求复合函数的定义域

求复合函数的定义域
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、例题剖析：
(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域
思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）
又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x
解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）
例2. 若函数f x x ()=
+11
，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用
所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11
() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪111
1，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且
（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域
思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ，
所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15，
即函数f x ()的定义域为[]
-15，
例4. 已知f x x x ()lg 2
2
248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2
2248-=-，知x x 2
280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞
（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域
思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x ()2的定义域为[]
-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤
⎦⎥， f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦
⎥ 又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦
⎥，，解得[]x ∈24， 即f x (log )2的定义域为[]
24， 评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：
1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。

答案：]1,1[-
2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-
3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)23,1()0,2
1(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 --
C. ()()2,11,2 --
D. ()()4,22,4 --
解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

故22,222 2.x x
⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--。

故⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4-- 5、已知函数)(x f 的定义域为)23
,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a a x f ax f x g 的定义域。

［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232
,2321,2321,2321a x a a x a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2
321|{<<-
x x ； （2）当a a 2323>，即10<<a 时，有2
21a a ->-， 定义域为}2
32|{a x a x <<-； （3）当a a 2323<，即1>a 时，有2
21a a -<-， 定义域为}2321|{a
x a x <<-. 故当1≥a 时，定义域为}2321|{a
x a x <<-； 当10<<a 时，定义域为}.232|{a x a x <<- ［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。