八年级上册数学《全等三角形》单元检测卷含答案

人教版数学八年级上学期《全等三角形》单元测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )A. 一个锐角和斜边对应相等B. 两条直角边对应相等C. 两个锐角对应相等D. 斜边和一条直角边对应相等2.已知△ABC≌△DEF,∠A=35°,那么∠D的度数是()A. 65°B. 55°C. 35D. 45°3.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=18,DE=3,AB=8,则AC长是( )A. 3B. 4C. 6D. 54.如图,已知△ABC≌△ADC,∠B+∠D=160°,则∠B的度数是( )学%科%网...A. 80°B. 90°C. 100°D. 120°5.如图,∠A=∠D,∠1=∠2,添加下列条件,可使△ABC≌△DEF的是( )A. AF=DFB. AB=DEC. AB=EFD. ∠B=∠E6.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AD=3,BD=5,则点D到BC的距离是( )A. 3B. 4C. 5D. 67.如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,AC∥DF,则∠C的对应角是( )A. ∠FB. ∠AGFC. ∠AEFD. ∠D8.如图,AD=AE,BE=CD,∠ADB=∠AEC=100°,∠BAE=70°,下列结论错误的是( )A. △ABE≌△ACDB. △ABD≌△ACEC. ∠DAE=40°D. ∠C=30°9.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O,若∠1=38°,则∠BDE的度数为( )A. 71°B. 76°C. 78°D. 80°10.如图,方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上,像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形,则图中与△DEF全等的格点三角形最多有( )个．A. 8B. 7C. 6D. 4二、填空题11.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上,若△ACE≌△ADE≌△BDE,则∠B的大小为_____．12.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,用HL证明△APD≌△APE需添加的条件是_______,(填一个即可)13.△ABC中,AB=5,AC=a,BC边上的中线AD=4,则a的取值范围是_____．14.两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB＝10,DO＝4,平移距离为6,阴影部分的面积为__________15.在数学活动课上,小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,如图．大家一起热烈地讨论交流,小英第一个得出如下结论：(1)AE平分∠DAB；(2)△EBA≌△DCE；(3)AB+CD=AD；(4)AE⊥DE；(5)AB∥CD．其中正确的结论是_____．(将你认为正确结论的序号都填上)16.如图,已知△ABC的周长是16,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D且OD=2,△ABC的面积是_____．17.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF．且AF=5,则DC=_____．18.已知：如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AF2=EC2﹣EF2；④BA+BC=2BF．其中正确的是_____．三、解答题19.已知：如图,AB=DE,AB∥DE,BE=CF,且点B、E、C、F都在一条直线上,求证：AC∥DF．20.如图,点M是线段AB中点,AD、BC交于点N,连接AC、BD、MC、MD,∠l=∠2,∠3=∠4．(1)求证：△AMD≌△BMC；(2)图中在不添加新的字母的情况下,请写出除了“△AMD≌△BMC”以外的所有全等三角形,并选出其中一对进行证明．21.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm；BC=6cm,点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动,直接写出经过多少秒后,点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．22.如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,∠D=∠E,∠BAD=∠CAE．(1)写出一对全等的三角形：△≌△；(2)证明(1)中的结论；(3)求证：点G为BC的中点．23.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,AD=CE．(1)若BC在DE的同侧(如图①)．求证：AB⊥AC．(2)若BC在DE的两侧(如图②),其他条件不变,(1)中的结论还成立吗？(不需证明)24.探究问题1 已知：如图1,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE,BF交于点M,连接DE,DF．若DE=kDF,则k的值为．拓展问题2 已知：如图2,三角形ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在三角形ABC的内部,且∠MAC=∠MBC,过点M分别作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接DE,DF．求证：DE=DF．推广问题3 如图3,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论．参考答案一、选择题1. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )A. 一个锐角和斜边对应相等B. 两条直角边对应相等C. 两个锐角对应相等D. 斜边和一条直角边对应相等【答案】C【解析】试题解析：A、可以利用角角边判定两三角形全等,故本选项正确；B、可以利用边角边或HL判定两三角形全等,故本选项正确；C、两个锐角对应相等,不能说明两三角形能够完全重合,故本选项错误；D、可以利用边角边判定两三角形全等,故本选项正确．故选C．考点：直角三角形全等的判定．2.已知△ABC≌△DEF,∠A=35°,那么∠D的度数是()A. 65°B. 55°C. 35D. 45°【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的对应角相等,即可得到∠D的度数.【详解】解: ∵△ABC≌△DEF,∠A=35°,∴∠D=∠A=35°.故选:C.【点睛】此题考查了全等三角形的性质,解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等的应用. 3.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=18,DE=3,AB=8,则AC长是( )A. 3B. 4C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】正确作出辅助线,根据角平分线的性质求出DH,再根据三角形的面积公式计算．【详解】作DH⊥AC于H,∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DH=DE=3,由题意得,×8×3+×AC×3=18,解得,AC=4,故选：B．学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...【点睛】本题考查了角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．4.如图,已知△ABC≌△ADC,∠B+∠D=160°,则∠B的度数是( )A. 80°B. 90°C. 100°D. 120°【答案】A【解析】【分析】根据全等三角形的性质求解即可．【详解】∵△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D,∵∠B+∠D=160°,∴∠B=80°,故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质,解题的关键是由全等三角形对应顶点放在对应位置结合图形准确确定对应角．5.如图,∠A=∠D,∠1=∠2,添加下列条件,可使△ABC≌△DEF的是( )A. AF=DFB. AB=DEC. AB=EFD. ∠B=∠E【答案】B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理结合所给条件可得需要添加一对对应边相等即可得到△ABC≌△DEF,再根据选项进行分析即可．【详解】A、添加AF=DF不能判定△ABC≌△DEF,故此选项错误；B、添加AB=DE利用AAS能得到△ABC≌△DEF,故此选项正确；C、添加AB=EF不能得到△ABC≌△DEF,故此选项错误；D、添加∠E=∠B不能得到△ABC≌△DEF,故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．6.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AD=3,BD=5,则点D到BC的距离是( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据题意作DH⊥BC于H,再根据角平分线的性质解答．【详解】作DH⊥BC于H,∵BD平分∠ABC,∠A=90°,DH⊥BC,∴DH=AD=3,故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7.如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,AC∥DF,则∠C的对应角是( )A. ∠FB. ∠AGFC. ∠AEFD. ∠D【答案】A【解析】【分析】由已知条件AC∥DF,BC∥EF,即可得到∠D=∠BAC,∠B=∠DEF,又因为△ABC≌△DEF,所以对应角相等,即可解答．【详解】∵△ABC≌△DEF,∴△ABC与△DEF的对应角相等；∵AC∥DF,BC∥EF,∴∠D=∠BAC,∠B=∠DEF,∵∠C是△ABC的一个内角,∴∠C的对应角为∠F,故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质,解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．8.如图,AD=AE,BE=CD,∠ADB=∠AEC=100°,∠BAE=70°,下列结论错误的是( )A. △ABE≌△ACDB. △ABD≌△ACEC. ∠DAE=40°D. ∠C=30°【答案】C【解析】【分析】结合已知条件与相关知识对四个选项逐一判断即可．【详解】A、正确．∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,∵BE=CD,∴△ABE≌△ACD(SAS),B、正确．∵△ABE≌△ACD,∴AB=AC,∠B=∠C,∵BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS),C、错误．∵∠ADB=∠AEC=100°,∴∠ADE=∠AED=80°,∴∠DAE=20°,D、正确．∵∠BAE=70°,∴∠BAD=50°,∵∠ADB=∠AEC=100°,∴∠B=∠C=30°,故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL,结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证即可．9.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O,若∠1=38°,则∠BDE的度数为( )A. 71°B. 76°C. 78°D. 80°【答案】A【解析】【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED,可知：EC=ED,∠C=∠BDE,根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数,从而可求出∠BDE的度数；【详解】：∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中,,∴△AEC≌△BED(ASA)．∴EC=ED,∠C=∠BDE．在△EDC中,∵EC=ED,∠1=38°,∴∠C=∠EDC=71°,∴∠BDE=∠C=71°．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定解决问题．10.如图,方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上,像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形,则图中与△DEF全等的格点三角形最多有( )个．A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】A【解析】【分析】认真观察图形,根据SSS判定两三角形全等即可解答．【详解】如图所示：2×3排列的可找出9个全等的三角形,除去△DEF外有8个与△DEF全等的三角形：△DAF,△BGQ,△CGQ,△NFH,△AFH,△CKR,△KRW,△CGR．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定,应用SSS判定三角形全等,注意观察图形,数形结合是解决本题的关键．二、填空题11.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上,若△ACE≌△ADE≌△BDE,则∠B的大小为_____．【答案】30°．【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得出∠C=∠EDA=∠EDB=90°和∠B=∠BAE=∠CAE,进而求出∠B．【详解】∵△ADE≌△BDE则∠ADE=∠BDE,又∵∠ADE+∠BDE=180°,∴∠ADE=∠BDE=90°,∵△ACE≌△ADE,∴∠C=∠ADE=90°,∴∠CAB+∠B=90°,又∵△ACE≌△ADE≌△BDE,∴∠CAE=∠EAD=∠B=×90°=30°,故答案为：30°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质,解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．12.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,用HL证明△APD≌△APE需添加的条件是_______,(填一个即可)【答案】AD=AE(答案不唯一)【解析】【分析】根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形,有一组公共边AP,可再添加一个边的条件或加一个角的条件,可以判定△APD≌△APE．【详解】解：∵PD⊥AB,PE⊥AC,∴∠ADP=∠AEP=90°,在Rt△ADP和△AEP中,∴Rt△APD≌Rt△APE(HL)∴可添加的条件是：AD=AE；【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理,注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS．13.△ABC中,AB=5,AC=a,BC边上的中线AD=4,则a的取值范围是_____．【答案】3＜a＜13【解析】【分析】先延长AD到E,且AD=DE,并连接BE,由于∠ADC=∠BDE,AD=DE,利用SAS易证△ADC≌△EDB,从而可得AC=BE,在△ABE中,再利用三角形三边的关系,可得5-a＜AE＜5+a,从而易求＜AD＜．【详解】延长AD到E,使AD=DE,连接BE,∵AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=DC,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=a,在△AEB中,AB﹣BE＜AE＜AB+BE,即5﹣a＜2AD＜5+a,∴＜AD＜,∵AD=4,∴a的取值范围是3＜a＜13,故答案为：3＜a＜13.【点睛】本题考查了三角形三边关系：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边．14.两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB＝10,DO＝4,平移距离为6,阴影部分的面积为__________【答案】48【解析】试题分析：由平移的性质得,DE=AB,BE=6,再根据AB=10,DH=4,得出HE=DE-DH=AB-DH,阴影部分的面积由(HE+AB)×BE×,即可得出答案试题解析：∵两个三角形大小一样,∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积,由平移的性质得,DE=AB,BE=6,∵AB=10,DH=4,∴HE=DE﹣DH=10﹣4=6,∴阴影部分的面积=×(6+10)×6=48．点睛：本题是一道关于平移的题目,应熟练掌握直角梯形的面积公式来解答题目；根据题意,平移后两个三角形大小一样,即阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；视频15.在数学活动课上,小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,如图．大家一起热烈地讨论交流,小英第一个得出如下结论：(1)AE平分∠DAB；(2)△EBA≌△DCE；(3)AB+CD=AD；(4)AE⊥DE；(5)AB∥CD．其中正确的结论是_____．(将你认为正确结论的序号都填上)【答案】(1)(3)(4)(5)．【解析】【分析】可以通过作辅助线来得解,取AD的中点F,连接EF．根据平行线的性质可证得(1)(4)(5),根据梯形中位线定理可证得(3)正确．根据全等三角形全等的判定可证得(2)的正误,即可得解．【详解】如图：取AD的中点F,连接EF．∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD；[结论(5)正确],∵E是BC的中点,F是AD的中点,∴EF∥AB∥CD,2EF=AB+CD(梯形中位线定理)①；∴∠CDE=∠DEF(两直线平等,内错角相等),∵DE平分∠ADC,∴∠CDE=∠FDE=∠DEF,∴DF=EF；∵F是AD的中点,∴DF=AF,∴AF=DF=EF②,由①得AF+DF=AB+CD,即AD=AB+CD；[结论(3)正确],由②得∠FAE=∠FEA,由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA,∴∠FAE=∠EAB,即EA平分∠DAB；[结论(1)正确],由结论(1)和DE平分∠ADC,且DC∥AB,可得∠EDA+∠DAE=90°,则∠DEA=90°,即AE⊥DE；[结论(4)正确]．由以上结论及三角形全等的判定方法,无法证明△EBA≌△DCE,结论(2)错误．正确的结论有(1)(3)(4)(5),故答案为：(1)(3)(4)(5)．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、梯形中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点,是一道难度较大的综合题型．16.如图,已知△ABC的周长是16,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D且OD=2,△ABC的面积是_____．【答案】16．【解析】【分析】过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2,根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和,即可作答．【详解】过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,∵OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,∴OE=OD,OD=OF,即OE=OF=OD=2,∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC,=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD,=×2×(AB+AC+BC),=×2×16=16,故答案为：16．【点睛】本题考查了角平分线性质,三角形的面积,解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．17.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF．且AF=5,则DC=_____．【答案】5.【解析】【分析】根据AAS证△AFE≌△DBE,推出AF=BD,即可得出答案；【详解】∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,∴AE=DE,BD=CD,在△AFE和△DBE中,∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD,∴AF=DC=5．故答案为：5.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,解题的关键是根据AAS证△AFE≌△DBE．18.已知：如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AF2=EC2﹣EF2；④BA+BC=2BF．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD≌△EBC,可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC,再利用勾股定理即可判定③正确；过E作EG⊥BC 于G点,证明Rt△BEG≌Rt△BEF及Rt△CEG≌Rt△AFE,根据全等三角形的性质可得AF=CG,所以BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF,即可判定④正确.【详解】①∵BD为△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△EBC中,,∴△ABD≌△EBC(SAS),∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线,BD=BC,BE=BA,∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA,∵△ABD≌△EBC,∴∠BCE=∠BDA,∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,∴∠DCE=∠DAE,∴△ACE为等腰三角形,∴AE=EC,∵△ABD≌△EBC,∴AD=EC,∴AD=AE=EC,∵EF⊥AB,∴AF2=EC2﹣EF2；∴③正确；④如图,过E作EG⊥BC于G点,∵E是BD上的点,∴EF=EG,在Rt△BEG和Rt△BEF中,,∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL),∴BG=BF,在Rt△CEG和Rt△AFE中,,∴Rt△CEG≌Rt△AFE(HL),∴AF=CG,∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF,∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．三、解答题19.已知：如图,AB=DE,AB∥DE,BE=CF,且点B、E、C、F都在一条直线上,求证：AC∥DF．【答案】详见解析【解析】【分析】首先利用平行线的性质∠B=∠DEF,再利用SAS得出△ABC≌△DEF,得出∠ACB=∠F,根据平行线的判定即可得到结论．【详解】证明：∵AB∥DE,∴∠B=∠DEC,又∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠F,∴AC∥DF．【点睛】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20.如图,点M是线段AB中点,AD、BC交于点N,连接AC、BD、MC、MD,∠l=∠2,∠3=∠4．(1)求证：△AMD≌△BMC；(2)图中在不添加新的字母的情况下,请写出除了“△AMD≌△BMC”以外的所有全等三角形,并选出其中一对进行证明．【答案】(1)详见解析；(2)△AMC≌△BMD,△ABC≌△BAD,△ACN≌△BDN．【解析】【分析】(1)根据ASA即可判断；(2)全等三角形有：△AMC≌△BMD,△ABC≌△BAD,△ACN≌△BDN．根据三角形全等的判定方法一一判断即可.【详解】(1)∵点M是AB中点,∴AM=BM,∵∠1=∠2,∴∠AMD=∠BMC,在△AMD和△BMC中,,∴△AMD≌△MBC(ASA)；(2)△AMC≌△BMD,△ABC≌△BAD,△ACN≌△BDN．理由：∵△AMD≌△MBC,∴AD=BC,∵∠3=∠4,AB=BA,∴△BAD≌△ABC(SAS),∴AC=BD,∠BDN=∠ACN,∵∠ANC=∠BND,∴△ANC≌△BND(AAS),∵AC=BD,∠CAM=∠DBM,AM=BM,∴△AMC≌△BMD(SAS)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．21.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm；BC=6cm,点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动,直接写出经过多少秒后,点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．【答案】(1)①△BPD与△CQP全等,②点Q的运动速度是cm/s．(2)经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC 的边BC上相遇．【解析】【分析】(1)①根据SAS即可判断；②利用全等三角形的性质,判断出对应边,根据时间．路程、速度之间的关系即可解决问题；(2)求出Q的运动路程,与根据三角形ABC周长的整数倍进行比较,即可得出相遇点的位置．【详解】(1)①△BPD与△CQP全等,∵点P的运动速度是1cm/s,∴点Q的运动速度是1cm/s,∴运动1秒时,BP=CQ=1cm,∵BC=6cm,∴CP=5cm,∵AB=10,D为AB的中点,∴BD=5,∴BD=CP,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△BPD≌△CQP．②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,则BP≠CQ,若△BPD与△CQP全等,只能BP=CP=3cm,BD=CQ=5cm,此时,点P运动3cm,需3秒,而点Q运动5cm,∴点Q的运动速度是cm/s．(2)设经过t秒时,P、Q第一次相遇,∵P的速度是1厘米/秒,Q的速度是厘米/秒,∴10+10+t=t,解得：t=30,此时点Q的路程=30×=50(厘米),∵50＜2×26,∴此时点Q在BC上,∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用,解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．22.如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,∠D=∠E,∠BAD=∠CAE．(1)写出一对全等的三角形：△≌△；(2)证明(1)中的结论；(3)求证：点G为BC的中点．【答案】(1)△ABE≌△ACD．(2)详见解析.(3)详见解析.【解析】【分析】(1)结论：△ABE≌△ACD．(2)根据AAS即可证明；(3)只要证明FB=FC,可得AF垂直平分线段BC即可解决问题；【详解】(1)解：结论：△ABE≌△ACD．(2)证明：∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAE=∠CAD,在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD．故答案为ABE,ACD．(3)证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴BF=CF,∵AB=AC,∴AF垂直平分线段BC,∴BG=GC,∴点G为BC的中点.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．23.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,AD=CE．(1)若BC在DE的同侧(如图①)．求证：AB⊥AC．(2)若BC在DE的两侧(如图②),其他条件不变,(1)中的结论还成立吗？(不需证明)【答案】(1)详见解析；(2)AB⊥AC.【解析】【分析】(1)根据直角三角形全等的判定方法HL易证得△ABD≌△CAE,可得∠DAB=∠ACE,再根据三角形内角和定理即可证得结论；(2)与(1)同理结论仍成立．【详解】(1)证明：∵BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,∴△ABD和△CAE均为直角三角形．在Rt△ABD和Rt△CAE中,,∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴∠ABD=∠CAE．又∵∠ABD+∠BAD=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,∴∠BAC=180°﹣(∠CAE+∠BAD)=90°,∴AB⊥AC．(2)解：AB⊥AC,理由如下：同(1)可证出：Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴∠ABD=∠CAE．又∵∠ABD+∠BAD=90°,∴∠BAC=∠CAE+∠BAD=90°,∴AB⊥AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．24.探究问题1 已知：如图1,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE,BF交于点M,连接DE,DF．若DE=kDF,则k的值为．拓展问题2 已知：如图2,三角形ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在三角形ABC的内部,且∠MAC=∠MBC,过点M分别作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接DE,DF．求证：DE=DF．推广问题3 如图3,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论．【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3)DE=DF,理由见解析.【解析】【分析】(1)利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE=DF；(2)利用等腰三角形的性质和判定得出结论,从而判定△MEB≌△MFA(AAS),得到DE=DF．(3)利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS证明△DHE≌△FGD可得．【详解】(1)∵AE⊥BC,BF⊥AC∴△AEB和△AFB都是直角三角形∵D是AB的中点∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线∴DE=AB,DF=AB(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)∴DE=DF∵DE=kDF∴k=1(2)∵CB=CA∴∠CBA=∠CAB∵∠MAC=∠MB∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC即∠ABM=∠BAM∴AM=BM∵ME⊥BC,MF⊥AC又∵∠MBE=∠MAF∴△MEB≌△MFA(AAS)∴BE=AF∵D是AB的中点,即BD=AD又∵∠DBE=∠DAF∴△DBE≌△DAF(SAS)∴DE=DF(3)DE=DF如图1,作AM的中点G,BM的中点H,∵点 D是边 AB的中点∴DG∥BM,DG=BM同理可得：DH∥AM,DH=AM∵ME⊥BC于E,H 是BM的中点∴在Rt△BEM中,HE=BM=BH∴∠HBE=∠HEB∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC又∵DG=BM,HE=BM∴DG=HE同理可得：DH=FG,∠MGF=2∠MAC ∵DG∥BM,DH∥GM∴四边形DHMG是平行四边形∵∠MGF=2∠MAC,∠MHE=2∠MBC又∵∠MBC=∠MAC∴∠MGF=∠MHE∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE∴∠DGF=∠DHE在△DHE与△FGD中,∴△DHE≌△FGD(SAS),∴DE=DF【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时,用到的知识点比较多,用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．。