会考试题(8)

高中数学必修内容训练试题（25）—会考模拟试题(8)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分 考试用时120分钟 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内2. 选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案；不准采用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式：如果事件A B 互斥，那么 P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 如果事件A B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示底面积，h 表示高 函数求导公式：'''''''''2()()()(0)u v u v uv u v uv u u v uv v v v±=±=+-=≠第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合M={－1，0，1}，N={y ︱y=cosx ，x ∈M}，则M ∩N 是 A {－1，0，1} B {0，1} C {0} D {1} （2）函数y=cosx （sinx+cosx ）的最小正周期为A4π B 2πC πD 2π （3）下列各组命题中，“p 或q ”形式的复合命题为假命题的是A p ：函数1y x=-在R 上是增函数；q ：函数2y x =在R 上连续； B p ：导数为零的点一定是极值点；q ：最大值点的导数一定为零； C p ：互斥事件一定是对立事件；q ：对立事件一定是互斥事件；D p ：复数(1)i i +与复数1i --对应点关于y 轴对称；q ：复数11ii-+是纯虚数（4）已知点P （x,y ）在线性区域0041x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩内，则点P 到点A （4,3）的最短距离为A 3B 4C 5 D125（5）盒中装有大小相同的黑 白两色小球，黑色小球15个，白色小球10个 现从中随机取出两个，若两个同色则甲获胜，若两个不同色则乙获胜 则甲 乙获胜的机会是 A 甲多 B 乙多 C 一样多 D 不确定的（6）已知双曲线1242522=-y x 上一点M 到右焦点F 的距离为11，N 是MF 之中点，O 为坐标原点，则|NO|等于 A211 B 21或221 C 21 D 221 （7）三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，P Q 分别为侧棱AA 1 BB 1上的点，且A 1P=BQ ，则四棱锥C 1—APQB 与三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积之比是A 21B 31C 41D 61（8）如图，正方体1111D C B A ABCD -中，在面11ABB A 上一动点P ，到A A 1和BC 的距离相等，则P 点的轨迹是下图中的A B C D（9）已知f （x ）,g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时()()()()()()()//0,0,0 f x g x f x g x f f x g x += 且2则不等式的解集为()()()()()()()()2,02,;2,00,2;,22,;,20,2A B C D -⋃+∞-⋃-∞-⋃+∞-∞-⋃（10）台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为A 0 5小时B 1小时C 1 5小时D 2小时第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本题共4小题，共20分（11）211lim3,1x ax bx x →++=-已知则a= ,b= （12）体操委员会由10位女性委员和5位男性委员组成，委员会要抽6位委员组团出国考察，若以性别作分层，并在各层按比例抽样，则此考察团共有 种组成方式 （用数字作答）（13）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，0）与点（-1，1）重合，则这时与点（3，1）重合的点坐标为________DC ABC 1D1B 1A 1（14） 定义运算a*b 为：a*b=()()a ab b a b <⎧⎨≥⎩，例如，1*2=1，则25(c o s s i n ),(0,)42πααα*+∈的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）（本题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足21),2(0211=≥=⋅+-a n S S a n n n （Ⅰ）求证：{nS 1}是等差数列； （Ⅱ）求a n 的表达式（16）(本题满分13分)已知函数2(),(1)1xx f x a a x -=++ （Ⅰ）证明函数f(x)在(1,)-+∞上为单调增函数； （Ⅱ）证明方程f(x)=0没有负数根EDCBAP（17）（本题满分13分） 如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，cosDP，AE（Ⅰ）建立适当的空间坐标系，求出点E 的坐标；（Ⅱ）在平面PAD 内是否能够找到一点F ， 使EF ⊥平面PCB ？若存在，求出F 的坐标； 若不存在，则说明理由（18）（本题满分13分）高三（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为12，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验， （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望（19）（本题满分14分）已知a =(x,0)，b =(1，y), a b a b ⊥（ ）（）(Ⅰ)求点P(x ，y)的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若直线l ：y=kx+m(km ≠0)与曲线C 交于A B 两点，点D(0，-1)在线段AB 的垂直平分线上，试求实数m 的取值范围（20）(本题满分15分)由原点O 向三次曲线()3230y x ax bx a =-+≠引切线，切于不同于点O 的点()111,,P x y 再由1P 引此曲线的切线，切于不同于1P 的点()222,P x y ,如此继续地作下去，…，得到点列(){},,n n n P x y 试回答下列问题： （Ⅰ）求1;x（Ⅱ）1n n x x +求与的关系；（Ⅲ）若a>0, 求证：当n 为正偶数时，;.n n x a n x a <>当为正奇数时，高中数学必修内容训练试题（25）—会考模拟试题(8)参考答案及平分意见一、选择题（每小题5分）：DCBDC DBBDB 二、填空题（每小题4分）：（11） 4 , -5 （12） 2100 （13）(0,4) （14） 54解法提示：（1）显然集合M N 只有公共元素1故选D（2）由11cos21sin 2222242x y x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭,知T=π，选C （3） “p 或q ”形式的复合命题为假，即q p 皆假，B 中q p 皆假，故选B（4）所求距离为点A （4,3）到直线3x+4y=12的距离，选D（5）甲获胜的概率为22111510151012222525,,C C C C P P C C +==乙获胜的概率为易知12P P =,故选C（6）设左焦点为/F ，连结/MF ,则/1,2NO MF =∵a+c ＝12＞11，∴点M 不可能在双曲线左支上，由点M 在双曲线右支上，结合定义可得/MF =21，故选D（7）利用1111111C APQB C A PQB C AA B V V V ---==可得B（8）易知所求为面11A ABB 上到点B 的距离与到1A A 的距离相等的点轨迹，依抛物线的定义知选B（9） 由x<0时，()()/0f x g x ⋅⎡⎤⎣⎦ 知奇函数()()(),0y f x g x =⋅-∞在上为减函数，结合图象易知D 正确（10）如图，402BE CD CE ====＝20（千米），()20120=小时，选B （11）由()()()()22111111,ax bx x ax ax a x b a ++=--=-++=-+知()2111limlim 113,4, 5.1x x ax bx ax a a b x →→++=-=-=∴==-- （12） 易知考察团由4女2男组成，42105C C =210013 易得对称轴为直线y=x+1,设所求点为（m ，n ），由13122113n m n m ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩ 得04m n =⎧⎨=⎩14 ∵222155cos sin 1sin sin (sin )244ααααα+=-+=--+≤ 2255(cos sin )cos sin 44αααα∴*+=+≤ 255(cos sin )44αα∴*+的最大值为 三、解答题15 (本题满分12分)(Ⅰ)证明：)3,2,1(0),2(2,2111 =≠≥=+-∴⋅=----n S n S S S S S S a n n n n n n n n 2分 2111=-∴-n n S S …………………………………………………………… 4分 又21111==a S }1{n S ∴是以2为首项，2为公差的等差数列……………………………6分（Ⅱ）解：由（1）n n S n22)1(21=⋅-+= 12n S n ∴=...... (8)分当n ≥2时，)1(21)1(21211--=--=-=-n n n n S S a n n n （或n ≥2时，)1(2121--=-=-n n S S a n n n ） 当n=1时，2111==a S ………………………………………………………………10分 1,(1)21;(2)2(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-≥-⎪⎩……………………………………………………………………12分 （16）（本题满分13分）解：（Ⅰ）'''2(2)(1)(2)(1)()ln (1)xx x x x f x a a x -+--+=++＝22123ln ln (1)(1)xxx x a a a a x x +-++=+++……………………3分又∵ a ＞1， ∴ lna ＞0∴ 当x ＞－1时230,0(1)xa x + ， ∴f ′(x)＞0 ………………5分∴f(x)在(1,)-+∞上为单调递增函数 ……………………………………………6分（注：其它证法请参照给分）（Ⅱ）假设存在x 0＜0（x 0≠－1）满足f(x 0)＝0 …………………………7分则00021x x ax -=-+， 00201,011xx a x -∴-+ ……………8分 解得0122x <<，这与假设x 0＜0矛盾 …………………………………12分 ∴上假设不成立，即方程f(x)=0没有负数根 ………………13分 （注：其它解法请参照给分） （17）(本大题满分13分)解：（Ⅰ）以DA DC DP 所在直线分别为x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系，如图示：则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），…设P （0，0，2m ）（m>0）,则E （1，1，m ）， …2分∴ AE = （-1，1，m ），DP ＝（0，0，2m ）…3分 ∴ cos DP <，21AE m >==⇒= ，…∴ 点E 坐标是（1,1,1） ……………………………… 6分（Ⅱ）∵ ∈F 平面PAD ， ∴ 可设F （x ，0，z ）EF ⇒＝（分要使 EF ⊥平面PCB ，则须EF CB ⊥ ，且EF PC ⊥………………………… 8分即1(-x ，-1，)1-z (⋅2，0，)0=0, 且 1(-x ，-1，()1⋅-z 0，2，-2）=0, …10分 解得1x =, 0z = …………………………………………………………12分 ∴ 存在点F （1，0，0），即点F 是AD 的中点时，EF ⊥平面PCB ……………13分 （18）(本题满分13分)解：（I ）该事件为5次独立重复试验发生3次或4次或5次……………………1分∴P=P 5(3)+P 5(4)+P 5(5) …………………………………………………3分=345555511()()22C C C ++=……………………………………………6分（II ）ξ的可能取值分别为1，2，3，4，5 ……………………………7分分布列如下：……11分∴ E ξ=111113112345248161616⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………13分 （19）（本题满分14分）解：（Ⅰ）(,0),)()a x y x ==(,0),)()a x y x == …………………………1分∵ a b a b ⊥（ ）（）∴()()0a a = …………………………………………………2分∴0)3(3)3)(3(=-⋅+-+y y x x 得1322=-y x ∴P 点的轨迹方程为：2213x y -=…………………………………………5分（Ⅱ）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x mkx y 消去y ，得(1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0(*)…………7分 依题意知1-3k 2≠0, △=（-6km ）2-4（213k -）(-3m 2-3)=12（m 2+1-3k 2）>0 …8分设x 1,x 2为方程（*）的两根，AB 中点为（x 0，y 0） 则122613kmx x k+=- ……………………………………………………9分 22103132k km x x x -=+=∴ 2031k mm kx y -=+= 故AB 中点M 的坐标为(2313k km -，231km-)……………………………10分 ∴线段AB 的垂直平分线方程为： )313)(1(3122k kmx k k m y ---=--……11分将D(0，-1)坐标代入，化简得：4m=3k 2-1…………………………………12分故m k 满足⎪⎩⎪⎨⎧-=>-+134031222k m k m ，消去k 2得：m 2-4m>0，m>4或m<0,……………13分又∵4m=3k 2-1>-1 ,∴m>-41,故m ),4()0,41(+∞⋃-∈ ……14分（20）（本小题满分15分）（Ⅰ）解：由()32/23136,y x ax bx y x ax b =-+=-+得过曲线（1）上点()111,P x y 的切线1l 的方程是y-()321113x ax bx -+=()21136x ax b -+（x -1x ）,（10x ≠）………………2分 由它过原点，有()322111111336,x ax bx x x ax b -+-=--+()3211113230,.2ax ax x x =≠=即故 …… 4分 （Ⅱ）过曲线（1）上点()111,n n n P x y +++的切线1n l +的方程是()()()322111111336n n n n n n y x ax bx x ax b x x ++++++--+=-+-………………6分由()()11,,n n n n l P x y +过曲线上的点有()()()323221*********,n n n n n n n n n n x ax bx x ax bx x ax b x x ++++++-+--+=-+-∵11n n n n x x x x ++≠-,以除上式并化简得，1113230..22n n n n x x a x x a +++-==-+即 …… 9分（Ⅲ）由113.22n n x x a +=-+得()112n n x a x a +-=--……………………11分故{}12n a x a x a --=1是以为首项，公比为-的等比数列，2……………12分∴111,1.222n n n n a x a x a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即………………………………13分∵a>0,∴当n 为正偶数时，112n n x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11;2n a a ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦……14分当n 为正奇数时，112n n x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=112n a a ⎡⎤⎛⎫+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…15分（其它解法请参照给分）。