分段函数的最值
matlab 分段函数 求最值
cognitive - normative - behavioral model对于分段函数，我们可以遍历每一个分段，找出其最大值和最小值。
以下是一个示例，我们创建一个分段函数，然后使用MATLAB 来找出其最值。
假设我们的分段函数如下：f(x) = -x, x < 0f(x) = x^2, 0 <= x < 5f(x) = 3x - 5, x >= 5在MATLAB 中，我们可以如下编写代码来找出这个分段函数的最值：matlab复制代码% 分段函数的定义f = @(x) -x; % 当 x < 0f = @(x) x.^2; % 当 0 <= x < 5f = @(x) 3*x - 5; % 当 x >= 5% 定义搜索的区间x_min = -10; % 最小值可能存在的区间左端点x_max = 10; % 最大值可能存在的区间右端点% 使用二分法查找最值[x_min_val, f_min_val] = min_bisection(f, x_min, x_max);[x_max_val, f_max_val] = max_bisection(f, x_min, x_max);fprintf('最小值在 x = %f 时取得，值为 %f\n', x_min_val, f_min_val);fprintf('最大值在 x = %f 时取得，值为 %f\n', x_max_val, f_max_val);其中min_bisection和max_bisection是使用二分法在指定区间内查找最小值和最大值的函数。
以下是这两个函数的实现：matlab复制代码function[x, f] = min_bisection(f, a, b)while (b-a) > 1e-6% 精度要求，可以根据需要调整c = (a+b)/2;if f(c) < f(a) % 如果中间值比左端点小，说明最小值在右半部分a = c;else% 否则最小值在左半部分b = c;endendx = a;f = f(a);endfunction[x, f] = max_bisection(f, a, b)while (b-a) > 1e-6% 精度要求，可以根据需要调整c = (a+b)/2;if f(c) > f(a) % 如果中间值比左端点大，说明最大值在右半部分b = c;else% 否则最大值在左半部分a = c;endendx = a;f = f(a);end。
分段函数的极限
分段函数的极限分段函数是指由多个函数按照不同的自变量范围组合而成的一个函数。
在数学中，分段函数的极限是一个非常重要的概念和计算方法。
本文将介绍什么是分段函数的极限，以及如何计算分段函数的极限。
一、分段函数的定义分段函数是由多个函数组合而成的一个函数。
具体地说，它是指在不同的自变量范围内对应的函数是不同的。
例如，在区间(-∞,-1)内，我们定义f(x)=-x；在区间[-1,1]内，我们定义f(x)=x²；在区间(1,∞)内，我们定义f(x)=x+1。
这三个函数组合在一起，就构成了一个分段函数f(x)。
二、分段函数的极限定义在讨论分段函数的极限之前，我们需要先了解什么是函数的极限。
简单地讲，当自变量x无限接近于某个值a时，函数f(x)的值无限接近于某个数L，我们就称函数f(x)在x趋近于a的过程中极限为L，记为lim（x→a）f(x)=L。
例如，当x趋近于1时，f(x)=x²的极限为1。
与一般函数不同，分段函数在每个自变量范围内都有不同的函数式，因此在计算分段函数的极限时，我们需要对每个自变量范围内的函数分别进行讨论。
具体来说，我们需要分别讨论当x趋近于各个自变量范围中的端点时，函数值的趋势，以决定函数是否存在极限。
三、分段函数的极限计算方法对于一个分段函数f(x)，我们可以在每个自变量范围内对应的函数上分别计算极限。
然后，我们需要比较每个自变量范围内的函数极限，以确定整个分段函数的极限是否存在。
以下是具体的计算步骤：（1）先找出函数f(x)的定义域和值域。
（2）对于每个自变量范围内的函数，我们需要使用极限的定义来计算它的极限。
例如，当x趋近于-2时，f(x)=x²-2x的极限为6；当x趋近于0时，f(x)=x+3的极限为3。
（3）比较每个自变量范围内的函数极限。
如果存在某个自变量范围，其内部的函数极限不存在或者不唯一，那么我们就认为分段函数的极限不存在。
否则，我们可以得出整个分段函数的极限为各个自变量范围内的函数极限的"局部极限"中的极限值。
分段函数知识点及例题解析
分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：１．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数(f x 解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值x 图1例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =；当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，所以y 关于x的表达式是01122343 4.x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤，≤， ≤，， ≤ 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识． A BP 图３。
MATLAB求分段函数最大值如何用MATLAB求分段函数的最小值和最大值
MATLAB求分段函数最大值如何用MATLAB求分段函数的最小值和最大值分段函数是一个由多个子函数组成的函数，每个子函数在定义域的不同区间上有不同的定义。
它通常用于描述真实世界中的非连续现象，如电子设备的开关状态或者非线性系统的行为。
要用MATLAB求解分段函数的最小值和最大值，我们可以按照以下步骤进行：1. 定义分段函数。
首先，我们需要将分段函数表示为一个MATLAB函数。
这可以通过使用if-else语句来实现。
以一个简单的分段函数为例，假设我们要计算以下分段函数在定义域[0,10]上的最小值和最大值：f(x)=x^2,0<=x<5f(x)=10,5<=x<=10我们可以用以下代码来定义这个分段函数：```function y = piecewise_function(x)if x >= 0 && x < 5y=x^2;elseif x >= 5 && x <= 10y=10;elsey=NaN;%处理定义域之外的情况endend```2.创建一个数值范围。
要计算分段函数的最小值和最大值，我们需要在定义域内创建一个数值范围。
在本例中，定义域为[0,10]，我们可以用以下代码来创建一个包含许多离散点的数值范围：```x_range = linspace(0, 10, 100); % 在0到10之间创建100个离散点```这将创建一个包含100个离散点的向量x_range，这些点均匀分布在[0,10]之间。
3. 计算分段函数的值。
使用定义的数值范围和分段函数定义的MATLAB函数，我们可以计算每个离散点的函数值。
我们可以使用一个for 循环来实现这一点：```y_values = zeros(1, length(x_range)); % 创建一个包含每个离散点函数值的向量for i = 1:length(x_range)y_values(i) = piecewise_function(x_range(i));end```这将计算每个离散点的函数值，并将它们存储在一个向量y_values 中。
高一分段函数知识点总结
高一分段函数知识点总结分段函数是高中数学中的重要内容，它在应用题中常常能够帮助我们建立正确的数学模型，解决实际问题。
下面是对高一分段函数知识点的总结。
1. 分段函数的定义分段函数由定义域的不同范围内的多个子函数组成，每个子函数的定义域是不重叠的，它们只在各自的定义域内有效。
2. 分段函数的表示方法分段函数可以用解析式、表格和图像三种方式表示。
解析式表示：f(x) = {f1(x), a ≤ x ≤ b; f2(x), c ≤ x ≤ d; ...}表格表示：在一张表格中列出各个子函数的定义域和函数值。
图像表示：在坐标系中绘制出各个子函数的图像。
3. 分段函数的性质分段函数的性质包括奇偶性、单调性、最值等。
要根据具体的子函数来分析其性质。
奇偶性：如果子函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该子函数是偶函数；如果子函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该子函数是奇函数；否则为非奇非偶函数。
单调性：对于定义域内部的某个子函数，如果$f'(x)>0$，则该子函数在该区间上是递增的；如果$f'(x)<0$，则该子函数在该区间上是递减的。
最值：要求分段函数取得最大值或最小值，需要分别分析各个子函数的最值，并比较它们之间的大小。
4. 分段函数的应用分段函数在实际问题中的应用非常广泛。
以下列举几个常见的应用：(1) 阶梯函数：描述单位价格不同的商品数量与费用之间的关系。
在一定范围内的商品数量对应一个固定的价格，超过该范围则需要按照不同的价格计算。
(2) 温度转换：将摄氏温度转换为华氏温度或开尔文温度。
(3) 隶属度函数：用于模糊逻辑和模糊集合，描述某个元素对于某种属性或事物的隶属程度。
(4) 门函数：在数字电路中，描述逻辑电平之间的转换关系。
5. 分段函数的解析式的求法当已知分段函数的表达式或图像时，可以根据具体情况，通过以下几种方法求出分段函数的解析式：(1) 分段函数的拼接法：将各个子函数在其定义域范围内的解析式进行拼接。
求解分段函数问题
ｘ＋ ＝ ｇ 。 ￣ １ － （ ）
故ｇ 为 奇 函数 。 （）
ｙ
说 明 判 断 函数 奇偶 性 时 ， 应按 照 函数 奇偶
性 的定 义 来判 断 ， 得 注 意 的是 自变 量 取 值 变化 值
时 函数 的表 达式 也 随之 变 化 。
题 型 四 ： 分 段 函 数 的 最 值 求
说明 求 分 段 函数 的 最值 ， 以先 求各 段 函数 的极 值 ， 后取 这 些极 值 的最 值 。 可 然
总之 ， 分段 函数 也 是 函数 ， 处理 其 相关 内容 时 ， 质上 仍 是 按 照求 函数 的思 路 去 解 在 本
决 即可 。●
又≥ ３ ： ・３（） 。 ３且 时 （ ． ） ３ ≥ ） ． ＝ ＝ 丢 ≥吉
且ｆ 。 ｏ） ｆ 专 ２
说 明 在求 分 段 函数 的 函数值 时 ． 当按 白变 量 所取 的值 去选 择 相应 的函数 解 析式 。 应
题 型二 ： 分段 函数 的解 析 式 求
例 ２ 已知 函 数 ｙ ｇ ） 图像 如 图 ， 关 ５ｘ 函数 关 系 式 。 ：（ 的 求ｙ －＠
ｌ ｌ
４
一
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Ｉｘ ３（ ３＋ ≤０ ， ）
一
例４ 已知 （ ＝ ＋ （ ≤１， 数最大值 厂 ）｛ ３ ０ ）求函
【ｘ ５（＞ ） －＋ ｘ １ ，
３２ ０ —ｌ
２ ４５ ３ ＼ ＼
解 析 方 法 １ 利 用 数 形 结 合 ， 出分 段 函 数 的 图像 ， 图 中观 察 可 知 道 函数 最 大 值 ： 作 从
ｆ ｘ ＝ 。 ｃ ） ４
方法２利用函数单调性 ， ： 函数厂 ）３＋ 在（ ∞，］ （ ＝ ３ 一 ０ 是增函数 ， 其最大值为３ 函 ；
分段函数的几个常见问题1
探究分段函数的几个常见问题河南正阳高级中学 吕玉光分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明.学生对此认识比较肤浅，理解上有些吃力，由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1.分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 2.分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 3.分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f . 解析：因为311222()|1|2f =--=-,所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 4.分段函数的最值例3. 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最小值解析：（方法1） 先求每个分段区间上的最值，后比较求值.当0x ≤时,()23,y f x x ==+此时显然有max (0)3;y f == 当01x <≤时，()3,y f x x ==+此时max (1)4;y f ==当1x >时，y =()5,y f x x ==-+此时y 无最大值.比较可得当x =1时,max 4.y =11o 322-1y x-1（方法2）利用函数的单调性由函数解析式可知，()f x 在(,0)x ∈-∞上是单调递增的，在(0,1)x ∈上也是递增的，而在(1,)x ∈+∞上是递减的，由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 （方法3）利用图像，数形结合求得 作函数y =()f x 的图像（图1）， 显然当x =1时max 4y =.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得. 5．分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 解析：当[2,0]x ∈-时,121y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-,当[0,1]x ∈时,21y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124y x x =-+-=-,所以 12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得Y4 3 2 10 1 2 3 4 5 x-12131o-2y x222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A . 6．分段函数的奇偶性例5．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.解析：当0x >时,0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==当0x <,0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+= 因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 7．分段函数的单调性例6．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.解析：显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立,()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例7．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.解析：121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-. 8．解分段函数的方程例8．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为解析：若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求. yx52o -12529．解分段函数的不等式例9．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞解析1：首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.解析2：因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例10．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃解析：当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.点评： 以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.xy1-11。
分段函数知识点
分段函数知识点分段函数，也称为分段定义函数，是指由多个不同定义域上的函数组成的一个整体。
在一个给定的定义域上，该函数按照不同的规则进行定义，因此其函数图像通常由多个不连续的线段或曲线段组成。
一、分段函数的定义分段函数可以通过以下形式进行定义：f(x) = { f1(x), x∈D1f2(x), x∈D2...fn(x), x∈Dn其中，f1(x), f2(x), ..., fn(x) 分别表示在不同的定义域 D1, D2, ..., Dn 上的函数，每个定义域 Dn 为函数 f(x) 的某个区间。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常由多段曲线或线段组成。
每一段的形状和位置由该段定义的函数决定。
在各个定义域的交界处，函数的图像通常出现不连续的情况，也可能存在间断点。
三、分段函数的性质1. 定义域：分段函数的定义域为各个函数定义域的并集，即 D = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn。
2. 奇偶性：分段函数的奇偶性由各个函数分别决定，具体取决于各个函数的奇偶性质。
3. 连续性：分段函数在各个定义域的内部是连续的，但在定义域之间的交界处可能是不连续的，具体取决于函数定义的方式。
4. 极值：分段函数的极值可能出现在每个定义域的端点，以及在各个定义域之间的交界点处。
5. 最值：分段函数在定义域上的最值由各个函数的最值决定，需要分别找到各个函数的最大值和最小值进行比较。
四、常见的分段函数1. 绝对值函数：f(x) = |x| = { x, x≥0-x, x<02. 阶梯函数：f(x) = ⌊x⌋，表示小于等于 x 的最大整数。
3. 取整函数：f(x) = [x]，表示不大于 x 的最大整数。
4. 符号函数：f(x) = { -1, x<00, x=01, x>0五、分段函数的应用分段函数在数学和实际应用中有广泛的应用，如经济学中的需求函数、供给函数；物理学中的速度、加速度函数；计算机科学中的条件运算等。
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a＜0 a＜ 2．解析：(1)若 f(0)≥1，则－a|a|≥1⇒ 2 ⇒a≤－1. 2．解析：(1)若 f(0)≥1，则－ a ≥1 a|a|≥1⇒ 2
(2)当 x≥a(2) 时， f ( x ) ＝ 3 x － 2 ax ＋ a ， 2 2 当 x≥a 时，f(x)＝3x －2ax＋a ，
∴f(x)＝x2＋2x.
高考总复习·理科·数学
(2)由(1)，得g(x)＝x2＋|x＋1－a|
2 x ＋x＋1－ax≥a－1 ＝ 2 x －x－1＋ax<a－1
＝ 1 5 x－2 ＋a－4x<a－1
2
12 3 x＋ ＋ －ax≥a－1 2 4
fa，a≥0
2 2a2 综上 f(x)min＝ 综上 f(x)min＝ 2a 3 ，a＜0 ，a＜0
2 － 2 a ， a ≥ 0 － 2 a ， a ≥0
2
3
高考总复习·理科·数学
批阅笔记 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一．本题充
分体现了分类讨论的思想方法． 在解答本题时有两点容易造成失分： 一是求实数 a 的值时， 讨论的过程中没注意 a 自身的取值范围， 易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起， 不能得出最后的结论． 除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分： 1．含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误； 2．分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较 大小或不会比较出大小关系； 3．解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方 程联系在一起，思路受阻．
2 2 a ，a≥0 2 2 2 f(a x)时， ＝ 2 当 x≤ (x )a ＝ x ＋2ax－ a ， a min＝f ，a＜0 f 3 ，a ＜ 0 3 2 f － a ， a ≥ 0 － 2a ，a≥0 2 2 当 x≤a 时，f(x)＝x ＋ ax－a2， 2 f(x)min＝ ＝ 2 f － a ， a ≥ 0 － 2 a ， a≥0 a＜ 0 f a ， 2 a ， a ＜ 0 ＝ 2 f(x) min＝ fa，a＜0 2a ，a＜0
2
2
2
a
2 fa，a≥0 fa 2aa ， a≥ 0 ， ≥ 0 2 a ，a≥0 2 2 f(x)min＝ f ＝ a 2 a ( x )min＝ ＝2a a ， a＜ 0 f 3 ，a＜0f ， ， a ＜ 0 a ＜ 0 3 3 3
当堂训练
二次函数的综合应用
高考总复习·理科·数学
若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足 f(x＋1)－f(x) ＝2x，且 f(0)＝1. (1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式 f(x)>2x＋m 恒成立，求实 数 m 的取值范围．
由 f(0)＝1 可得 c，利用 f(x＋1)－f(x)＝2x 恒成立，可求出 a， b，进而确定 f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．
，
1 1 1 1 1 3 1 3 ② － < a － 1< ，即 < a < 时， － ①当 a－1≤－2，即 a≤2时，g(x)min＝ 2 g 2 2 ＝4 2 －a 2 2 1 1 1 3 g ( x ) ＝ g ( a － 1) ＝ ( a － 1) min ②－ <a－1< ，即 <a< 时， 2 2 2 2
g(x)min＝g(a－1)＝(a－1)2
1 3 ③当 a－1高考总复习·理科·数学 ≥ ，即 a≥ 时， 2 2
1 5 1 3 ＝a－ . ③当 a－1≥ ，即 a≥ 时，g(x)min＝g 2 4 2 2
g(x)min
3 1 54－a ＝g ＝a－ .
综上所述，g(x)min
高考总复习·理科·数学
解
(1)由 f(0)＝1 得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
又 f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 2a＝2， a＝1， 即 2ax＋a＋b＝2x，∴ ∴ a＋b＝0， b＝－1. 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2－3x＋1－m>0，
当 x≤a 时， x≤ )＝ x 时， ＋2axf － a)＝ ， x ＋2ax－a ， 当f( x a (x
2
2
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a f(x)min＝ a ＝22 a 2 (2)当 x ≥ a 时， f ( x ) ＝ 3 x － 2 ax ＋ a ， 高考总复习·理科·数学 ， a ＜ 0 f 3 ，a＜0 3
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4 1 3 ＝ a－1 <a< ， 2 2 a－5 a≥3. 4 2
1 a≤ ， 2
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2．设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值.
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第11讲
分段函数的最值
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本节任务
会求分段函数函数在区间上的最值
典例剖析
1．已知函数y＝f(x)的图象与函数
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h(x)＝－x2＋6x－8的图象关于点(1,0)对称．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)设函数g(x)＝f(x)－2x＋|x＋1－a|(a∈R)，求g(x)的最小 值． 解析：(1)设y＝f(x)上的任意一点为(x，y)，则它关于点 (1,0)的对称点的坐标为(2－x，－y)．而点(2－x，－y)满足 y＝－x2＋6x－8， ∴－y＝－(2－x)2＋6(2－x)－8，∴y＝x2＋2x.
要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数 g(x)＝x2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于 0 即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0 得，m<－1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)．