一次函数知识点(全)

一次函数知识点
一、函数与变量
常量与变量的概念：
我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．
在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．
在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积S 与圆的半径r 存在相应的关系：2πS r =，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S 随着r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因变量；
◆ “y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值
与之相对应，否则y 不是x 的函数．
◆ 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取
不同的值，y 的取值可以相同． 例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．
◆ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对
应关系．
数学上表示函数关系的方法通常有三种：
⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑵列表法：通过列表表示函数的方法．
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
关于函数的关系式(即解析式)的理解：
● 函数关系式是等式． 例如4y x =就是一个函数关系式． ● 函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如：y x =是自变量，y 是x 的函数．
● 函数关系式在书写时有顺序性．
例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13
y
x -=就表示x 是y 的函数． ● 求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的
代数式．
自变量的取值范围：
很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =
自变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；
当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑵分母中含有自变量：分母不为0． ⑶实际问题：符合实际意义．
函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．
描点法画函数图象的步骤：⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．
函数解析式与函数图象的关系：
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； ⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．
二、一次函数及其性质
● 知识点一 一次函数的定义
一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
● 知识点二 一次函数的图象及其画法 ⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．
⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，
，()1k ，两点；
②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，
，0b k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线
l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，
有时直接称为直线y kx b =+．
● 知识点三 一次函数的性质
⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；
⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．
● 知识点四 一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号
⑵一次函数y kx b =+中，当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．
当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．
反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．
● 知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式 ⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．
⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
1.一次函数与一元一次方程的关系：
直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b
k
=-
，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b
k
-，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

2.一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，
所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

3.一次函数与二元一次方程（组）的关系：
一次函数的解析式y b k0
（）本身就是一个二元一次方程，直线
=+≠
kx
=+≠
（），
kx
y b k0
kx
=+≠
（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k0
因此二元一次方程的解也就有无数个。