《高等数学》 第四章 不定积分的概念和性质1—2节 课堂笔记及练习题
第四章 不定积分
第四章 不定积分从这一章到第六章，将讨论一元函数积分学。
积分学中有两个基本概念，即不定积分与定积分。
本章先讨论不定积分的概念、性质与基本积分法。
§4.1 不定积分的概念与性质一、微分法的逆问题例1 如果已知质点的运动规律由方程)(t f s =给出，即距离（路程）s 是时间t 的函数。
由微分学知道，求函数)(t f 的导数，就得到物体在时刻t 的瞬时速度)('t f v =。
但是，在物理学中，会遇到相反的问题：已知物体在任意时刻t 的速度)(t v v =，求这个物体的运动规律，即求出物体运动所经过的路程s 和时间t 的函数关系)(t f s =，并且使得)()('t v t f =。
这就是微分法的逆问题。
例2 如果已知某产品的产量p 是时间t 的函数)(t p p =，则求该产品产量在时刻t 的变化率，就是求产量函数)(t p p =对时间t 的导数)(''t p p =。
但在实际问题中，也会遇到相反的问题，即已知某产品产量在任意时刻t 的变化率是时间t 的函数)(t Q Q =，求该产品产量p 与时间t 的函数关系)(t p p =，且使得)()('t Q t p =。
这也是微分法的一个逆问题。
抽去上述问题的具体内容，从数学上说，已知函数)(x f y =，求它的导数或微分：)(''x f y = 或 dx x f dy )('=这是微分法的问题。
反之，如果已知某函数)(x F 的导数或微分)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=求原来的函数)(x F ，且使得)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=。
这就是微分法的逆问题，也就是本章所讨论的中心问题。
二、原函数与不定积分定义1 假设)(x f 是定义在某一区间I 上的函数，如果存在函数)(x F ，使在这个区间I 上每一点x 都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
高数上册第4章不定积分
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 x ex x ex 分析: x x x e (1 x e ) x e x (1 x e x )
( x 1) e x dx xe x dx e x dx
n 2 k 1 或 sin x cos x (其中k N ) (i). 对于 型函数的积分，可依次作变换 u cos x 或 u sin x ，求得结果 .
2k 2l (ii). 对于 sin x cos x(其中k , l N ) 型函数的积分
可利用倍角公式： sin 2 x 1 cos 2 x ,cos 2 x 1 cos 2 x
得
1 ∴原式 = 2 (cos 5 x cos x)dx 1 1 cos 5 xd (5 x) cos xdx 10 2
1 cos 3x cos 2 x (cos 5 x cos x) 2
例11. 求 解: 原式 =
e
ex
x
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x 2 sec x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
则
推论: 若
k
i 1
n
i
f i ( x ) dx k i f i ( x )dx
i 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
高等数学第四章不定积分习题知识讲解
第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。
2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________. 3．因为dxx x d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。
二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ]4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。
（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。
（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。
(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。
第四章 不定积分
第四章 不定积分4.1 内容提要与基本要求一、内容提要1．原函数与不定积分的定义原函数：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x ∈I ，都有：()()F x f x '=或()()dF x f x dx =则称()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数．()f x 的原函数如果存在，则不唯一，且相差一个常数．不定积分：函数()f x 在区间上的原函数的全体称为()f x 的不定积分．记为：()f x dx⎰．设()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数， 则：()()f x dx F x C =+⎰，其中：()f x 称为被积函数，⎰称为积分号，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数．2.不定积分的性质()()df x dx f x dx =⎰或()()d f x dx f x dx =⎰ ()()F x dx F x C '=+⎰ 或()()dF x F x C =+⎰ [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰ ()()kf x dx k f x dx =⎰⎰3．基本积分公式： （1）dx x C =+⎰ （2）111x dx x C μμμ+=++⎰ (1)μ≠ （3）1ln dx x C x=+⎰（4）ln xxa a dx C a=+⎰ x x e dx e C =+⎰（5）2211arctan xdx C x a a a =++⎰ (1)a ≠ （6）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰ (1)a ≠ （7）arcsin xC a =+ (0)a >（8）ln |x C =+（9）2arcsin 2z x C a =+（10）2ln 2a x C =++（11）sin cos xdx x C =-+⎰ （12）cos sin xdx x C =+⎰ （13）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （14）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （15） sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （16）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰ （17）2sec tan xdx x C =+⎰ （18）2csc cot xdx x C =-+⎰ （19）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （20）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 4．基本积分法不定积分的计算一般有三种方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法．另外对某些特殊函数有特殊类型的函数积分法．直接积分法：直接或将被积函数经恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分．换元积分法：利用变量代换，将积分化简．换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法．换元公式分别为：()[()]()()t x f x x dxf t dt ϕϕϕ='=⎰⎰令； ()()[()]()x t f x dxf t t dt ϕϕϕ='=⎰⎰令通过换元将等式左边关于变量x 的积分化为关于变量t 的积分．此时自然要求右边的积分比左边的积分容易 ，换元积分的关键在于变换的选取．注意：在第二换元公式中函数()t ϕ应满足单值可导、原函数存在且()0t ϕ'≠， 在完成积分后必须将变量代回原变量．分部积分法：设函数()u u x =、()v v x =具有连续导数，则uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰． 如果()f x dx ⎰中的()f x 能表示为()()u x v x '，当u vd x '⎰不易求出，而u vdx vdu'=⎰⎰容易积出时，可用分部积分公式．可以说分部积分法也是一种化简积分的方法．特殊类型函数的积分 (1)有理函数的积分：()()P x dx Q x ⎰，其中(),()P x Q x 为多项式． (2)三角有理函数的积分：(sin ,cos )R x x dx ⎰ (3)简单无理函数的积分．上述特殊类型的函数有其特有的积分方法，具体做法结合下面例题加以介绍．二、基本要求1．不定积分的概念：理解原函数、不定积分的概念2．不定积分的性质：掌握不定积分的基本公式、不定积分的性质 3．积分方法：掌握换元积分法和分部积分法4．有理函数的积分：会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分4.2 基础篇一、填空题1． 一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______；()x f 的________称为()x f 的不定积分；若()x f 在某区间上______，则在该区间上()x f 的原函数一定存在．2．经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 ． 3．已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = ．4．(103sin x x dx +=⎰ ．5．设()arctan xf x dx x C =+⎰，则()f x =_____________________________．6．设()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的原函数全体为__________________．7．d =______________________．8．设()f x 的一个原函数为21x +，则()f x dx ⎰=_________________． 9．设()f x 的一个原函数为2x e -，则()f x =_________________．10．设21()ln(31)6f x dx x C =-+⎰,则()f x = ．11．在积分曲线族⎰dx x x 中，过点（0，1）的曲线方程是_____________． 12．设()x f 的一个原函数为ln x ，则()='x f _________________． 13．若⎰+=C x dx x f )(，则⎰=-dx x f )1(_________________． 14．设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=-dx ax b f )(____________________． 15．='+⎰dx x f x x f )]()([_____________________．二、计算题1．313()x dx x x +-⎰ 2． 421x dx x +⎰3． 2tan xdx ⎰ 4． 2sin 2xdx ⎰5． 25)x dx - 6． 27． 3e x x dx ⎰ 8． 2cos 2xdx ⎰9． 2cos 2xdx ⎰ 10． 1d 25x x +⎰11．⎰ 12．3sin xdx ⎰13．14． 5e d t t ⎰15．3(32)x dx -⎰ 16．d 12xx-⎰17．18．t19．102tan sec x xdx ⎰ 20．2x xe dx -⎰21．d e e x xx -+⎰22．x 23．343d 1x x x-⎰ 24． 3sin d cos x x x ⎰ 25．ln d x x ⎰ 26． cos d x x x ⎰ 27．arctan d x x x ⎰ 28． e d x x x ⎰ 29．sin d x x x ⎰ 30．e d x x x -⎰三、证明与应用题1．一曲线通过点2(,3)e ，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．2．知一曲线)(x f y =在点（y x ,）处的切线斜率为2sec sin x x +，且此曲线与y 轴的交点为（0，5），求此曲线的方程．3． 设生产某产品x 单位的总成本C 是x 的函数()C x ,固定成本(即(0)C )为20元,边际成本函数为()210C x x '=+(元/单位),求总成本函数．4． 设某产品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000(即0P =时1000Q =),已知需求量的变化率(边际需求)为1()1000ln 44PQ P ⎛⎫'=-⋅ ⎪⎝⎭,求需求量Q 与价格P 的函数关系．5．证明函数arcsin(21),arccos(12x x --的原函数．4.3 提高篇一、填空题1．若sin x 是()f x 的一个原函数，则()x f x dx '=⎰ ． 2．()arcsin 2f x dx x C =+⎰，则()f x =____________________． 3．设()sin f x dx x C =+⎰，则=⎰______________．4．()sin 2f x dx x C =+⎰，则()f x '=_____________________． 5．设)(x f 的一个原函数为xxsin ，则='⎰dx x f x )2( _________________． 6．设ln(1)(ln )x f x x+=，计算()f x dx ⎰_____________________． 7．已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()f x =___________________．8．设()f x 的一个原函数为xe x，计算(2)xf x dx '⎰=___________________．9．()1sin f x x =+,则()f x 的原函数全体为__________________． 10．设()f x 为ln x 的一个原函数，且(1)1f =-，则()f x dx x⎰=________________． 二、计算题1．⎰2．3．arcsin e d e xxx ⎰ 4．.)1(232arctan dx x xe x ⎰+ 5．2arctan xxe dx e⎰ 6．3sec xdx ⎰ 7． 8． 9．2523x dx x x ++-⎰10．=⎰11．sin(ln )x dx ⎰ 12．sin 22sin dxx x+⎰13．21sin sin n x dx x ⎰ 14．11sin dx x+⎰15．ln(1(0)dx x +>⎰ 三、综合题1．已知函数()f x 有二阶连续导数，证明：1(21)(21)(21)24x xf x dx f x f x C '''-=---+⎰ 2．已知⎰⎰++=dx e f e c edx e f e x x xx x )(,11)(22求． 3．⎰'=xdx x f xe x f x ln )(,)(求已知．4．已知2(ln )x 是()f x 的一个原函数，求()xf x dx ''⎰． 5．已知生产某商品x 单位时,边际收益函数为()10020xR x '=-(元/单位),求生产x 单位时总收益()R x 以及平均单位收益()R x ,并求生产这种产品1000单位时的总收益和平均单位收益．4.4 自测篇一、选择题（每题3分，共18分，共6小题）1．若()f x 的一个原函数为ln xx，则()xf x dx '=⎰（ ）． A ． ln x C x + B ． 21ln x C x ++ C ． 1C x + D ． 12ln xC x-+ 2．设()sin f x dx x C =+⎰，则=⎰( ) ．A ． arcsin x C +B ．C C ．21(arcsin )2x C + D ． x C + 3．若()1x f e x '=+，则()f x 为（ ）．A ．1ln x + B ．22x x C ++ C ．ln x x C + D ．2ln ln 2xx C ++ 4．)(x f 在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在．A ． 有极限存在;B ． 连续;C ． 有界;D ． 有有限个间断点． 5．设()f x 有连续的导函数，且0,1a ≠，则下列命题正确的是（ ）．A ．1()()f ax dx f ax C a'=+⎰; B ． ()()f ax dx f ax C '=+⎰; C ． (())()f ax dx af ax ''=⎰; D ． ()()f ax dx f x C '=+⎰．6．若C ,则()f x =( ) ．A ． 22x xe ;B ．222x x e ;C ． 2x xe ;D ．22(1)x xe x +．二、填空题（每题3分，共18分，共6小题）1．若2x e 是()f x 的一个原函数，则 ()x f x dx '=⎰ ． 2．设()tan 2f x dx x c =+⎰，则2(arctan )1f x dx x=+⎰______________． 3．设()f x 的一个原函数为sin xx，计算(2)xf x dx '⎰=___________________． 4．2()x f x e -=,则()f x 的原函数全体为__________________． 5．设()f x 为x xe 的一个原函数，且(0)1f =-，则()1f x dx x -⎰=________________． 6．设()x x xf e e=，计算()f x dx ⎰_____________________． 三、计算题（每题5分，共50分，共10小题）1． 2．dx x x x ⎰++21arctan 3．2ln x xdx ⎰ 4．25．21(1)(1)dx x x ++⎰6．11x dx e +⎰7．dx x x x ⎰+4sin 1cos sin 8．7(1)dxx x +⎰ 9．10．⎰+xdx x x arctan 122四、综合题（每题7分，共14分，共2小题）1．⎰'=dx x f x f x x x f )()(,cos )(ln 求已知．2．设()F x 为()f x 的原函数，且(0)1F =，当0x ≥时，有2()()sin 2,()0f x F x x F x =≥，求()f x ．4.5 习题解答4.2 基础篇答案一、填空题1． 无限，常数，原函数全体，连续； 2． 21y x =+； 3． 2x x +；4． 321023cos ln103x x x C --+； 5． 21(1)x x +；6． 1212sin (,x C x C C C -++为任意常数）； 7． ； 8． 21x C ++； 9． 22xe--； 10．231xx -； 11． 52215y x =+； 12． 21x -；13．x C +； 14． 1()F b ax C a--+； 15． ()xf x C +．二、 计算题1．原式=13213xdx dx x dx x dx x-+-+⎰⎰⎰⎰=322223ln ||232x x x x C -+--+．2．原式=42111x dx x -+=+⎰221(1)1x dx x -+=+⎰313x －x +arctan x +C ． 3．原式=2(sec 1)x dx -=⎰2sec xdx -⎰tan dx x x C =-+⎰．4．原式=11(1cos )(sin )22x dx x x C -=-+⎰．5．原式=32571222210(5)73x x dx x x C -=-+⎰．6．原式=33511122222242(2)235x x x dx x x x C --+=-++⎰．7．原式=3(3)1ln 3x xxe e dx C =++⎰． 8．原式=1cos sin 22x x xdx C ++=+⎰． 9．原式=cos 22sin 2xd x x C =+⎰．10．原式=111(25)ln |25|2252d x x C x +=+++⎰．11．原式=21)'2x dx --21u x =-令12-3322211(1)33u C x C =-+=--+．12．原式= 2231(1cos )sin (1cos )cos cos cos 3x xdx x d x x x C -=--=-++⎰⎰13．原式= 23e ⎰＝23e C ．14．原式=5511(5)55t t e d t e C =+⎰．15．原式=()341132(32)(32)28x d x x C ---=--+⎰．16．原式=111(12)ln |12|2122d x x C x --=--+-⎰． 17．原式=123311(23)(23)(23)32x d x x C ----=--+⎰．18．原式=2C==-⎰． 19．原式=10111tan (tan )tan 11xd x x C =+⎰．20．原式=22211()22x x e d x e C ----=-+⎰．21．原式=221()arctan 11()x x xx x e dx d e e C e e ==+++⎰⎰． 22．原式=112222211(23)(23)(23)63x d x x C ----=--+⎰．23．原式=444313(1)ln |1|414d x x C x --=--+-⎰． 24．原式=332sin 1cos (cos )cos 2cos x dx xd x C x x-=-=-+⎰⎰． 25．原式=ln d(ln )ln d ln x x x x x x x x x x C -=-=-+⎰⎰． 26．原式=dsin sin sin sin cos x x x x xdx x x x C =-=++⎰⎰．27．原式=2222111arctan d()arctan 2221x x x x x dx x =-+⎰⎰222111111arctan (1)d arctan arctan 221222x x x x x x x C x =--=-+++⎰． 28．原式=de x x x x x x xe e dx xe e C =-=-+⎰⎰．29．原式=sin d x x x ⎰=(cos )cos cos cos sin xd x x x xdx x x x C -=-+=-++⎰⎰ 30．原式=()x x x x x xd e xe e dx xe e C ------=-+=--+⎰⎰．三、证明与应用题1．解：令曲线方程为()y f x =，则1()f x x'=， 故1()ln ||f x dx x C x==+⎰，由曲线通过点2(,3)e ，知1C =，所求曲线方程为ln ||1y x =+．2．解：由题意知2()sec sin f x x x '=+，2()(s e c s i n )t a n c o s y f xx x d x x x C ==+=-+⎰，且曲线经过点（0,5），故6C =，所以曲线方程为tan cos 6y x x =-+．3．解：2()(210)10C x x dx x x c =+=++⎰，且20c =，则总成本函数为2()1020C x x x =++．4．解：3311()10ln 41044P PQ P dP C ⎛⎫⎛⎫=-⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，且0C =，故31()104PQ P ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．证明：arcsin (21)x '-===arccos (12)2arctan x '-=====4.3 提高篇答案一、填空题1． cos sin x x x C ++； 2．3． x C +； 4． 4sin 2x -；5． cos 2sin 24x x x C x -+； 6． ln(1)(1)x xe e x C ++-+； 7． 2ln ||2x ；8．224x xe x e C x-+； 9． cos x x C -+； 10． ln 2x x x C -+． 二、计算题1． 原式=arcsin x -=+⎰x x C =++．2．原式222arctan C ===⎰．3． 原式2arcsin e arcsin 1arcsin e x x x u dx u e du ud u u===-⎰⎰⎰令1arcsin u u =-+令t =tdt udu =-，则211111()ln ||(1)21121dt t dt C t t t t -==-=+--++⎰⎰1ln ||ln |1|ln 2C u C =+=-+原式arcsin ln |1|x x e e x C -=-+-+． 4． 原式arctan tan tan sin cos sin sec cos t x t t tt xte t I dt t e dt e tdt t t ====⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==t t t t t tde t e tdt e t e tde cos sin cos sin sin --=--=⎰t e t e tdt e t e t e t t t t t cos sin sin cos sin Iarctan arctan 1111sin cos sin(tan )cos(tan )2222t t x x I e t e t C e x e x C =-+=⋅-⋅+． 5． 原式221arctan arctan 2x x x x e e dx e de --==-⎰⎰22211arctan 221x x xx xe e e e dx e--=-++⎰ 22221arctan 1111arctan (arctan )2212x x xx x x x x xe e e de e e C e e e----+-=--=-++++⎰． 6． 原式2sec tan sec tan tan sec I xd x x x x xdx ==-⎰⎰3sec tan (sec sec )sec tan ln |sec tan |x x x x dx x x x x I =--=+--⎰1(sec tan ln |sec tan |)2I x x x x C =+-+．7． 21,1t x t ==-， 原式2222221111(1)22(ln ||)(1)121t t t t t dt dt t C t t t --+-=-=-=-++--+⎰⎰C =-+．8． 原式=+21(32)2x x =---1arcsin2xC +=-． 9． 原式22142323x dx dx x x x x +=++-+-⎰⎰ 222114(23)223(1)4d x x dx x x x =+-++-+-⎰⎰ 211ln |23|2ln ||23x x x C x -=+-+++．10． 22,1,t x t xdx tdt ==-=-，原式2arctan (1)dtt C C t -==-+=-+⎰． 11． 令ln x t =，t x e =原式sin t tde =⎰sin cos t t te e tdt =-⎰sin cos t t te tde =-⎰sin cos sin(ln )t t te te x dx =--⎰sin(ln )x dx ⎰1(sin cos )2t t te te C =-+1[sin(ln )cos(ln )]2x x x x C =-+． 12． 令tan2xu =， 原式22111111()ln ||tan ln |tan |4848242x xt dt t t C C t =+=++=++⎰13． 原式22ln sin csc ln sin cot cot ln sin cot x xdx xd x x x xdx ==-=-+⎰⎰⎰2cot ln sin (csc 1)cot ln sin cot x x x dx x x x x C =-+-=---+⎰．14． 原式221sin 1sin 1sin cos x xdx dx x x--==-⎰⎰ 2sec tan sec tan sec xdx x xdx x x C =-=-+⎰⎰．15． 21,1t x t ==-，原式21ln(1)1t dt =+-⎰22111ln(1)111t dt t t t=+---+⎰ 21ln(1)1t t =+-21112[]411(1)dt t t t ----++⎰ 21ln(1)1t t =+-1111ln ||4121t C t t ---+++11ln(1ln 22x x C =-+． 三、综合题1．证明：111(21)(21)(21)(21)222xf x dx xdf x xf x f x dx '''''-=-=---⎰⎰⎰ 11(21)(21)(21)24xf x f x d x ''=----⎰ 1(21)(21)24x f x f x C '=---+． 2．解：21(),1x x x e f e dx c e =++⎰21()1=()x xxe f e e '+ 221()()1x x x x x x xe f e dx e e f e dx e d e +⎰⎰⎰==222arctan 111x x x x x x x e e e dx e e e e+++⎰=-=-+C ． 3．解：()()ln ln ()()ln f x f x xdx xdf x f x x dx x'==-⎰⎰⎰ln x x xe x e C =-+．4．解：22ln 1ln ()[(ln )]2,()2x xf x x f x x x-''=== ()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx '''''==-⎰⎰⎰1ln ln 24ln 22x x xC C x x x--=-+=+． 5．解：2()(100)1002040x x R x dx x C =-=-+⎰,又(0)0R =,故0C =,得2()10040x R x x =-,()()10040R x xR x x ==-．21000(1000)10010002500040R =⨯-=(元)．(1000)1000(1000)10075100040R R ==-=(元)．4.4 自测篇答案一、选择题（每题3分，共18分）1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D二、填空题（每题3分，共18分）1．222x x xe e C -+； 2．tan(2arctan )x C +； 3．cos 2sin 24x x xC x-+；4．212x e C --+； 5．xe C +； 6．2ln 2x C +． 三、计算题（每题5分，共50分）1．原式322(1ln )(1ln )3x x C =--=--+．2．原式2222arctan 11ln(1)arctan 1122x x dx dx x x C x x =+=+++++⎰⎰． 3．原式33233ln ln ln 33339x x x x x xd x dx x C ==-=-+⎰⎰．4．原式222222111arcsin arcsin (arcsin )224x d x x C ===+⎰．5．原式22111111()ln |1|arctan ln(1)211224x dx x x x C x x -=+=++-++++⎰． 6．原式1(1)ln |1|11x x x x x e dx d e e C e e-----==-+=-++++⎰⎰． 7．原式224111sin arctan(sin )21sin 2d x x C x ==++⎰． 8．原式6777777771111()(1)7(1)71x dx dx dx x x x x x x ===-+++⎰⎰⎰71ln ||ln |1|7x x C =-++．92,ln(1)t x t ==-原式22(1)tdt t t =-⎰1ln 2ln |1|1t C x C t -=+=-++． 10．原式21(1)arctan arctan arctan arctan 1xdx xdx xd x x =-=-+⎰⎰⎰ 221arctan arctan 12x x x dx x x =--+⎰ 2211arctan ln(1)arctan 22x x x x C =-+-+．四、证明与应用题（或综合题）（每题7分，共14分）1．解：()ln ()ln ()ln ()()xf x dx xd f x x f x f x dx f x '==-⎰⎰⎰cos cos cos sin x x xdx x x x C =-=-+⎰．2．解： 由题设()()F x f x '=，则2()()sin 2F x F x x '=， 故21cos 411()()sin 2sin 4228x F x F x dx xdx dx x x C -'===-+⎰⎰⎰， 即 21()s i n 44F x x x C =-+ (0)1,1,F C =∴= 又()0F x ≥，因此()F x =故2()()1f x F x '==．。
同济七版NUAA高数课件 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质
ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
注意：通常可以不叙述区间 I 的范围。
问题
一个函数的原函数是否唯一？ 若不唯一, 它们之间有什么联系？
问题之答案
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
已知 v(t)
原函数的概念
定义：设函数 f(x) 是定义在某一区间 I上的一个函
数. 若存在一个函数 F(x) 使得在该区间 I 上
的每一点都有 F'( x) f ( x)
或 dF( x) f ( x)dx
则称 F(x) 是 f(x) 在该区间上的一个原函 数.
原函数举例
例 sin x cos x
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
例5
求积分
( 1
3 x2
2 )dx. 1 x2
解
原式
3
1
1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6 求积分
1 x x x(1 x2
1 x2
(11)
1
1 x2
dx
arctan x C;
基本积分公式（第4页）
(12) secx tan xdx sec x C; (13) csc x cot xdx csc x C;
(14) sinh xdx cosh x C;
高等数学第四章
例6：求
1 dx . 2 2 x ( x 1)
( 1 x2 ) x2 1 1 解：原式 dx ( ) dx 2 2 2 2 x ( x 1) x x 1
1 arctan x C . x
例7：求
x dx . 2 1 x
4
例7
x4 1 1 解：原式 dx 2 1 x x4 1 1 dx dx 2 2 1 x 1 x
x
例1、例2
解：原式 3 cos x dx 2 e x dx x dx dx
1 2 3 sin x 2 e x x C . 2
x
例2：求
x
x
x dx .
解：对被积函数作恒等变形，化为幂函数的形式，以便于使 用幂函数的积分公式。 原式
7 x8
例11、例12
1 1 sin 2 x cos 2 x 解：原式 dx dx 2 dx 2 2 2 cos x sin x sin x cos x
tan x cot x C .
例12：求
cot x dx . sin 2x
1 1 cos x 解：原式 dx dx 2 2 sin x cos x sin x 2 sin x
⒁ tan x dx ln | cos x | C ⒂ cot x dx ln | sin x | C ⒃ sec x dx ln | sec x tan x | C ⒄ csc x dx ln | csc x cot x | C ⒅
x arcsin C ( a 0 ) 2 2 a a x
2
解：原式
《高等数学教学课件汇编》第四章 不定积分
1 sin
精选课件ppt
5
( 7 ) sin xdx cos x c
(8
)
dx cos 2
x
sec
2 xdx
tan
xc
1
( 9 ) sin 2 x dx
csc
2 xdx
cot
xc
(10 ) sec x tan xdx sec x c
(11 ) csc x cot xdx csc x c
(3)
1 x3
x
dx
( 4 ) x ( x 2 5 ) dx
( 5 )
(
x
1)3 x2
dx
( 6 ) ( e x 3 cos x ) dx
( 7 ) 2 x e x dx
( 2 e ) x dx
(2e)x c ln(精选2 课e 件) ppt
2xex 1 ln 2
c
8
(8 )
d dx
(G ( ( x)))
(G (u )) u ( x )
(x)
( g (u )) u ( x) ( x )
g ( ( x)) ( x)
证毕
精选课件ppt
11
例 6 sec xdx
解 : sec
xdx
cos cos
x 2 x dx
d (sin 1 sin
x) 2x
1 2
(1
1 x x2 x (1 x 2 )
dx
( 1
1 x2
1 ) dx x
1
1 x2
dx
1 x
dx
arctan x ln x c
( 9 )
1
x
4
x2
高等数学(上)第4章 不定积分
4
定理 如果在区间(a,b)内，函数F(x)为f(x)的一 个原函数，则F(x)+c是f(x)的全体原函数，其中c为 任意常数.
5
定义2 函数f(x)在区间I上的全体原函数称为 f(x)在区间I上的不定积分，记作∫f(x)dx ∫f(x)dx=F(x)+c c为任意常数）其中 F′(x)=f(x)（x∈I），“∫ f(x) 称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，而x称为积 分变量.
27
定理 设u=u(x),v=v(x)具有连续导数，则 ∫uv′dx=uv－∫u′vdx 根据式（4.3），求积分∫udv的问题化成了求 积分∫vdu的问题. 后一个问题可能比前一个问题简 单，从而对计算有利.
28
由此可见，如果u和dv选取不当，就求不出结 果，所以在应用分部积分法时，恰当选取u和dv是 一个关键，选取u和dv ①v ② ∫v du要比∫u dv .
第4章 不定积分
前面介绍了微分学，本章开始讲积分学. 积分 学分为不定积分和定积分两部分. 不定积分是作为 函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分 的反问题引进的. 两者概念不相同，却有紧密联系.
1
4.1 众所周知，求函数的导数或微分是微分法的基 本问题. 但是，在力学、物理学以及其他自然科学 中，常常遇到与此相反的问题. 例如，已知一质点 沿直线运动的速度v=v(t)，求它的运动规律，即要 找质点在数轴上的位置与运动时间的依赖关系： s=f(t)，从数学的角度来说，这个相反问题的实质 是：要找一个函数s=f(t)，使得它的导数f ′(t)等于 已知函数v(t) f ′(t)=v(t) 的逆问题，即已知函数的导数，要找出原来的函数 ，这就是本章将要讨论的中心问题.
20
利用公式（4.1）计算不定积分，一般要比复 合函数的求导困难一些， 因为其中需要一定的技 巧，而且如何适当地选择变量代换u=φ(x),没有一 般途径可循，因此要掌握好第一类换元法，除了熟 悉一些典型的例子外，还必须多做练习才行.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学 第四章 不定积分的概念和性质1—2节 课堂笔记及练习题主 题：第四章 不定积分的概念和性质1—2节 学习时间：2015年11月30日—12月6日内 容：这周我们将学习第四章不定积分的概念和性质（1—2节）。
积分运算与微分运算互为逆运算，它们同是高等数学的重点，需要充分重视。
其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、理解原函数与不定积分的概念2、非常熟练地掌握求不定积分的基本方法：基本积分公式、不定积分的性质、换元法。
基本概念：原函数和不定积分的概念知识点：基本积分公式、不定积分的性质、换元法知识结构图一元函数积分学原函数不定积分定义运算法则计算方法直接积分法换元法第一类换元法全体个体第二类换元法第一节、不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念（要求理解各概念） 定义1：设)(x f 为某区间I 上的函数，如果存在函数)(x F ，使在该区间上有)()(x f x F ='或,)()(dx x f x dF =则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
原函数存在定理：如果)(x f 在区间I 上连续，则在区间I 上)(x f 的原函数一定存在。
说明：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，显然c c x F ()(+为任意常数）也是)(x f 的原函数，这说明)(x f 如果存在原函数，应有无穷多个，)(x f 的全体原函数是一个函数族。
c x F +)(为)(x f 全体原函数的一般表达式。
定义2：设)(x F 是)(x f 在区间I 的一个原函数，则)(x f 的全体原函数c x F +)(称为)(x f 在区间I 的不定积分，记⎰+=c x F dx x f )()(其中⎰叫积分号，)(x f 叫被积函数，dx x f )(叫被积表达式，x 叫积分变量，c 为任意常数叫积分常数。
范例解析：1、单选题：设)(x f 的一个原函数为x1，则=')(x f （ ） A 、||ln xB 、x1 C 、21x - D 、32x解题思路：因为x 1为)(x f 的原函数，所以21)1()(xx x f -='=，从而32)(xx f ='。
答案：D2、单选题：设)(x f 的一个原函数为x 2cos ，则='⎰dx x f )(（ ） A 、x 2cosB 、C x +2cos C 、C x +-2sin 2D 、x 2sin 2-解题思路：因为C x f dx x f +='⎰)()(，其中C 为任意常数。
又因为x 2cos 为)(x f 的一个原函数，所以x x x f 2sin 2)2(cos )(-='=。
因此C x dx x f +-='⎰2sin 2)( 答案：C二、基本积分表基本积分表：(要求全部背下来) (1)C kx kdx +=⎰(k 是常数) (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ (3)C x dx x +=⎰||ln 1(4)C e dx e x x +=⎰(5)C aa dx a xx+=⎰ln (6)C x xdx +=⎰sin cos (7)C x xdx +-=⎰cos sin (8)C x xdx dx x+==⎰⎰tan sec cos 122(9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122 (10)C x dx x +=+⎰arctan 112(11)C x dx x+=-⎰arcsin 112(12)C x xdx x +=⎰sec tan sec (13)C x dx x +-=⎰csc cot csc (14)C x dx x +=⎰ch sh(15)C x dx x +=⎰sh ch三、不定积分的性质(需要非常熟练地掌握) 性质1：⎰=')(])([x f dx x f 或⎰=dx x f dx x f d )(])([⎰+='C x f dx x f )()(或⎰+=C x f x df )()(性质2：⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数，k ≠0)性质3：⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 范例解析：3、计算题、计算dx x x )142(102⎰-+解：dx x xdx dx x x ⎰⎰⎰-+=-+121012142)142(ππ+=⋅+⋅=144212第二节、换元积分法与分部积分法一、第一类换元法（凑微分法）（需要非常熟练地掌握）设)(u f 有原函数)(u F ,)(x u ϕ=,且)(x ϕ可微,那么根据复合函数微分法,有,)()]([)()]([)()()]([dx x x F x d x F du u F u dF x dF ϕϕϕϕϕ''='='==所以)]([)()()()]([)()]([x dF u dF du u F x d x F dx x x F ϕϕϕϕϕ=='='='' 因此⎰⎰⎰'='=''du u F x d x F dx x x F )()()]([)()]([ϕϕϕϕ⎰=)(u dFC x F x dF +==⎰)]([)]([ϕϕ即)(])([)()]([)()]([x u u d u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='对于积分第一类换元法，关键是引入变换)(x u ϕ=，如果在运算中不写出)(x u ϕ=，而是把)(x ϕ看作是一个整体，将被积表达式变为标准形式，常称之为凑微分法。
用凑微分法积分时常用的公式有：(1)；0,1≠=a dax adx (2)；)(a x d dx +=(3)；)(1b kx d k dx +=(4)；)(212b x d xdx +=(5)；)(3132b x d dx x +=(6)；x d dx x21= (7)；)ln(1x d dx x =(8)；)1(12x d dx x-=(9)；)(x x e d dx e = (10)；)(ln 1x x a d adx a =(11)；)(sin cos x d xdx = (12)；)(cos sin x d xdx -=(13)；)(112arctgx d dx x =+ (14)；)(arcsin 112x d dx x=-(15)；)(sec 2tgx d xdx = (16)；)(csc 2ctgx d xdx -= (17)；)(sec sec x d xtgxdx = (18))(csc csc x d xctgxdx -=等 范例解析：1、计算题：求dx xx⎰ln cos 解：本题为第一类换元法计算不定积分解法Ⅰ 做变量代换，令,1,ln du dx xu x ==C x C u udu dx x x+=+==⎰⎰ln sin sin cos ln cos解法Ⅱ 凑微分法，使用凑微分公式⎰⎰+===C x x xd dx x x x d dx x ln sin )(ln ln cos ln cos ),ln(12、单选题：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则dx e f e x x )(--⎰等于（ ） A 、C e F x +-)( B 、C e F x +-)(- C 、C e F x +)(D 、C e F x +)(-解题思路：因为)(x F 为)(x f 的一个原函数，所以C x F dx x f +=⎰)()( 故由第一类换元法知，)()()(⎰⎰-----=x x x x e d e f dx e f e 令u e x =-，原式=C u F du u f +-=-⎰)()( 再令x e u -=，原式变换为C e F x +--)( 答案：B二、第二类换元法设)(t x ϕ=是单调可导函数,且；0)(≠'t ϕ又)()]([t t f ϕϕ'具有原函数)(t F ,则有Cx F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ其中)(1x t -=ϕ是)(t x ϕ=的反函数。
这是因为)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dtdx t t f dxdt t F x F =='='='-ϕϕϕϕ补充公式：（要求记住） (16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan (17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec (19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc(20)C a xa dx x a +=+⎰arctan 1122 (21)C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122 (22)C xa x a a dx x a +-+=-⎰||ln 21122 (23)C axdx x a +=-⎰arcsin122 (24)C a x x a x dx +±+=±⎰)ln(2222(25)C x a xa x a dx x a +-+=-⎰222222arcsin 2积分第二类换元法常用来解决形式如dx a x f dx x a f )(,)(2222⎰⎰--，dx x a f )(22⎰+的积分。
只需分别引入变量替换,tan ,sec ,sin t a x t a x t a x ===其中t 为锐角，以消除被积表达式中的根号。
由于变换都是三角形式，因此常称之为三角代换法。
在变换后的积分运算中，往往会出现三角函数表达式，由于t 为新变量，因此计算结果必须再换回原变量。
为了计算方便，往往会引入直角三角形，利用锐角三角函数定义来确定所需的三角函数值。
范例解析：1、计算题、求dx x a ⎰-22(a>0)(三角代换法，见下图) 解:设t a x sin =，22 ππ<<-t ,那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=,tdt a dx cos =，于是⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222因为axt arcsin =,a x a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==,所以dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 22、计算题、求⎰+22ax dx (a>0)(三角代换法，见下图)解：设t a x tan =,22 ππ<<-t , 那么22a x +t a a 222tan +=t a t a sec tan 12=+=,tdt a dx 2sec =， 于是⎰+22ax dxC t t tdt dt t a t a ++===⎰⎰|tan sec |ln sec sec sec 2 因为aa x t 22sec +=,a x t =tan ,所以1222222)ln()ln(|tan sec |ln C a x x C aa x a xC t t a x dx+++=+++=++=+⎰其中a C C ln 1-=。