复合函数定义域、分段函数、映射
1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
y ar cosh x
在 [1,) 内单调增加.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
当( x ) 1时,
x 1;
或 x 0, ( x ) x 2 1,
数学分析
2 或 x 0, ( x ) x 1 1,
1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
y
y tan x
y tan x的性质：
•周期为的周期函数 •无界函数：
lim tan x
x 0 2
y tan x
lim
x 0 2
tan x
2
O
2
x
•渐进线：x •特殊值：
tan(k ) 0 k 0,1,2,.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
（3）.对数函数
y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
数学分析
y
1-4复合函数,反函数,初等函数
1
2
y sin x
3 2
复合函数的性质与图象
复合函数的性质与图象深圳中学 许苏华中学数学教材中会系统介绍一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象与性质，但不会系统讲述形如的图象与性质，其中和是基本初等函数，我们称或为复合函数.对于复合函数，我们称对应的为外函数，为内函数.此文中的外函数和内函数也有非基本初等函数的，即不是中学数学教材中系统介绍的基本初等函数.由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数，与基本初等函数一起，统称为初等函数.与复合函数有关的数学题会经常出现在我们面前，而且难度较大，为了使得我们不再畏惧，也使得我们解题能力、数学核心素养都得以提升，因此把复合函数及其相关难点加以研究，是非常必要的，也是非常有价值的.类比于教材研究基本初等函数的过程，我们尝试理清复合函数的图象与性质.当一个函数图象是我们见过的或者容易用描点法画出来的时候，我们可以先研究函数图象，再研究函数性质.当一个函数图象没有见过时，或者很难通过几个点完整画出来时，其实我们可以先研究函数性质，通过其性质还原其图象，再根据图象，猜想并证明新的性质.研究复合函数的图象与性质，我们可采取第二种路径.选择几个最简的最美的基本初等函数，如、、，用于复合，以期以点带面.，两个基本初等函数复合竟然是一个更简单的基本初等函数，因此后面我们只研究、、和这四个及其类似的复合函数.一、函数的性质与图象1. 定义域和值域(())y f g x =()y f x =()y g x =(())y f g x =(())y g f x =(())y f g x =()y f x =()y g x =ln y x =x y e =22y x x =+ln ln x x y e e x ===2ln(2)y x x =+()2ln 2ln y x x =+22x x y e +=22x x y e e =+2ln(2)y x x =+内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.要使复合函数的解析式有意义，则，从而求得复合函数的定义域为，值域为.如果内函数为，定义域是，值域则为，可见此时值域是外函数定义域的真子集，因此复合函数始终有意义，则复合函数的定义域依然是，值域为.如果内函数为，定义域为，值域与外函数定义域是相等集合，因此复合函数的定义域为，值域为. 通过上述三个例子，可以发现内函数的定义域决定了内函数的值域，内函数的值域与外函数的定义域决定了复合函数的定义域，再由复合函数的定义域决定复合函数的值域.2. 奇偶性复合函数的定义域为，定义域没有关于原点对称，因此该复合函数为非奇非偶函数.复合函数的定义域为，也是非奇非偶函数.虽然复合函数的定义域是，记，则，则不是奇函数，，举特殊值可以发现并不恒成立，所以也不是偶函数，因此复合函数亦是非奇非偶函数.难道就没有外函数是的复合函数是奇函数或者偶函数吗？形如22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+220x x +>(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞[ln 2,)+∞y =(0,)+∞(0,)+∞ln y x=lny =(0,)+∞(,)-∞+∞2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U lny =(0,)+∞2ln(23)y x x =++(,)-∞+∞2()ln(23)h x x x =++(0)0h ≠2()ln(23)h x x x -=-+()()h x h x -=2ln(23)y x x =++ln y x =的复合函数，其中，或者，易证此复合函数为偶函数.形如的复合函数，利用对数的运算性质化简，并记为，易证，因此复合函数为奇函数.证明一个函数是奇函数或偶函数，首先要说明定义域是关于原点对称，再证明在定义域内，对于任意，都有或，则是偶函数或奇函数.如果证明一个函数是非奇非偶函数，则首先判断定义域是否关于原点对称，如果不是，则为非奇非偶函数.如果定义域关于原点对称，则可以举反例，说明并不恒成立，或者直接证明.3. 单调性我们再来研究复合函数的单调性，它的定义域为，内函数在上单调递减，在上单调递增，而外函数在整个定义域内单调递增，根据众所周知的“同增异减”，因此在上单调递减，在上单调递增. 为什么“异减”？令，由在上单调递减可知，又由在整个定义域内单调递增可知，因此在上单调递减.内函数递减时，外函数递增，复合函数递减，因此“异减”.为什么“同增”？令，由在上单调递增可知，又由在整个定义域内单调递增可知，因此在上单调递增.内函数递增时，外函数递增，复合函数递增，因此“同增”.判断复合函数单调性的“同增异减”法，其实都可以用定义法解释.如果能够2ln()y ax c =+0ac <00a c >>且2ln(1)x y x =+2()ln(1)h x x x =+()()h x h x -=-2()ln(1)h x x x =+()f x x ()()f x f x -=()()f x f x -=-()f x ()()f x f x -=±()()0f x f x -±≠2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U 22y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞ln y x =(0,)+∞2ln(2)y x x =+(,2)-∞-(0,)+∞122x x <<-22y x x =+(,2)-∞-221122220x x x x +>+>ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +>+2ln(2)y x x =+(,2)-∞-120x x <<22y x x =+(0,)+∞221122022x x x x <+<+ln y x =(0,)+∞221122ln(2)ln(2)x x x x +<+2ln(2)y x x =+(0,)+∞用定义法证明复合函数单调性，并能用“同增异减”法直接说明复合函数单调性，这样才是知其然知其所以然.4. 图象通过上述研究发现，复合函数的定义域为，值域为，非奇非偶函数，在上单调递减，在上单调递增.再根据几个特殊值、1的正负性，以及当自变量由大到小靠近于0时，或者当由小到大靠近于时，函数值都趋于，由此可以判断出函数图象大致如下图图1所示：图1至此，复合函数的性质与图象，我们基本理清楚.而且我们还发现，该函数图象关于直线自对称.二、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.因此复合函数的定义域为，值域也是. 如果内函数为，相当于的图象在平面直角坐标系中向下2ln(2)y x x =+(,2)(0,)-∞-+∞U (,)-∞+∞(,2)-∞-(0,)+∞3-x x 2-y -∞2ln(2)y x x =+1x =-()2ln 2ln y x x =+ln y x =(0,)+∞(,)-∞+∞22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞[1,)-+∞ln 100y x =-ln y x =平移了100个单位得到的图象对应的函数，可见的定义域依然为，值域依然为.那么复合的定义域依然为，值域依然是.如果内函数为，相当于的图象在平面直角坐标系中向左平移了2个单位得到的图象对应的函数，易得的定义域为，值域则依然为.那么复合的定义域为，值域则依然是.综上，可以发现，只要内函数的值域为，那么该类复合函数的值域就是，定义域则与内函数的定义域相同.2. 奇偶性因为复合函数的定义域为，所以为非奇非偶函数.对于任何一个非奇非偶函数，其实我们都很容易把它改造成偶函数，比如对解析式中的所有加绝对值符号，即此时函数为.其实，我们也很容易把它改造成奇函数，比如这个分段函数 3. 单调性内函数整个定义域内单调递增，外函数在上单调递减，在上单调递增，此时根据“同增异减”，你或许一头雾水.令（内函数因变量等于外函数的单调区间分界值），解得，其实我们可以考虑和这两个区间.当时，则ln 100y x =-(0,)+∞(,)-∞+∞2(ln 100)2(ln 100)y x x =-+-(0,)+∞[1,)-+∞ln(2)y x =+ln y x =ln(2)y x =+(2,)-+∞(,)-∞+∞2(ln(2))2ln(2)y x x =+++(2,)-+∞[1,)-+∞(,)-∞+∞[1,)-+∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞x 2(ln )2ln y x x =+22(ln )2ln ,0,0,0,(ln())2ln(),0.x x x y x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪----<⎩ln y x =(0,)+∞22y x x =+(,1)-∞-(1,)-+∞ln 1x =-1x e =1(0,)e 1(,)e +∞1210x x e<<<，则，因此复合函数在上单调递减.此时内函数为增函数，外函数为减函数，则“异减”.当时，则，则，复合函数在上单调递减.内函数为增函数，外函数为增函数时，则“同增”.用“同增异减”法判断此类复合函数的单调性时，需要注意复合函数的定义域，以及内函数的值域与外函数的单调区间的对应.4. 图象复合函数的定义域为，值域是，在上单调递减，在上单调递减.并根据几个特殊值，1对应的函数值，以及当自变量由大到小靠近于0时，函数值趋于，由此确定复合函数的图象如下图图2所示：图2可以发现复合函数的图象是个非常漂亮的“V ”字.12ln ln 1x x <<-221122(ln )2ln (ln )2ln x x x x +>+()2ln 2ln y x x =+1(0,)e121x x e<<121ln ln x x -<<221122(ln )2ln (ln )2ln x x x x +<+()2ln 2ln y x x =+1(,)e +∞()2ln 2ln y x x =+(0,)+∞[1,)-+∞1(0,)e1(,)e +∞1ex y +∞()2ln 2ln y x x =+()2ln 2ln y x x =+三、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.复合函数的定义域为，值域为. 如果内函数改为，定义域依然为，值域为.复合函数的定义域仍为，值域为.如果内函数为，定义域为，值域为.复合函数定义域为，值域则为.综上，外函数为的复合函数的定义域，和内函数的定义域相同，并由内函数的值域决定复合函数的值域.2. 奇偶性复合函数的定义域为，现在还不能确定是否为非奇非偶函数.但是根据上述值域的确定过程中发现，当时，复合函数取得最小值，可见复合函数的图象不可能关于轴对称，也易发现没有关于原点中心对称，因此它为非奇非偶函数.对于复合函数，因为定义域为，且，所以为偶函数.对于复合函数，由可知，为非奇非偶函数. 综上，外函数为的复合函数的奇偶性，和内函数的奇22x x y e +=22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞x y e =(,)-∞+∞(0,)+∞22x x y e +=(,)-∞+∞1[,)e+∞223y x x =++(,)-∞+∞[2,)+∞223x x y e ++=(,)-∞+∞2[,)e +∞y =(0,)+∞(0,)+∞y =(0,)+∞(1,)+∞x y e =()g x y e =()y g x =()g x y e =22x x y e +=(,)-∞+∞1[,)e+∞1x =-22x xy e +=22x x y e +=y 2x y e =(,)-∞+∞22()x x e e -=2x y e =3x y e =33()1x x e e -=3x y e =x y e =()g x y e =()y g x =偶性存在关联，如果内函数是偶函数，那么复合函数是偶函数，如果内函数不是偶函数，则复合函数则为非奇非偶函数.3. 单调性外函数是增函数，而内函数在上单调递减，在上递增.对于复合函数，我们讨论和两个区间上的单调性.令，则，则，因此在上单调递减.这里外函数是增函数，内函数是减函数，根据“异减”，则复合函数为减函数.令，则，则，因此在上单调递增.这里外函数是增函数，内函数是增函数，根据“同增”，则复合函数为增函数.4. 图象由上述分析知复合函数的定义域为，值域为，可以发现图象与轴没有交点.在上单调递减，在上单调递增.同时当时，.可以确定图象如下图图3所示.()y g x =()g x y e =()y g x =()g x y e =x y e =22y x x =+(,1)-∞-(1,)-+∞22x x y e +=(,1)-∞-(1,)-+∞121x x <<-221122221x x x x +>+>-221122221x x x x e e e ++->>22x x y e +=(,1)-∞-121x x -<<221122122x x x x -<+<+221122221x x x x e e e ++-<<22x x y e +=(1,)-+∞22xx y e +=(,)-∞+∞1[,)e +∞x 22x x y e +=(,1)-∞-(1,)-+∞0x =1y=图3根据复合函数的图象，我们还能猜想并证明直线是其图象的对称轴.该图象而且很像一个“U ”字.四、函数的性质与图象1. 定义域和值域内函数的定义域为，值域为.外函数的定义域为，值域为.复合函数的定义域为，值域为.2. 奇偶性，因此复合函数为非奇非偶函数. 3. 单调性内函数是增函数，外函数在上单调递增，那么在当然也单调递增，根据“同增”，从而复合函数为增函数.4. 图象根据前面的性质分析，可以得到如下图图4所示的图象：22x x y e +=1x =-22x x y e e =+x y e =(,)-∞+∞(0,)+∞22y x x =+(,)-∞+∞[1,)-+∞22x x y e e =+(,)-∞+∞(0,)+∞22122x x x x e e e e--+=+22x x y e e =+x y e =22y x x =+(1,)-+∞(0,)+∞22x x y e e =+图4研究复合函数的值域，也就是研究它的最大值和最小值，如果最大值不存在，或最小值不存在，那么值域对应着开区间或者无穷大.求得复合函数的定义域和值域，要考虑内外函数的定义域和值域.确定奇偶性要根据函数的定义域是否关于原点对称，以及在定义域关于原点对称的情况下，对于定义域中任意都有或者，来判断是否偶函数、奇函数还是非奇非偶函数.对于单调性，首先要确定所有的单调区间，这里依据内函数单调区间的边界值，以及内函数函数值与外函数单调区间边界值相等，求得新边界值，根据所有边界值，对复合函数的定义域进行划分，然后依据“同增异减”法或者定义法，判断或证明单调性.根据定义域和值域，奇偶性，单调性，以及特殊点的坐标，从而较为准确地确定复合函数的图象，再根据图象，猜想并证明一些新的结论性质.x (())(())f g x f g x -=(())(())f g x f g x -=-11。
基本初等函数 复合函数 双曲函数 反双曲函数的定义
（一）函数的定义 （二）极限的概念
（三）连续的概念
基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 隐函数
函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
Байду номын сангаас
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数 x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
1
o
1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
1
y x [ x]
y
称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数; y
y x
y x
3
o
o
x
偶函数
x
奇函数
(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1 x2，当 x1 x2时，恒有： 及 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 y
cosh x sinh x 1 ; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
已知分段函数如何求复合函数
已知分段函数如何求复合函数分段函数是指定义域被分成若干个区间，每个区间内的函数表达式不同的函数。
而复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。
那么如何求解分段函数的复合函数呢？首先，我们需要明确复合函数的定义。
设函数f的定义域为A，值域为B，函数g的定义域为C，值域为D，且满足B⊆C，那么f和g的复合函数g(f(x))的定义域为{x∈A|f(x)∈B}，值域为{y∈D|y=g(x),x∈A,f(x)∈B}。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何求解分段函数的复合函数。
假设有以下分段函数：f(x) = {x+1, x<0; 2x, x≥0}g(x) = {x^2, x<1; x, x≥1}我们需要求解g(f(x))。
首先，我们需要确定g的定义域。
由于g(x)在x<1时定义域为(-∞,1)，在x≥1时定义域为[1,+∞)，而f(x)的取值范围为(-∞,1)，因此g(f(x))的定义域为(-∞,1)。
接下来，我们需要确定g(f(x))的表达式。
由于f(x)的取值范围为(-∞,1)，因此g(f(x))的表达式为：g(f(x)) = {f(x)^2, f(x)<1; f(x), f(x)≥1}将f(x)代入上式，得到：g(f(x)) = {(x+1)^2, x<0; 2x, x≥0且2x<1; x+1, x≥0且2x≥1}至此，我们已经求解出了分段函数的复合函数。
需要注意的是，在求解复合函数时，我们需要先确定复合函数的定义域，然后根据定义域确定复合函数的表达式。
同时，我们需要注意分段函数在不同区间内的函数表达式，以便正确地求解复合函数。
第1讲 函数的定义域、解析式及分段函数 - 学生版
D．[－1,1)∪(1,2 015] )
5.若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4]
角度 3：已知定义域求参数问题 【例】 （1）若函数 f(x)＝
x 2 2ax a 的定义域为 R，则 a 的取值范围为________．
3．若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋b 的值为________． 题型 2 函数解析式的求法
求函数解析式的常见方法 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根 据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可 已知 f(h(x))＝g(x)， 求 f(x)时， 往往可设 h(x)＝t， 从中解出 x， 代入 g(x)进行换元， 求出 f(t)的解析式，再将 t 替换为 x 即可 已知 f(h(x))＝g(x)， 求 f(x)的问题， 往往把右边的 g(x)整理构造成只含 h(x)的式子， 用 x 将 h(x)替换 已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 f(－ 函数方程法 1 x )， f x ， 则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组， 通过解方程组求出 f(x)
)
fx2－1 （2）已知函数 y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数 g(x)＝ 的定义域为________． 2－log2x＋1
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【对应训练】 1．(2017·唐山模拟)已知函数 f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝f 是________． 2.已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数 f(x＋2)的定义域为________，值域为 ________． 1 ，2 3.若函数 y＝f(2x)的定义域为 2 ，则 y＝f(log2x)的定义域为________． fx＋1 4.若函数 y＝f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数 g(x)＝ 的定义域是( x－1 A．[0,2 015] B．[0,1)∪(1,2 015] C．(1,2 016] f2x 的定义域是( ln x D．(0,1) ) x＋ 1 1 x－ ＋ f 2 2 的定义域
复合函数定义
复合函数定义：设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函间变量,y为因变量（即函数）。
生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
定义域若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
周期性设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）增减性依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。
即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。
初高中衔接课(第二期)----第1节分段函数、复合函数
初高中衔接课——函数第一讲 分段函数、复合函数【分段函数、复合函数】1.分段函数：有些函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围对应关系不同，这种函数称为分段函数．分段函数三句话：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；（3）分段函数的值域也是各段函数值域的并集．2.复合函数：若y 是u 的函数，u 是x 的函数，则称y 是x 的复合函数. 记)(u f y =，)(x g u =，则复合函数应记为))((x g f y =. 【例题】函数xx x y ||+=的图象为下图中的（ ） A.B. C. D.【例题】（1）已知1)(2++=x x x f ，则=)2(f __________；=)]2([f f __________.（2）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=1,21,1)(22x x x x x x f ，求值=)2(f __________；=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)2(1f f __________.【练习】设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 的值为（ ） A.1B.0C.-1D.π【练习】已知⎩⎨⎧≤+>=0),1(0,)(2x x f x x x f ，则)2()2(-+f f 的值为（ ）A.6B.5C.4D.2【练习】设()()()⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值是（ ） A.1+πB.0C.πD.-1【练习】设()()⎩⎨⎧<+≥-=10)],6([10,2)(x x f f x x x f ，则)5(f 的值为（ ） A.10B.11C.12D.13【例题】设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ，若4)(=a f ，则实数=a （ ）A.4-或2-B.4-或2C.2-或4D.2-或2【练习】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,222,2,2)(2x x x x x x x f ，若8)(=a f ，则=a __________.【练习】设()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,1)(2x x x x x f ，则使得1)(=m f 成立的m 的值是（ ） A.10B.0，10C.0，-2，10D.1，-1，11【例题】设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.()()∞+-，31,3B.()()∞+-，21,3C.()()∞+-，31,1D.()()313,， -∞-【练习】已知⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f ，则不等式2)(≤+x x xf 的解集是__________.【练习】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=1,31,1)(x x x x x f ，且不等式1)(≥x f 的解集是__________.【练习】已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式()()113≤+-+x f x x 的解集是__________.【刷题训练】【练习】设()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,2)(2x x x x x x x f ，若3)(=x f ，则x 的值为（ ）A.1或23B.3±C.23或3±D.3【练习】已知函数⎩⎨⎧≥+<+=1,1,23)(2x ax x x x x f ，若a f f 4)]0([=，则实数a 等于（ ） A.21B.54C.2D.9【练习】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,1)(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的x 的取值范围为（ ）A.(][]10,02 -∞-，B.(][]1,02 -∞-，C.(][]10,12 -∞-，D.[][]10,10,2 -【练习】已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=0,10,1)(x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（） A.[]121--，B.(]1，∞-C.(]12-∞-，D.[]1212---，；|)(|x f y =【练习】已知⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=3,393,)(22x x x x x a x f 在点3=x 处连续，则常数a 的值为__________.【练习】已知函数[][]⎩⎨⎧-∉-∈=1,1,1,1,2)(x x x x f ，若2))((=x f f ，则x 的取值范围是（ ） A.∅B.[]1,1-C.()()∞+-∞-，，11D.[]1,1}2{-【数形结合解决函数问题】一、图象的画法（1）描点法为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的草图或较为精确的图象.作图通常有列表、 描点、连线三个步骤：①列表.先找出一些有代表性的自变量值x ，并计算出与这些自变量相对应的函数值)(x f ，用表格的形式表示出来；②描点.从列表中得到一系列的点())(x f x ，，在坐标平面上描出这些点；③连线.用平滑曲线把这些点按照自变量由小到大的顺序连接起来；作出更精确的图象，常常需要描出更多的点.（2）变换作图法（利用基本函数的图象）①平移：)(x f y = 个单位长度向右平移a )(a x f y -=；)(x f y = 个单位长度向上平移b b x f y +=)(；②对称：)(x f y = 轴对称关于x )(x f y -=；)(x f y = 轴对称关于y )(x f y -=；)(x f y = 关于原点对称 )(x f y --=；③其他：)(x f y =轴对称到上方轴下方图象关于轴上方图象，再把保留x x x。
1-2复合函数-反函数
y ln x
2
y1 ln x x 1 , x [1, ).
2 2
x 1 , x [1, ).
定理1 设 y f ( x ), x D为严格增函数, 则 f 必有反
函数 f 1 , 且 f 1在其定义域 f ( D)上也是严格增函数.
类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f 1 , 且 f 1 在其
定义域上也是严格减函数.
证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f ( D). 只有一个 x D,
s.t. f ( x ) y .
事实上,若 x1 x2 , 使 f ( x1 ) y f ( x2 ), 则与 f
排除了前两种可能性，因此 f
1
也是严格增函数.
三、分段函数
在定义域的不同范围内用不同的解析式表达的函数
称为分段函数. 如前面学过的符号函数、取整函数等.
符号函数 1 , x 0
sgn x 0 , x 0 1 , x 0
y
1
取整函数 y
3
2
1
y [ x]
由于 sh x 在 R 上严格增,因此 sh x 有反函数. 1 x x x 由 y (e e ), 得到 e 的一元二次方程 2 x 2 x (e ) 2 ye 1 0.
解得
x ln y y 2 1 (负舍),
因此 y sh x 的反函数为
y ln x x 2 1 , x R .
——分解到基本初等函数或其四则运算为止. 是由于微分和积分对于基本初等函数或其四则 运算均有确定的计算公式.
如：y lnsine
及t