复合函数定义域三种形式解法
关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义为：f(g(x))，其中g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
定义域是指函数能够接受的数值范围。
换而言之，对于给定的函数，定义域是使其有意义的输入值的集合。
要确定复合函数的定义域，需要考虑两个方面：内层函数和外层函数。
首先，我们需要确定内层函数的定义域，然后根据内层函数的结果来确定外层函数的定义域。
内层函数的定义域确定方法如下：1.若内层函数是一个常数函数，定义域为实数集合，即：(-∞,∞)。
2.若内层函数是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
3.若内层函数是一个分式函数，需要注意分母不能为零。
因此，需要将分母不等于零的解集作为内层函数的定义域。
4.若内层函数是一个平方根函数，需要考虑平方根中的值不能为负数，因此需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为内层函数的定义域。
确定内层函数的定义域后，我们需要将内层函数的结果作为外层函数的输入来确定外层函数的定义域。
具体方法如下：1.若外层函数是一个常数函数，定义域与内层函数的定义域相同。
2.若外层函数是一个多项式函数，其定义域与内层函数的定义域相同。
3.若外层函数是一个分式函数，需要将分母不等于零的解集作为外层函数的定义域。
4.若外层函数是一个平方根函数，需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为外层函数的定义域。
需要注意的是，在求解复合函数的定义域时，需要保证两个函数都有定义，并且内层函数的结果必须属于外层函数的定义域。
举个例子来说明复合函数的定义域的求解方法：考虑函数f(x)=√(3-2x)+1和g(x)=x^2-4x+3，我们需要确定复合函数f(g(x))的定义域。
首先，我们需要确定g(x)=x^2-4x+3的定义域。
由于这是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
接下来，我们将g(x)的结果带入f(x)中来确定复合函数f(g(x))的定义域。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
求复合函数定义域的题型与思路
求复合函数定义域的题型与思路有关复合函数问题是近几年高考试题的重点题型之一，也是难点之一，其中求复合函数的定义域问题一直困扰着同学们。
本文对此类问题中的三种题型的求解思路作一剖析，旨在帮助大家轻松解题。
一. 已知f(x)的定义域，求f g(x) 的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即x D，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x) D，解得x E，E为f g(x) 的定义域。
例1. 设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。
解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u (0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变所以0 lnx 1 解得x (1，e)故函数f(lnx)的定义域为（1，e）例2. 若函数f(x)1x 1，则函数f f(x) 的定义域为______________。
1x 1解析：先求f的作用范围，由f(x) ，知x 1即f的作用范围为x R|x 1 ，又f对f(x)作用所以f(x) R且f(x) 1 即fx 1f(x) 中x应满足f(x) 1x 1即11x 1解得x 1且x 2故函数f f(x) 的定义域为x R|x 1且x 2二. 已知f g(x) 的定义域，求f(x)的定义域思路：设f g(x) 的定义域为D，即x D，由此得g(x) E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以x E，E为f(x)的定义域。
例3. 已知f(3 2x)的定义域为x 1，2 ，则函数f(x)的定义域为_________。
解析：f(3 2x)的定义域为1，2 ，即x 1，2 由此得3 2x 1，5 所以f的作用范围为1，5又f对x作用，作用范围不变，所以x 1，5 即函数f(x)的定义域为1，5例4. 已知f(x 4) lg2__22，则函数f(x)的定义域为______________。
几种复合函数定义域的求法
几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。
例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。
这种代换遵循同一函数的原则。
例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。
复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。
即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。
例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。
复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。
f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。
设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。
对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。
对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数是由两个或多个函数组成的一个新函数。
在定义复合函数的时候，需要确定合成函数的定义域以保证合成函数的存在和可行性。
一、基本定义域的合成考虑两个函数f和g，其中g的定义域包含f的值域，即对于任意x属于f的定义域，存在一个数y，使得f(x)=y且y属于g的定义域。
例如，考虑f(x) = x^2和g(x) = sin(x)，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为[-1,1]。
显然，f的值域为非负实数集R+，并且R+在g的定义域[-1,1]内。
因此，f和g的合成函数h(x) = g(f(x))的定义域为实数集R。
二、交集的合成当两个函数的定义域没有包含关系时，可以考虑它们的交集作为合成函数的定义域。
也就是说，要找到两个函数的共同定义域，才能进行合成。
例如，考虑f(x)=√(4-x^2)和g(x)=1/x，其中f的定义域为[-2,2]，g的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)。
显然f和g的共同定义域为(0,2]U[-2,0]，即f和g的交集为[-2,2]。
因此，f和g的合成函数h(x)=g(f(x))的定义域为[-2,2]。
三、条件限制的合成有时候，函数之间的合成有些条件限制。
在这种情况下，复合函数的定义域需要根据这些条件来确定。
例如，考虑f(x)=x+2和g(x)=√x，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为非负实数集[0,+∞)。
但是，根据g的定义域的条件，对于g(f(x))来说，只有f(x)>=0时，g(f(x))才有定义。
因此，f(x)>=0，即x>=-2、所以，复合函数g(f(x))的定义域为[-2,+∞)。
综上所述，复合函数的定义域有三种形式的解法：基本定义域的合成、交集的合成和条件限制的合成。
具体的解法需要根据函数的定义域和值域来确定，以确保复合函数的存在和可行性。
复合函数求定义域的几种题型
复合函数求定义域的几种题型解：由题意知：解：由题意知：解：由题意知：练习：解：由题意知：202≤≤x }2321{)12(:≤≤-x x x f 的定义域是故():(),[()]f x f g x 题型一已知的定义域求的定义域1.()[0,2],(21)f x f x -例若的定义域是求的定义域2120≤-≤x 2321≤≤∴x []2:()0,2,()f x f x 练习若的定义域是求的定义域22≤≤-∴x ()]2,2[:2-的定义域是故x f ():,()f g x f x ⎡⎤⎣⎦题型(二)已知的定义域求的定义域():21(1,5],()f x f x --例2已知的定义域求的定义域51≤<-x 9123≤-<-∴x ](9,3)(-∴的定义域为x f ](的定义域求的定义域已知)52(,5,1)12(x f x f ---51≤<-x 9123≤-<-∴x 9523≤-<-∴x 157<≤-∴x ())1,57[52--∴的定义域是x f题型三： 已知函数的定义域，求含参数的取值范围解：(1)当K=0时, 3≠0成立练习: 若函数 的定义域是R ，求实数a 的取值范围。
解：∵定义域是R ，当 时，显然适合题意，当 时，综上知：实数a 的取值范围为布置作业：的定义域是一切实数3472+++=kx kx kx y 时当知综上430,)2(),1(<≤k 27:,43kx k y kx kx +=++例3当为何值时函数的定义域是一切实数恒成立对分母可知的定义域为一切实数由R x kx kx kx kx kx y ∈≠+++++=034,34722430:,0:0)2(<<<∆≠k K 解得时当12+-=ax ax y 恒成立，012≥+-∴ax ax 0=a 0≠a ⎩⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>4001402a a a a 04a ≤≤1.()[2,2]f x y f-=已知函数的定义域是，求的定义域()2. 21[0,2],(13)f x f x +-已知函数的定义域是求的定义域。
复合函数定义域三种形式解法
先介绍几个名词汇：（能明白最佳，如果感觉那些名词汇有面晕，您不妨跳过）之阳早格格创做【定义域】：便是初中咱们所教的，函数y=f(x)的自变量x的与值范畴；【值域】：函数y=f(x)的果变量y的与值范畴；【隐函数】：雅称罕睹函数，函数剖析式是精确的，比圆：y=f(x)=2x2+3x-5；【隐函数】：雅称抽象函数，函数剖析式是没有精确的，便用y=f(x)表示，简直f(x)是什么真质是隐躲的；【复合函数】：如果道y=f(x)是一个简朴的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)去代替，便称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是中函数，t=g(x)为内函数.道解之前指示很闭键的一句：通常是函数的定义域，永近是指自变量x的与值范畴.【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，怎么样供复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范畴，供y=f(g(x))的自变量x的范畴，其中的闭键是，后者的g(x)相称于前者的x.办理战术：供没有等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，供函数y=f(3+2x)的定义域.解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，闭于抽象复合函数定义域的供法证明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x干了一个换元，此处换元没有克没有及写为令x=3+2x.本果是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然少得一般，然而是意思分歧，如果令x=3+2x，则等号二边的x便是一模一般了，x只可为-3了.【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，怎么样供抽象函数y=f(x)的的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范畴，供y=f(x)的自变量x的范畴，其中的闭键是，前者的g(x)相称于后者的x.办理战术：供内函数t=g(x)正在区间[m,n]的值域（t的与值范畴），即为y=f(x)的定义域【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，供函数y=f(x)的定义域.解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]证明：函数y=f(x)与y=f(t)是共一个函数，与单个自变量是x仍旧t无闭.其余，题型二是题型一的顺背题目.【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，怎么样供复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范畴，供y=f(h(x))的自变量x的范畴，其中的闭键是，前者的g(x)相称于后者的h(x)，故先供出“桥梁”函数y=f(x)的定义域.办理战术：用题型二的要领根据y=f(g(x))定义域供y=f(x)的定义域，用题型一的要领根据y=f(x)的定义域供y=f(h(x))的定义域【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，供函数y=f(3+x)的定义域.解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]令t=3+x，则t=3+x∈[-1,5]闭于抽象复合函数定义域的供法故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]证明：题型三本去是题型一与题型二的概括而已，会了前二个题型，第三个题型自然便会了.。
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复合函数定义域三种形式
解法
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过）【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围；【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围；
【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；
【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。
讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。
【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？
思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。
解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域
【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域.
解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x ∈[0,3]，
关于抽象复合函数定义域的求法
说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。
原因是y=f(x)中的x与
y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。
【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？
思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的
g(x)相当于后者的x。
解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域
【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.
解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]
故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，
故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]
说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t无关。
另外，题型二是题型一的逆向题目。
【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数
y=f(h(x))定义域的定义域？
思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(h(x))的自变量x 的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的h(x)，故先求出“桥梁”函数y=f(x)的定义域。
解决策略：用题型二的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，用题型一的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域
【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域.
解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]
故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，
故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]
令t=3+x，则t=3+x∈[-1,5]
关于抽象复合函数定义域的求法
故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]
说明：题型三其实是题型一与题型二的综合而已，会了前两个题型，第三个题型自然就会了。