g(f(x))。
首先，我们需要确定g的定义域。
由于g(x)在x<1时定义域为(-∞,1)，在x≥1时定义域为[1,+∞)，而f(x)的取值范围为(-∞,1)，因此g(f(x))的定义域为(-∞,1)。
接下来，我们需要确定g(f(x))的表达式。
由于f(x)的取值范围为(-∞,1)，因此g(f(x))的表达式为：g(f(x)) = {f(x)^2, f(x)<1; f(x), f(x)≥1}将f(x)代入上式，得到：g(f(x)) = {(x+1)^2, x<0; 2x, x≥0且2x<1; x+1, x≥0且2x≥1}至此，我们已经求解出了分段函数的复合函数。
需要注意的是，在求解复合函数时，我们需要先确定复合函数的定义域，然后根据定义域确定复合函数的表达式。
同时，我们需要注意分段函数在不同区间内的函数表达式，以便正确地求解复合函数。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题1.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]【答案】D【解析】当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax，化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故选D.2.已知，则=__________.【答案】0.【解析】由题意.【考点】分段函数.3.对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y ＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_________ .【答案】【解析】由已知得则的图象如图.∵的图象与轴恰有两个公共点，∴与的图象恰有两个公共点，由图象知，或.【考点】分段函数的解析式求法及其图像的作法，数形结合思想.4.已知函数，设，若，则的取值范围是 .【答案】【解析】画出函数图象如图所示，由图象可知要使，同时成立，，,∴.【考点】1.函数图像；2.配方法求最值.5.设函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若直线与函数的图象恰好有3个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数的图象如图所示.直线恒过点由图可知，当时，它们恰好有3个不同的交点.故选B【考点】1、分段函数；2、图象的作法；3、直线的斜率；4、直线的点斜式方程6.函数的零点的个数（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】,显然有一个极值点.又，所以时，有两个零点.显然时，有一个零点.所以共有3个零点.【考点】1、分段函数；2、函数的零点.7.定义在上的函数，当时，，且对任意的,有，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；（Ⅲ）若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）令即可得证；（Ⅱ）令得，，由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0，故对任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先证明为增函数：任取x2>x1，则，，故，故其为增函数；然后利用单调性脱解一元二次不等式.试题解析：（Ⅰ）令，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 2分（Ⅱ）令则 f(0)=f(x)f(-x)∴ 4分由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴，又x=0时，f(0)=1>0 6分∴对任意x∈R，f(x)>0 7分(Ⅲ)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 8分∴∴f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数 10分f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0 ∴ 0<x<3 13分【考点】抽象函数、增函数的证明、一元二次不等式解法.8.已知：则f(f(5))等于( )A．－1B．1C．－2D．2【答案】B【解析】∵，，又，.【考点】求分段函数的函数值.9.已知以为首项的数列满足：(1)若，求证：;(2)若，求使对任意正整数n都成立的与.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）当时，满足题意的N*；当时，满足题意的N*．【解析】本题考查数列与函数的综合知识.第一问，将从3断开，分成两部分，分别求出的范围；第二问，分别验证每一种情况.试题解析：（1）当时，则，当时，则,故，所以当时，总有． 8分（2）①当时，，故满足题意的．同理可得，当或4时，满足题意的N*．当或6时，满足题意的N*．②当时，，故满足题意的k不存在．③当时，由（1）知，满足题意的k不存在．综上得：当时，满足题意的N*；当时，满足题意的N*． 16分.【考点】1.求分段函数的值域；2.恒成立问题；3.分类讨论思想.10.已知，若,则 .【答案】或【解析】因为，，所以，由得，或，，即则或.【考点】分段函数的概念11.已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（）A．≤＜0B．≤≤C．≤D．＜0【答案】B【解析】函数是R上的增函数，则单调递增，故它的对称轴，即，此时也单调递增，要保证在R上是增函数，只需在满足，即，综上所述的取值范围是．【考点】函数的单调性．12.已知函数，对于下列命题：①函数的最小值是0；②函数在上是单调递减函数；③若；④若函数有三个零点，则的取值范围是；⑤函数关于直线对称．其中正确命题的序号是____________________．（填上你认为所有正确命题的序号）．【答案】③④【解析】画出分段函数的图像，函数无最小值，在R上单调性不单一，故①②错误；③正确；有三个不同的交点，故，④正确；函数的图像是将的图像中轴下方的翻折上去，但在和的图像不对称，故⑤错误.【考点】分段函数、函数的单调性、函数的图像与性质、函数的对称性．13.已知函数(1)当时,求不等式的解集; (2)若的解集包含,求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】(1)当时,或或或(2)原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式恒成立问题。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数，则的值是（）A．4B．48C．240D．1440【答案】C【解析】因为，所以，故选C.【考点】分段函数求函数值的问题.2.设函数则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知函数可得，，故D为正确答案.【考点】分段函数求值.3.已知函数则______.【答案】【解析】由题可得．【考点】分段函数的求值．4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.已知函数，则的值是．【答案】【解析】因为，而，所以．【考点】本题考查的知识点是分段函数求函数值的方法，属基础题．6.已知函数，则( )A．0B．1C．-2D．-1【答案】B【解析】分段函数求函数时，要注意自变量的取值范围.。
【考点】分段函数.7.若函数，则=()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】复合函数求值由内向外的求解是关键,代入计算时注意不同的自变量对应的表达式,先计算，再计算,最后计算故选B【考点】分段函数的值．8.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.9.在上是减函数，则的取值范围是（）A．[B．[ ]C．( D．( ]【答案】A【解析】由于两段函数都是一次的形式，依题意减函数可以得，斜率小于零，即，另外(3-1)x+4在x=1的值不小于-x在x=1的值，即(3-1)+4a≥-,所以，综上.故选A.【考点】 1.分段函数的单调性的问题.2.处理分界点的函数值的大小.10.如图（1）四边形ABCD为直角梯形，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，ΔABP面积为f(x).若函数y=f(x)的图象如图（2），则ΔABC的面积为A．10B．16C．18D．32【答案】B【解析】观察图（2），可知，，，由平面几何的知识易求得，∴，选B.【考点】分段函数.11.已知则的值等于()．A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，，，.【考点】分段函数.12.函数满足: ,且,则【答案】【解析】本题给出的函数是一个递归式，可以按照原来函数的样子递归到1，再回推出4。
分段函数与复合函数
例题与练习
x + 2 ( x ≤ −1) 2 (−1 < x < 2) 例1 已知函数 f ( x) = x 2 x ( x ≥ 2)
1 1 （1）求 f (2), f ( ), f ( f ( − )) 的值。 2 2
（2） f (a ) = 3，求a的值。 ，求a
4
例题与练习
有些函数在它的定义域中, 有些函数在它的定义域中,对于自变 的不同取值范围,对应法则不同, 量 x的不同取值范围,对应法则不同, 这样的函数通常称为分段函数. 这样的函数通常称为分段函数.
注意
1.分段函数是一个函数,不要把它误 分段函数是一个函数, 分段函数是一个函数 认为是几个函数. 认为是几个函数. 2.写分段函数的解析式 写分段函数的解析式, 2.写分段函数的解析式,在注明定义 域时,一定注意“上一段” 域时,一定注意“上一段”与“下一 的定义域不能有重叠部分. 段”的定义域不能有重叠部分. 3
6
例题与练习
例3 已知函数 f ( x) = x + 1, g ( x) = x + 1
2
求函数 f ( x − 1), 的解析式。
f ( f ( x)), f ( g ( x)), g ( f ( x))
7
例题与练习
例4 已知函数 f ( x + 1) = x + 3 x + 4
2
求函数
f ( x), f ( x − 1) 的解析式。
例2 已知函数
1, ( x ≥ 0) f ( x) = −1, ( x < 0)
的解集。
求不等式
xf ( x) + x ≤ 2
5
复合函数 引例 已知 f ( x) = x + 1, 求 f (2), f ( a ) 的值。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设，求的值。
【答案】【解析】先求出来，再由求出，一定要注意定义域选择好解析式．又，而【考点】分段函数的求值2.已知函数,若,则实数的值为 .【答案】【解析】当时，则有，解得或（舍去）；当时，则有，解得，所以．【考点】分段函数的求值．3.已知函数的定义域为集合.（1）若函数的定义域也为集合，的值域为，求；（2）已知,若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对数定义域真数大于零求定义域，有真数范围，求值域；（2解不等式（注意移项通分）化分式不等式为整式不等式，，对大小关系分三类讨论，再分别求满足的值.试题解析：（1）由，得，， 2分， 3分当时，，于是，即， 5分，。
7分（2））由，得，即． .8分当时，，满足； 9分当时，，因为，所以解得， 11分又，所以；当时，，因为，所以解得，又，所以此时无解； 13分综上所述，实数的取值范围是． 14分【考点】1.函数定义域值域；2.分类讨论思想；3.集合运算.4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.6.已知函数，则【答案】【解析】假设，则，所以=，即.【考点】本题考查的是复合函数的知识点，本题的解法是常用的思维方式，要切记.7.已知 (且)在上是的减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】是定义域内的减函数，又是定义域内的增函数，由复合函数的单调性知(且)在定义域内单调递减，所以对于此题只需恒成立，即恒成立，，，又所以.故选B.【考点】复合函数的单调性8.函数，则（）A．５B．４C．３D．２【答案】D【解析】，所以答案选.【考点】分段函数的求值9.如果函数f(x)的定义域为，且f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y)。
（1）证明：；（2）已知f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围。
初高中衔接课(第二期)----第1节分段函数、复合函数
初高中衔接课——函数第一讲 分段函数、复合函数【分段函数、复合函数】1.分段函数：有些函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围对应关系不同，这种函数称为分段函数．分段函数三句话：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；（3）分段函数的值域也是各段函数值域的并集．2.复合函数：若y 是u 的函数，u 是x 的函数，则称y 是x 的复合函数. 记)(u f y =，)(x g u =，则复合函数应记为))((x g f y =. 【例题】函数xx x y ||+=的图象为下图中的（ ） A.B. C. D.【例题】（1）已知1)(2++=x x x f ，则=)2(f __________；=)]2([f f __________.（2）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=1,21,1)(22x x x x x x f ，求值=)2(f __________；=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)2(1f f __________.【练习】设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 的值为（ ） A.1B.0C.-1D.π【练习】已知⎩⎨⎧≤+>=0),1(0,)(2x x f x x x f ，则)2()2(-+f f 的值为（ ）A.6B.5C.4D.2【练习】设()()()⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值是（ ） A.1+πB.0C.πD.-1【练习】设()()⎩⎨⎧<+≥-=10)],6([10,2)(x x f f x x x f ，则)5(f 的值为（ ） A.10B.11C.12D.13【例题】设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ，若4)(=a f ，则实数=a （ ）A.4-或2-B.4-或2C.2-或4D.2-或2【练习】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,222,2,2)(2x x x x x x x f ，若8)(=a f ，则=a __________.【练习】设()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,1)(2x x x x x f ，则使得1)(=m f 成立的m 的值是（ ） A.10B.0，10C.0，-2，10D.1，-1，11【例题】设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.()()∞+-，31,3B.()()∞+-，21,3C.()()∞+-，31,1D.()()313,， -∞-【练习】已知⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f ，则不等式2)(≤+x x xf 的解集是__________.【练习】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=1,31,1)(x x x x x f ，且不等式1)(≥x f 的解集是__________.【练习】已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式()()113≤+-+x f x x 的解集是__________.【刷题训练】【练习】设()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,2)(2x x x x x x x f ，若3)(=x f ，则x 的值为（ ）A.1或23B.3±C.23或3±D.3【练习】已知函数⎩⎨⎧≥+<+=1,1,23)(2x ax x x x x f ，若a f f 4)]0([=，则实数a 等于（ ） A.21B.54C.2D.9【练习】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,1)(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的x 的取值范围为（ ）A.(][]10,02 -∞-，B.(][]1,02 -∞-，C.(][]10,12 -∞-，D.[][]10,10,2 -【练习】已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=0,10,1)(x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（） A.[]121--，B.(]1，∞-C.(]12-∞-，D.[]1212---，；|)(|x f y =【练习】已知⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=3,393,)(22x x x x x a x f 在点3=x 处连续，则常数a 的值为__________.【练习】已知函数[][]⎩⎨⎧-∉-∈=1,1,1,1,2)(x x x x f ，若2))((=x f f ，则x 的取值范围是（ ） A.∅B.[]1,1-C.()()∞+-∞-，，11D.[]1,1}2{-【数形结合解决函数问题】一、图象的画法（1）描点法为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的草图或较为精确的图象.作图通常有列表、 描点、连线三个步骤：①列表.先找出一些有代表性的自变量值x ，并计算出与这些自变量相对应的函数值)(x f ，用表格的形式表示出来；②描点.从列表中得到一系列的点())(x f x ，，在坐标平面上描出这些点；③连线.用平滑曲线把这些点按照自变量由小到大的顺序连接起来；作出更精确的图象，常常需要描出更多的点.（2）变换作图法（利用基本函数的图象）①平移：)(x f y = 个单位长度向右平移a )(a x f y -=；)(x f y = 个单位长度向上平移b b x f y +=)(；②对称：)(x f y = 轴对称关于x )(x f y -=；)(x f y = 轴对称关于y )(x f y -=；)(x f y = 关于原点对称 )(x f y --=；③其他：)(x f y =轴对称到上方轴下方图象关于轴上方图象，再把保留x x x。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设集合A=，函数，当且时，的取值范围是。
【答案】【解析】,解得,【考点】分段函数2.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.3.设，则f（6）的值( )A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】.【考点】分段函数的函数值.4.已知函数.若，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，，∴；当时，，∴，综上所述的取值范围是.【考点】1、分段函数；2、一元二次不等式的解法.5.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，函数的最大值是，所以要使得不等式存在实数解，则，解得或.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.解不等式6.已知函数，则= .【答案】【解析】这是分段函数的函数值计算问题，计算时一定要分清楚自变量的范围．．【考点】分段函数．7.,则 .【答案】【解析】,.【考点】分段函数求值.8.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.9.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为( )A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】画出函数的图像如图.将的值代入解析式，然后画出图像，可知符合题意 .【考点】1.分段函数；2.数形结合.10.已知函数，则满足方程的所有的的值为 .【答案】0或3【解析】当时，，解得；当时，，解得.综上.【考点】1.分段函数；2.指数、对数函数的求值11.已知函数的图像在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时在[-1，2]上的最大值为2，当时在[-1，2]上的最大值为；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由题意先对时的函数进行求导，易得，解得；（Ⅱ）因为函数为分段函数，要求在区间上的最大值，需分别求区间和上的最大值，当时，应对函数进行求导，求函数的单调性，从而求区间上的最大值；当时，应对函数分两种情况讨论，可得结论；（Ⅲ）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，得的范围是.试题解析：（I）当时，因为函数图象在点处的切线方程为，所以切点坐标为且解得. 4分（II）由（I）得，当时，令，可得或在和上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为，当时，,当时，恒成立此时在[-1，2]上的最大值为；当时在[1，2]上单调递增，且，令则，所以当时在[-1，2]上的最大值为，当时在[-1，2]上的最大值为，综上可知，当时在[-1，2]上的最大值为2，时当时在[-1，2]上的最大值为. 9分（III）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，即此方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，令由于函数的值域是所以实数的取值范围是 14分【考点】1、分段函数；2、利用导数求函数的单调性及最值；3、函数与导数的综合应用.12.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于复合函数的定义域为，即，所以，故函数的定义域为，故选C.【考点】复合函数的定义域13.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】当时，，此时函数单调递减，则有，，当，，此时，则函数在上单调递增，，即，故函数在上的值域为，，所以，所以，由于，，，故有或，解得.【考点】1.函数的值域；2.存在性命题14.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.15.某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A．608元B．574.1元C．582.6元D．456.8元【答案】C【解析】根据题意，应付款付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480（元）.故两次购物的标价为176+480=656（元）.500×0.9+（656-500）×0.85=582.6(元).【考点】分段函数.16.设函数，若是奇函数，则 .【答案】2【解析】依题意，由于是奇函数，，.【考点】分段函数，函数的奇偶性.17.已知.①若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；②若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数，求实数m的取值范围.【答案】① ;②.【解析】①根据复合函数中的对数函数和二次函数的图像和性质解题确定m的取值；②由复合函数的性质，结合二次函数的图像解题，判断区间端点与对称轴的位置关系，注意复合函数单调性的判断是本题的关键.试题解析：①设,要使得函数的值域为R，则能取遍所有的正数, 2分则有, 4分解得; 6分②函数的底数是，那么若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数,函数在区间上是减函数, 8分则有, 10分解得. 12分【考点】复合函数的性质，对数函数和二次函数的图像和性质的应用.18.已知函数则______.【答案】【解析】 , ,所以.【考点】分段函数求函数值.19.设函数则关于x的方程的根的情况，有下列说法：①存在实数k，使得方程恰有1个实数根②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根其中正确的是（）A．①③B．①②C．②④D．③④【答案】B【解析】因为所以，当时，，，所以当时，关于x的方程的恰有一个实根，则①正确.当时，，所以当时，关于x的方程的恰有2个不相等实根，则②正确；③④错误.【考点】分段函数，方程的根的判断.20.已知函数，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是【考点】分段函数的意义、解不等式.21.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】排除法：令，则不等式变为，又因为函数是定义在R上的偶函数，所以有，成立，故排除B；令，则不等式变为，即，，而已知函数在区间单调递增，所以不成立，排除A、D，故选C.【考点】本小题主要考查抽象函数的性质（单调性、奇偶性）等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力.3)＝22.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log2 A．B．C．D．【答案】A.3)＝，【解析】因为，所以f(2＋log2又，所以.【考点】分段函数的应用．点评：本题考查分段函数求值及指数对数的性质，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．23.已知函数若，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出该分段函数的简图可知，该函数在R上单调递增，所以.【考点】本小题主要考查函数单调性的应用和一元二次函数的解法.点评：解决此类问题，关键是求出已知函数的单调性，而分段函数不论分成几段，始终是一个函数.24.若且，在定义域上满足，则的取值范围是（）A．（0,1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]【答案】B【解析】根据分段函数单调性是增函数，则说明每一段都是增函数，同时在x=0处的函数值，3a ,故可知，同时要满足,然后求其交集得到为[，1），故选B.【考点】函数单调性点评:解决的关键是理解已知中表示的含义是说函数在定义域内是递增的，属于基础题。
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分段函数1.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=22. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-14【答案】B【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确.3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或5.若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
6.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____。
[解析] 考查分段函数的单调性。
2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞ 【答案】A【解析】由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。
当0<x ，3,36-==+x x故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。
以及一元二次不等式的求解 8.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数取函数()2xf x -=。
当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为【 C 】 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ 解: 函数1()2()2xx f x -==，作图易知1()2f x K ≤=⇒(,1][1,)x ∈-∞-+∞U ， 故在(,1)-∞-上是单调递增的，选C.9.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.【答案】[]3,1-【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩.（2）由001|()|01111133333x xx x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 10.设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是（ ）A.(][)+∞-∞-,11,YB.(][)+∞-∞-,01,YC.[)+∞,0D. [)+∞,1C.答案:C.11.已知(3103(1)()log (1)xa a x a x f x x -+ ≤⎧⎪=⎨ >⎪⎩，是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是__________12.函数2225(0)()0(0)25(0)x x x f x x x x x ⎧-+ >⎪= = ⎨⎪--- <⎩的奇偶性是_______________13.若数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪- ≤<⎪⎩ ，且167a =，20a =________14.设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧- ≤⎪=⎨⎪ >⎩ ，若0()1f x >，则0x 的取值范围是_____________(-∞，-1)∪（1，+∞）15.函数22,0()(),0x x x f x g x x ⎧-≥=⎨ <⎩ 为奇函数，则()g x =_______________16.函数221,(01)()1,0)x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+ (<⎩ 的反函数是_______________17. 函数21,(1)()1,1)x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨ (>⎪⎩ 值域是______________18. 函数(0)()0(0)(0)x f x x x 1 >⎧⎪= =⎨⎪-1 <⎩,若2()(1)(1)g x x f x =--，且11()()(4)y g x y g x y g --===-的反函数为，则=_____________解析 12(4),()4(1)(1)4g a g a a f a --==---=-令则，有玩转函数第十招第10招：玩转分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。
分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 一、分段函数的定义域和值域分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x 的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
例1求函数4,23,0123,10x x y x x x x -+>⎧⎪=+<≤⎨⎪+-≤≤⎩的定义域和值域二、分段函数的求值在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式例1、（辽宁理）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________2、（2006山东）设1232(2),()(1)(2).log x x f x x e x-⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则[(2)]f f = A.0 B.1 C.2 D.3AD 3、 已知=)(x f ⎩⎨⎧ －log 3(x + 1)(x>6)3x －6(x ≤6)，若记)(1x f-为)(x f 的反函数，且),91(1-=fa 则=+)4(a f .4 、设222(1),()1(1).1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩ 则1[()]2f f = ( ） A.12 B.413 C.95- D.25415、 已知sin (0),()(1)1(0).x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则1111()()66f f -+的值为 .三、分段函数的单调性例（2006北京理）、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)7四、分段函数的图象 1.作出函数()1y x x =+的图象2. 函数ln |1|xy ex =--的图象大致是 （ ）反2006卷）函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反年安徽函数是（ ）A．,020x x y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=< C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩六、分段函数的解析式1、在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y = 和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再 沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两 条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式）A ．22,10,()2,0 2.2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩B ．22,10,()2,0 2.2x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩C ．22,12,()1,2 4.2x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩D ．26,12,()3,2 4.2x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩2、（2006年上海春卷）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .3、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x>=-+时求f(x)的解析式.七、分段函数的最值(2005上海高考题)对定义域分别是,fgD D的函数(),()y f x y g x ==.规定：函数()(),,()(),(),f gf g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∈∉⎪⎩当且当且当且（I ）若函数21(),()1f xg x x x ==-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的最大值； 八、分段函数的奇偶性 判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性九、与分段函数有关的不等式问题1、设函数2(1).(1)()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________2已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________3、（山东理）设f(x)= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、 设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 十、分段函数与方程的根1、.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>12、设定义为R 的函数lg 1,1,()0,0.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. 0b <且0c > B. 0b >且0c < C. 0b <且0c = D. 0b ≥且0c = 3、设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)f x -=(7)f x +，且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论.十二、开放性自义分段函数1. 定义在R 的任意函数()f x ，都可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，如果()lg(101)xf x =+，那么 （ ）A.()g x x =，()lg(10102)x x h x -=++ B. 1()[lg(1010]2x g x x =++，1()[lg(101)]2x h x x =+-C. (),()lg(101)22x x x g x h x ==+-D. (),()lg(101)22x x xg x h x =-=++.七、答案（I ）(23)(2)(1),()2(1).x x x h x x x -+-≥⎧=⎨-<⎩（II ）18九、1（答：(,2][0,10]-∞-U ）；2（答：3(,]2-∞）浅析复合函数的定义域问题一、复合函数的构成设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。