复合函数的定义域ppt
复合函数
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a0
a0 时 0a4 2 a 4a 1 0
综上知函数的单调性
引理1：函数y f [ g ( x)],若u g ( x)在区间(a, b)上单增， 其值域为(c, d ), 又函数y f (u )在区间(c, d )上是增函数， 那么复合函数y f [ g ( x)]在区间(a, b)上是增函数。
1 x
2 x 2 x 1
的单调区间。
2.求函数y 2 的单调区间。 3.求函数y 4 2 的单调区间。
x x
则u 2 x 2 1在(,0)上单增，在(0,)上单减， y 2 在区间(,1)上单增，
u
y 2 , u (,1)
u
(,0)
u 2 x 2 1
(0,)
y 2u
y2
2 x 2 1
单增 单增 单增
单减 单增 单减
故y 23x1在(,0)上单减，在 (0,)上单增。
f (u1 ) f (u2 ) 即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上单减。
记u1 g ( x1 ), u2 g ( x2 ) 则u1 u2，且u1 , u2 (c, d ) 又y f (u )在区间(c, d )上单增
复合函数y f [ g ( x)]的单调性是由内层函数 u g ( x) 和外层函数 y f (u)单调性共同决定的。
g(x) f(x)
单增 单增
单增 单减 单减
单减 单增 单减
单减 单减 单增
f[g(x)] 单增
例1 ：求函数y 2
3 x 1
高等数学 第六讲 复合函数
解 f g x egx esin x g f x sin f x sinex
外（层） 内（层）
函数
函数
复合运算 有条件吗？ 复合函数
例题
函数
y
D外 arcsin u
和
M内 u3
x2
能构成复合函数吗？
分 y arcsin 3 x2
析
y arcsin u u 3 x2
1 u 1
内层、外层 分不清楚
分解不彻底
复合函数的分解
① ②③
（2） y = ln sin x
分解 y = lnu u = sint t x
复合 y = ln sin x 内 外
外内
注意点 1. 函数的复合运算是有条件的
D外∩M内 ≠ ϕ
2. y = f [φ(x)]
分解（彻底）
y
=
f
(u)，u=φ(x)
u3
交集为空集
结 y arcsin u 和 u 3 x2 不能构成复合函数.
论
两个函数可以复合的条件 D外∩M内 ≠ ϕ
复合函数的概念
定义 设函数 y f u 的定义域为 Df，函数 u x 的值域为 Z，若 Df Z ，则称函数 y f x 是由函数 y f u和 u x 复合而成的函数，u 称为中间变量.
复合
3. 需要搞清楚函数的内、外层位置关系
谢谢
复合函数
目录
01 函数的运算 02 复合函数的概念 03 复合函数的分解
函数的运算
四则运算
加 y x2 sin x 减 y x2 sin x
y sin x2
乘 y x2 sin x
除
y
sin x2
求复合函数的定义域
求复合函数的定义域一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
复合函数单调性课件
复合函数单调性与极值的关系
总结词
复合函数的单调性与极值之间存在密切关系。
详细描述
当一个复合函数在某区间内单调递增或递减时，该函数在该区间内可能存在极值点。极值点是函数值发生变化的点， 它们对于确定函数的整体性质具有重要意义。
举例
设 $f(x) = x^3$，这是一个关于 $x$ 的单调递增的复合函数。在 $x = 0$ 处，该函数取得极小值点；而 在 $x < 0$ 或 $x > 0$ 的区间内，该函数是单调递增的。
复合函数的表示方法
设$y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合 函数为$y = f(g(x))$。
复合函数的性质
连续性
复合函数在定义域内连续，即若 $f(u)$和$g(x)$在各自的定义域
内连续，则复合函数$y = f(g(x))$在定义域内也连续。
可导性
若$f(u)$和$g(x)$在各自的定义域 内可导，则复合函数$y = f(g(x))$ 在定义域内也可导。
导数的几何意义
表示曲线在某点的切线斜率。
03
导数的应用
判断函数的单调性、求极值、求拐点等。
02
单调性的概念与性质
单调性的定义
定义
如果对于任意$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$（或$f(x_{1}) geq f(x_{2})$），则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递增（或单调递减）。
举例
设 $f(x) = x^2$，$g(x) = frac{1}{x}$，$h(x) = log_2(x)$ ，考虑复合函数 $f(g(h(x))) = (log_2x)^2$。在 $x > 1$ 的区 间内，该复合函数是单调递增的 ，而在 $0 < x < 1$ 的区间内， 该复合函数是单调递减的。
求复合函数的定义域
复合函数
例如、y f (u) u2,u R u g(x) 2x 1, x R
则y f [g(x)] (2x 1)2, x R.
复合函数求定义域的几种题型
题型(一):已知f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域
例1.若f (x)的定义域是[0, 2],求f (2x 1)的定义域
3. 题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围。
4. 题型三：已知 f gx的定义域，求 f hx的定义域。
布置作业
课后作业： 必做：小聚焦P6:B组 9题
预习作业：
求函数值域的常用方法
练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
：y=f(x)=2x2+3x-5； • 【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就
用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的； • 【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那
么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合 的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。
3 2 5x 9
7 x 1 5
f 2 5x的定义域是[ 7 ,1)
5
例5: 已知函数 f (x)的定义域为[0，1]，a是常数，且
0 a 1，求函数F(x) f (x a) f (x a) 的定义域。
2
归纳:运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域， 其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
解： f (x2 )的定义域是 2 x 2 0 x2 4
f (x)的定义域数的取值范围。
基本初等函数--复合函数
一、复合函数函数y=log2x是对数函数，那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log2u，u=2x-1，因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x-1经过复合而成的。
一般地，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。
二、复合函数。
定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a，b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间[g(a)，g(b)](或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上一定是单调函数，并有以下结论：同增异减判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。
例1.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
解：函数定义域为R。
令u=x2-4x+3，y=0.8u。
指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。
例2.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。
解：显然函数定义域为(0，+∞)。
令 u=log2x，y=u2+u∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，y=u2+u在(-∞，- ]上是减函数，在[- ，+∞)上是增函数(注意(-∞，-]及[-，+∞)是u的取值范围)因为u≤- log 2x≤- 0＜x≤，(u≥- log2x≥-x≥)所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。
复合函数定义
复合函数定义：设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函间变量,y为因变量（即函数）。
生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
定义域若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
周期性设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）增减性依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。
即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。
复合函数定义域问题
第一讲 复合函数的定义域一、复合函数的构成设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。
此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(． 注意：)(x g 的值域'M M ⊆．例2：⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．函数)(x f 的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]．∴1210≤-≤x ，∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．)12(-x f 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]，∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。
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归纳:已知 f [ g ( x)]的定义域，求
其解法是：若f [ g ( x)]的定义域为 m x n ，则由 m x n 确定 g (x) 的范围即为 f (x )的定义域。
[ 练习: 已知f ( x )的定义域是 2,2], 求f ( x)的定义域
2
例3. 函数 y f ( x 1) 定义域是 [2,3] ，则 y f (2 x 1)的定义域是（ ） 5 B. 5,5] C.[3,7] D.[ 0, ] A. [1,4] [ 2 的定义域 归纳:已知f [ g ( x)] 的定义域，求 f [h( x)] 其解法是：可先由 f [ g ( x)] 的定义域求得 f (x ) 的定义域，再由 f (x )定义域求得f [h( x)]的定义域。
(-∞,2)∪(2,+∞)
2 3,
1 (1). f ( x ) x2
(2). f ( x) 3x 2
1 (5). f ( x) x 1 2 x
1, 2 (2, )
• 教学引入 • 1.强调对于给定的函数,求定义域的时候是 求满足表达式的自变量的取值范围. . 2可选取集合A到集合B的法则是g,集合B到 集合C的法则是f,求f[g(x)] 其中的法则可以随意选取.
复合函数:
• 设y=f(u)的定义域为B, u=g(x)的定义域为A,值域为B则称 y=f[g(x)]是由y=f(u) 和u=g(x) 复合而成的复合函数其定 义域为A • 说明: • 1. y=f[g(x)]函数的自变量是x相当于对x先施以g法则在施 以 • f法则所以定义域是A. • 其中y=f(u)-----外层函数u=g(x)--------内层函数 • 2.g(x) 的函数值必须落在外层函数f[g(x)]的定义域内 • 内层函数的值域就是外层函数的定义域 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数
随堂练习：
1.定义域为[a,b]的函数f(x)，则函数f(x+a)的 定义域为( ) (A).[2a,a+b] (B).[0,b-a] (C).[a,b] (D).[0,a+b] 2.若函数f(2x)的定义域为(1,2)，则f(x)的定义域 为 ，则f(x+1)的定义域为 。
探究学习： 已知函数的解析式，若未加特殊说
旧知回顾：
指函数式中自变量的取值范围。 定义域： (已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义
域是使解析式有意义的自变量 的取值范围.)
高考中考察形式:高考中考查函数的定义域的 题目多以选择题或填空题的形式出现，有 时也出现在大题中作为其中一问。以考查
对数和根号两个知识点居多。
自学提纲：
• 试确定下列函数的定义域。
其解法是：若 f
a g ( x) b ，从中解得
x 的取值范围即为 f [ g ( x)]的定义域
练习:
若函数y f ( x)的定义域是 1,1), 求f (2 x 1)的定义域 [
例2. 已知函数 g ( x) f (3 2 x)的定义域为[1,2] ， 则函数
f (x) 的定义域为_____ f (x)的定义域
[ 练习: 若函数f ( x 2)的定义域为1,3], 求函数f (3x 2)
2
的定义域
例4: 已知函数 f (x )的定义域为[0，1]，a是常数，且
1 0 a ，求函数 F ( x) 2
f ( x a) f ( x a) 的定义域。
归纳:运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域， 其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1. 设函数 f (x )的定义域为 [0,1]，则 （1）函数 f ( x 2 ) 的定义域为________ （2）函数 f (
x 2) 的定义域为__________
归纳:已知 f
(x) 的定义域，求 f [ g ( x)] 的定义域 (x)的定义域为 a x b ，则 f [ g ( x)] 中