高等数学习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步

习题10-1

1. 指出下列方程的阶数：

(1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2

2

d d 0d d Q Q Q L R t c t

++=． (3)2d cos d ρ

ρθθ

+=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．

解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶

2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =．

(2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =．

(3)20y y y '''++=， x y x e -=．

(4)22d 0.4d s t

=-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；

(3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=；

(4)是，代入，2

12d d 0.4,0.4d s s t C t

=-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程

222d 0d x k x t += 的通解.

解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2

22

d 0d x k x t

+=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解.

4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t

+=的通解,求满足初始条件 x | t =0 =2, x '| t =0 =0

的特解.

解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠

习题10-2

1. 求下列微分方程的通解：

(1)()2

3

10y y x '++=； (2) 2+'=x y y ；

(3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2

d d d d x xy y y x y y +=+；

(5) 22

d d d d y y y x

xy x x +=； (6) d d y x y x x y

-=+； (7) 22

d d y y x xy x

=+； (8) )2(tan 212

y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得

()

2

31d =d y y x x

+-

两端分别积分：

()3

4111=+34

y x C,+-

这就是方程通解 .

(2)这是可分离变量方程，分离变量得

2d =2d y x y x

-

两端分别积分：

122+ln2y x C ,--=?即12+202x y C (C ln C )--==?

这就是方程通解 .

(3)这是可分离变量方程，分离变量得

d d cos y cos x

y x sin y sin x

=

两端分别积分：

ln sin y ln sin x lnC,-=--即sinx sin y Ce =

这就是方程通解 .

(4)这是可分离变量方程，分离变量得

2

1d =d 11

y y x y x --

两端分别积分：

211

11+22

ln(y )ln(x )lnC,-=-即221+1y C(x )=- 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令,x y

u =

则

d d ,d d y u u x x

=+代入原方程并整理 1

d d u u x u

-=

两端分别积分：

ln u u x C -=+即

ln y y

x C x x

-=+ 这就是方程通解 .

(6)这是齐次方程，化简得

1d d 1y

y x y

x x

-

=

+

令,x y

u =

则

d d ,d d y u u x x

=+代入原方程并整理 21d d 12u u x u u +=--，两端分别积分：

2

11ln 1222u u x C ---=+ 即2

22ln 10y y x C x x

--++=

这就是方程通解 .

(7)这是齐次方程，化简得

2

d d 1y y x y

x x

?? ???=

+

令,x y

u =

则

d d ,d d y u u x x

=+代入原方程并整理 1

d d u u x u +=-，两端分别积分：ln u u x C +=-+ 即ln 0y y x C x x

++-= 这就是方程通解 .

(8)这是特殊方程，用换元法，令,2y x u +=则

d 1d 1,d 2d y u x x ??

=- ???

代入原方程并整理 2cos ud d u x =，两端分别积分：11

sin 224

u u x C +=+

即42sin(24)40y x x y C -++-=

这就是方程通解 .

2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 3

sin y y x '=， (0)1y =；

(2) 222

(1)

(1)x y y x +'=+， (0)0y =； (3)

d tan d y y y x x x =+，(1)6

y π=； (4) 222

d d 2x y

x xy y y xy

=-+-，(0)1y =． 解 (1)分离变量：

3

1

d sin d y x x y =． 两端分别积分：

3

1

d sin d y x x y =?

?． 解得：

21

cos 2x C y -

=-+． 将(0)1y =代入通解中，求得1

2C =．故所求特解为

21

2cos 1x y

=-． (2)分离变量：

222

1d d 1(1)x

y x y x =++． 两端分别积分：

211

arctan d 2(1)y x C x =-?++．

将(0)0y =代入通解中，求得1

2

C =．故所求特解为

2111

arctan d 2(1)2

y x x =-?++．

(3) 这是齐次方程,令,x y

u =则

d d ,d d y u u x x

=+代入原方程并整理 1

d d .tan u x u

= 两边积分得

,ln sin ln C x u +=即.sin x Ce u =

变量回代得所求通解

.sin

x Ce x

y

=

由(1)6y π

=代入通解，得612

C e π

-=，故所求初值问题的解为

61sin .

2x y e e x π

-=

3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.

解：设曲线方程为：()y f x =

由题意可得方程: 2002y y

y x x

-'=

=--,且(1)2y =，

解分离变量方程得：xy C =,由(1)2y =得

2C =，

故所求曲线为：2xy =.

4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t 的变化规律.

解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =建立该问题的数学模型:

?????=--==100

|)

20(0t T T k dt

dT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20

kdt T dT

-=- 两边积分

,20

1

?

?-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=). 从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C

于是，所求规律为.8020kt e T -+=

习题10-3

1. 求下列微分方程的通解：

(1) cos sin x y y x e '+=； (2) 2x y y e '-=；

(3) 2(1)x x y x y e '=-+； (4) 22d (2)d 0y x x x y y y +--=；

(5) ()1y x e y '-=； (6) 3(1)2(1)2x y y x y

-'=+

- 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中()sin ,P x x =cos ()x Q x e =． 首先求出Pd sin d cos x x x x ==-?? (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为

d d d d P x P x P x

y Ce e Qe x --???=+?

cos cos x x Ce xe =+．

(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),2

P x =-1()2x Q x e =．

首先求出Pd 2

x x -=? (积分后，不再加任意常数)，

然后用公式(10-6)可得所求通解为

d d d d P x P x P x

y Ce e Qe x --???=+?

2

4

x x Ce =+．

(3) 这是一阶线性非齐次方程，其中1()1,P x =-21()x Q x e =．

首先求出Pd ln x x x =-? (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为

d d d d P x P x P x

y Ce e Qe x --???=+?

2x x

e e C =?+．

(4)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程

2

12d 1d y x x y y -+?=， 于是，2

12()y

P y y -=

()1Q y =． 首先求出1Pd 2ln y y y

=--?，然后代入通解公式，可得所求通解为

112ln 2ln 1d y

y y

y

x e e

y C +--??=?+ ????

11122221d y y

y y e e y C Cy e y y -??=?+=+ ???

?.

(5)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程

d d y x

x e y

--=-， 于是，()1P y =-()y Q y e -=-．

首先求出Pd y y =-?，然后代入通解公式，可得所求通解为

()

d y y y x

e e e y C --=-?+?

12

y y e Ce -=+.

(6)令,1-=

x y

u 则d d (1),d d y u u x x x

=+-代入原方程并整理 2

2d d .31

u x

u u x =-- 两边积分得

,ln ln )3ln(2C x u +-=-

变量回代得所求通解

22

3.(1)y C

x x

-=-

2. 求解下列初值问题：

(1) 2(2)d d 0y x y x x y -+=，1x y e ==； (2)sin x y y x '+=，()1y π=； (3) 2

y y x y '=

-，(2)1y =； (4) 5y y x y '-=，(0)1y =.

解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得2

d (12)0d y x y x x -+?=， 其通解为(12)1

d 2=x x

x x

y Ce Cx e --

?

=，将初始条件1x y e ==代入上式，可得1C =，

故所求特解为

1

2=x y x e ．

(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x =1()sin Q x x x =．

首先求出Pd ln x x =? (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为

d d d d P x P x P x

y Ce e Qe x --???=+?

cos C x

x

-=

将初始条件()1y π=代入上式，可得1C π=-，故所求特解为

1cos x y x

π--=

．

(3)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程

d 1

d x x y y y

-=-， 于是，1()P y y

=-()Q y y =-．

首先求出Pd ln y y =-?，然后代入通解公式，可得所求通解为

1()d x y y y C y ??

=?-+ ???

?

2Cy y =-.

将初始条件(2)1y =代入上式，可得3C =，故所求特解为

23x y y =-．

(4) 这是伯努利方程，以5y 除方程的两端,得

5

4d ,d y y y x x ---=即44d()1,y y x ----= 令4,z y -=则上述方程变为 d 44.d z

z x x

+=- 解此线性微分方程(过程略)，可得41

4

x z x Ce -=-++，

得所求通解为4441

()4x y z x Ce -==-++，将初始条件(0)1y =代入上式，可得34

C =，故

所求特解为

44413

()x y z x e -==-++．

3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：

(1) d 11d y x x y

-=-； (2) d 4

d y y x x x -=解 (1)令y x u -=则d d 1,d d y u

x x

=+原方程化为

d 1u =-. 分离变量,得

d d u u x =-， 两端积分得

2

u x C =-+ 以y x u -=代入上式,得通解

2

()2y x x C -=-+.

(2)这是伯努利方程，其中214

,(),()2n P x Q x x x

=

=-=，则有公式得通解 1(1)()d (1)()d 12

()(1)d n P x x n P x x n

y

y e Q x n e x C ----????==-+ ?

??? 2ln 22ln 1

(d )2

x x e x e x C -=??+?

21

().2

x C x =+ 4. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和. 解：由题意可得方程

d 2d y

x y x

=+， 这是一阶非齐次线性方程，其中()1,P x =-()2Q x x =，然后用公式(10-6)可得所求通解

为

d d d d P x P x P x

y Ce e Qe x --???=+?

22x x Ce -=--+.

习题10-4

1. 求下列微分方程的通解：

(1) sin 2y x x ''=-； (2) 2cos x y e x '''=-；

(3) -20x y y '''= ； (4) 4x y y x '''+=； (5) 2=2()y y '''； (6) 31y y ''=

解：(1) 21cos ,y x x C '=--+

3121

sin ,3

y x x C x C =--++

(2) 211sin 2

x y e x C ''=-+,2121

cos ,4x y e x C x C '=+++

2212311

sin .82

x y e x C x C x C =++++

(3) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程

20xp p '-=． 分离变量，得

12

d d p x p x

=. 两边积分得: 21p C x =再积分一次即得原方程的通解为 3121

3

y C x C =+．

(4) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程

4xp p x '+=． 整理，得

4p

p '+

=， 这是一阶非齐次线性方程，解得1

2C p x x

=

+再积分一次即得原方程的通解为 212ln y C x x C =++．

(5)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d p

y p

y

''=,原方程化为 2d 2d p

p

p y

=． 分离变量得

d 2d p

y p

=．两边积分得： 211y p C e =．

再由

211d d y y

C e x

=，解得212y e C x C -=+． (6)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d p

y p ''=,原方程化为

3d d y p p y =．

得22

1122

11

C y p C y y -=-+=．解得：d d y x =

可解得通解为：221121()C y C x C -=+．

2. 求解下列初值问题：

(1) 12cos y x x '''=+,(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==；

(2) 21,x y x y '''+=1

0,x y

==11x y ='=；

(3) 2()yy y '''=，(0)(0)1y y '==. 解 (1)相继积分三次得出:

216sin y x x C ''=++，3122cos y x x C x C '=-++，4212311sin 22

y x x C x C x C =

-+++， 以(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==代入后可得出1231,2,1C C C ===-，于是所求特解为

4211

sin 2122

y y x x x x ==

-++-． (2)令,y p '=代入方程并整理,有211.p p x x

'+=

这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得

11

(ln )p y C x x

'==+

由条件 11x y ='=得11,C =所以1(1ln )y x x

'=+

两端再积分,得221ln (ln ).2

y x x C =++

又由条件 10,x y == 得20,C =

于是所求初值问题的解为

21

ln (ln ).2

y x x =+

(3)令,y p '=由d d p

y p y

''=代入方程并化简得

d .d p y p y

= 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p y Cy '== 再分离变量,得

d d ,y

x Cy

= 由初始条件(0)(0)1y y '==得出1,C = 从而得

d d ,y

x y

= 再两边积分,得1x y C e =, (0)1y =，得11,C =从而所求特解为x y e =.

3. 已知平面曲线()y f x =的曲率为32

(1)y y ''

'+,求具有常曲率(0)K K >的曲线方程.

解：由题意得方程32

(0)(1)

y K K y ''

=>'+，令(),y p x '=代入方程,有32(1)p K p '=+ 即

3

2d d .(1)

p K x p =+解之，得1Kx C =+ 32

d d .(1)

p K x p =+

习题10-5

1.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？

(1) 22

,;x x e x e (2) ,()ax bx e e a b ≠；

(3) 1cos 2x +，2sin x ； (4) cos ,x sin x .

解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.

2. 验证1y x =与2x y e =是方程(1)0x y xy y '''--+=的线性无关解，并写出其通解.

解：当1y x =，1

1y '=，10y ''=，代入满足方程；当2x y e =，2x y e '=，2x y e ''=，代入也满足方程；另外，1y x =，2x y e =是线性无关的（由定义可知），方程的通解为：

112212x y C y C y C x C e =+=+.

3. 求下列微分方程的通解：

(1) 230y y y '''--=； (2) 280y y y '''--=； (3) 440y y y '''++=； (4) 690y y y '''-+=； (5) 250y y y '''++=； (6) 160y y ''+= ; (7) x y y x e ''+=+ ； (8) 4sin y y x ''+=.

解：(1) 特征方程2230r r --=的根为：121=3r r =-，,通解为312x x y C e C e -=+； (2) 特征方程2280r r --=的根为：1224r r =-=，,通解为2412x x y C e C e -=+； (3) 特征方程2440r r ++=的根为：122r r ==-,通解为2212x x y C e C xe --=+； (4) 特征方程2690r r -+=的根为：123r r ==,通解为3312x x y C e C xe =+；

(5) 特征方程2250r r ++=的根为：1,212r i =-±,通解为12(cos2sin 2)x y e C x C x -=+； (6) 特征方程2160r +=的根为：1,24r i =±,通解为12cos4sin 4y C x C x =+； (7) 特征方程210r +=的根为：12r r i ==±,齐次通解为12cos sin y C x C x =+； ()x f x x e =+可以看成是1()f x x =与2()x f x e =之和．

所以分别求方程y y x ''+=与方程x y y e ''+=的特解． 容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．

按例9的方法可求得方程x y y e ''+=的一个特解为：212

x y e =．

于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12

x x e +．故原方程的通解为

y y Y =+=12

x x e +12cos sin C x C x ++.

(8) ()4sin f x x =为(cos sin )αx

e A ωx B ωx +型的函数，且0α=，1ω=，αωi i +=是特征方程210r +=的根，所以取1k =．设特解为

()cos sin y x C x D x =+．

()cos sin cos sin y C x D x x D x C x '=++-． 2cos 2sin (cos sin )y D x C x x C x D x ''=--+．

代入原方程，得 2c o s

2s i n 4s i D x C x x -=． 比较两端sin x 与cos x 的系数，得2,0C D =-=，故原方程的特解为2cos y x x =-． 而对应齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+.

于是原方程的通解为y y Y =+2cos x x =-＋12cos sin C x C x +．

4. 求解下列初值问题：

(1) 20,y y y '''++=y |x =0=4、y '| x =0=-2；

(2) 20y y y '''-+=,(0)(0)1y y '==

解：(1) 特征方程2210r r ++=的根为：121r r ==-,通解为12x x y C e C xe --=+；代入初值条件00|4|2x x y y =='==-、，得124,2C C ==，方程特解为42x x y e xe --=+.

(2) 特征方程2210r r -+=的根为：121r r ==,通解为12x x y C e C xe =+；代入初值条件(0)(0)1y y '==，得121,0C C ==，方程特解为x y e =.

5. 求下列微分方程的一个特解：

(1) 2331y y y x '''--=+； (2) 94y y x '''+=-；

(3) 2x y y y e '''-+=； (4) 9cos 21y y x x ''+=++.

解：(1) 因为()31f x x =+，且y 的系数30q =-≠，设特解为y Ax B *=+． 则 ()y A '*=，()0y ''*=，代入原方程，得23()31A Ax B x --+=+， 使两端x 同次幂的系数相等：11,2A B =-=,所求的特解为12

y x *=-+．

(2) 因为()4f x x =-，且y 的系数0q =，设特解为()y x Ax B *=+．

则 ()2y Ax B '*=+，()2y A ''*=，代入原方程，使两端x 同次幂的系数相等 得，137,A B -==,所求的特解为2137y x x *=-．

(3) 1α=是特征方程2210r r -+=的重根，取2k =，所以可设原方程的特解为2x y Bx e =，则

22224x x x x x y Bxe Bx e y Be Bxe Bx e '''=+=++，，代入原方程得解得12

B =，

故方程有一特解为212

x y Bx e =.

(4) ()cos 21f x x x =++可以看成是1()21f x x =+与2()cos f x x =之和． 所以分别求方程921y y x ''+=+与方程9cos y y x ''+=的特解． 容易求得方程921y y x ''+=+的一个特解为：12199

y x =+．

另求得方程9cos y y x ''+=的一个特解为：21cos 8

y x =．

于是原方程的一个特解为12y y y =+＝211cos 998

x x ++．

习题10-6

1. 求下列函数的一阶与二阶差分：

(1) y t =3t 2-t 3； (2) y t =e 2t ； (3) y t =ln t ； (4) y t =t 2·3t .

解：(1) ()()()23

23231133+32t y t t t t t t ?=+-+--=-+［］,

()22()3+326t t y y t t t ?=??=?-+=-；

(2) 2(1)222e e e (1)t t t t y e +?=-=-,

()22222222()e (1)(1)(e )e (1)t t t t t y y e e e ?=??=?-=-??=-，

(3) ln(1)ln t y t t ?=+-,

()2()ln(1)ln ln(2)2ln(1)ln t t y y t t t t t ?=??=?+-=+-++ (4) ()()2

1221333263t t t t y t t t t +?=+-=++,

()()

()()

22122()326332(1)693263t t t t t y y t t t t t t +?=??=?++=+++-++

()2342430t t t =++

2. 将差分方程Δ2y t +2Δy t =0表示成不含差分的形式.

解：因为1t t t y y y +?=-，21()t t t t Δy ΔΔy Δy Δy +==-212t t t y y y ++=-+， 故220t t y y ?+?=可化为211222()0t t t t t t t y y y y y y y ++++-++-=-= 3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶：

(1) y t +5-y t +2+y t －1=0; (2) Δ2y t -2y t =t ； (3) Δ3y t +y t =1； (4) 2Δy t =3t -2y t ； (5) Δ2y t =y t +2-2y t +1+y t .

解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7； (2) 是差分方程.由于2t y ?212t t t y y y ++=-+，方程变为212t t t y y y t ++--=，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；

(3)是差分方程.由于Δ3y t 32133t t t t y y y y +++=-+-，方程变为321331t t t y y y +++-+=，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；

(4) 将原方程变形为2(y t +1-y t )= 3t -2y t ，即2y t +1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.

(5) 不是差分方程.由于2t y ?212t t t y y y ++=-+，方程变为00=，所以不是差分方程.

4. 验证y t =C (-2)t 是差分方程y t +1+2y t =0的通解.

解：112(2)2(2)0t t t t y y C C +++=-+-=，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.

习题10-7

1. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解： (1) y t +1-2y t =0； (2) y t +1+3y t =0； (3) 3y t +1-2y t =0.

解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为 y t =C 2t . (2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为 y t =C (-3)t . (2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为2λ=-，于是原方程的通解为()

2

.3t

t y C =- 2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：

(1) y t +1-3y t =0，且y 0=3； (2) y t +1+y t =0，且y 0=-2.

解 (1)特征方程为30λ-=,特征根为3λ=，于是原方程的通解为 3.t

t y C = 将初始条件y 0=3代入，得出C =3，故所求解为13.t t y +=

(2)特征方程为10λ+=,特征根为1λ=-，于是原方程的通解为(1).t t y C =- 将初始条件y 0=-2代入，得出C =-2，故所求解为2(1).t t y =-- 3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解： (1) y t +1+2y t =3； (2) y t +1-y t =-3； (3) y t +1-2y t =3t 2； (4) y t +1-y t =t +1; (5) 11522t

t t y y +??-= ???

； (6) y t +1+2y t =t 2+4t .

解 (1) 由于a =-2，k =3，令y *t =A (待定系数)，代入方程得A +2A =3，从而A =1，即y *t =1，故原方程的通解为y t =C (-2)t +1.

(2) 由于a =1，k =-3，令y *t =At (待定系数)，代入方程得A =-3，即y *t =-3t ，故原方程的通解为y t =-3t+C .

(3) 设y *t =A 0+A 1t +A 2t 2为原方程的解，将y *

t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得

A 0=-9，A 1=-6，A 2=-3.

从而*2963t y t t =-+--,故原方程的通解为

29632.t t y t t C =-+--+

(4) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *

t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得0112A A ==,从而*1(1)2

t y t t =+,故原方程的通解为

1(1).2

t y t t C =++

(5) 由15122a k b ===，，，令原方程有一个特解为*5·()2t t y A =，解得35

A =.

于是原方程的通解为()

351

·().522

t

t t y C =+ (6)设f 1(t )= t 2，f 2(t )= 4t ，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).

对于f 1(t )= t 2，因a =-2≠1，可令特解y *

t 1= A 0+A 1t +A 2t 2；

对于f 2(t )= 4t ，因a =-2≠4，可令y *

t 2=B4t

故原方程的特解可设为y *

t = A 0+A 1t +A 2t 2 +B4t ，代入原方程，得

0121211,27934

A A A

B =-=-==-，，，

于是21121 42793t t y t t *-=-+-+-，故所求通解为21121 4(2).2793

t t t y t t C -=-+-+-+- 4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解： (1) y t +1-y t =3+2t ，且y 0=5； (2) 2y t +1+y t =3+t ，且y 0=1; (3) y t +1-y t =2t -1，且y 0=2.

解 (1) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *

t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得012,1A A ==,从而*(2)t y t t =+,故原方程的通解为(2).t y t t C =++又有初始条件y 0=5，可知5C =，故特解为(2) 5.t y t t =++

(2) 由于12

a =-,设y *t =A 0+A 1t 为原方程的解，将y *

t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,

可得0171,93A A ==,故原方程的通解为171().392t t y t C =++-又有初始条件y 0=1，可知29

C =，

故特解为1721().3992

t t y t =++?-

(3) 由a =1可知，对应的齐次方程的通解为y t =C . 设f 1(t )=2t ，f 2(t )=-1，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).

对于f 1(t )=2t ，因a =1≠3，可令y *t 1=A 2t ；对于f 2(t )=-1，因a =1，可令y *

t 2=Bt .故原方程

的特解可设为y *

t =A 2t +Bt ，代入原方程，得11A B ==-，,故所求通解为2t t y C t =+-

又有初始条件y 0=2，可知1C =,故特解为12t t y t =+-.

5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记y t 为第t 个月后还需偿还的债务，a 为每月的还款额，写出y t 所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.

解 先对问题的进行分析， 第1个月后还需偿还的贷款为

y 1= y 0 (1+1%)-a;

第2个月后还需偿还的贷款为

y 2=y 1(1+1%)-a ;

……

第t +1个月后还需偿还的贷款为

y t +1=y t (1+1%)-a ，

即

y t +1-1.01y t =-a .

这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y *t =A ，代入得到100A a =，于是有通解

(1.01)100t t y C a =+.

代入初始条件y 0=25000，及12(1.01)1000t y C a =+=得

12

10025000

(1.01)1000C a C a +=??+=?

， 从上面的等式解得

1212250001.011001.01100

a ?=

?-.

6. 设某产品在时期t 的价格、供给量与需求量分别为P t ，S t 与Q t (t =0，1，2，…).并满足关系：(1)S t =2P t +1，(2)Q t =-4P t －1+5，(3) Q t =S t .

求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程P t +1+2P t =2.若已知P 0，求上述差分方程的解. 解 由题意可得2P t +1=-4P t －1+5，即2P t+1=-4P t +4，得差分方程P t +1+2P t =2，

容易求得方程的特解为：*23y =，方程的通解为：2(2)3

t y C =+-,00,t y p ==当时，

023C p =-所以,故所求差分方程的解为022

()(2).33

t y p =+--

7. 设C t 为t 时期的消费，y t 为t 时期的国民收入，I =1为投资(各期相同)，设有关系式 C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，

其中a ，b 为正常数，且a <1，若基期(即初始时期)的国民收入y 0为已知，试求C t ，y t

表示为t 的函数关系式.

解 由C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，得11t t y ay b -=+－，又因为a <1，故可设特解为*y A =，代

入得11b A a +=-，所以方程的通解为11t b y Ca a +=+-，00,t y y ==当时，011b C y a

+=-

-所以,故所求差分方程的解为011()11t t b b y y a a a ++=-

+--，从而01()11t t b a b

C y a a a

++=-+--.

复习题10 （A ）

1. 通解为y =C e -x +x 的微分方程是 .

解 方程是一阶的，e 1x y C -'=-+，方程为1y x y '=-+.

2. 通解为y =C 1e x +C 2e 2x 的微分方程是 .

解 易见这是二阶常系数方程的解，特征根为121,2r r ==,特征方程为2

320r r -+= 所以微分方程为320y y y '''-+=.

3. 微分方程x d y -(x 2e －

x +y )d x =0的通解是 .

解 方程可化为e x y

y x x

-'-

=，通解为x y xe Cx -=-+. 4. 微分方程xy ′+y =0满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 分离变量得

d d y x

y x

=-，通解为xy C =，初始条件y (1)=1特解为1xy .= 5. 设非齐次线性微分方程y ′+P (x )y =Q (x )有两个不同的解y 1(x )与y 2(x )，C 是任意常数，

则该方程的通解是 .

A C ［y 1(x )+y 2(x )］

B

C ［y 1(x )-y 2(x )］

C y 1(x )+C ［y 1(x )-y 2(x )］

D y 1(x )+C ［y 1(x )+y 2(x )］

解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解()()12Y C y x y x =-［］，非齐次特解为：()()12=y*y x y*y x =或者，所以选择C.

6. 微分方程y ″+4y =sin2x 的一个特解形式是 .

A C cos2x +D (sin2x )

B D (sin2x )

C x ［C cos2x +

D (sin2x )］ D x ·D (sin2x )

解 因为0α=，2ω=，2i i αω+=是特征方程240r +=的根，所以取1k =．设特解为 ()cos2sin 2y x C x D x =+．选择C.

7. 解下列一阶微分方程： (1) (1+y 2)d x =xy (x +1)d y ； (2) x (y ′+1)+sin(x +y )=0；

(3) (cos )d cos d y y

x y x x y x x

+=； (4) xy ′+2y =sin x ；

(5) tan y d x =(sin y -x )d y ； (6) (y -2xy 2)d x =x d y .

解 (1)分离变量()2

1

d d 11y y x x x y

=++，积分得211ln(1)ln ln()221x y C x ++=+， 化简得2

2

(1)(

)1

x C y x +=+； (2)令d d ,1d d y u

u x y x x

=+=-则

，原方程化为d d d sin 0,d sin u u x x u x u x +==-即，积分得

ln(csc cot )ln ln u u x C -=-+，化简并整理得通解：

1cos()sin()x y C

x y x

-+=+.

(3) (1cos )d d d ,,d d d cos

y y

y y y u x x u x u y x x x x x

+

===+原方程可化为

令则，原方程化为d cos d x u u x =，积分得sin ln ||,u x C =+方程通解为sin ln ||.y

x C =+

(4)这是一阶线性非齐次方程，2sin (),()x P x Q x x x

==，所以方程通解为

()d d 21

(d )sin cos P x P x y e Qe x C x x x C x

-??=+=-+?

(5) )设()x x y =，方程化为d sin cot cos d tan x y x

x y y y y

-==-+，

这是一阶线性非齐次方程，()cot ,()cos P y y Q y y ==，所以方程通解为

d d 211(d )sin sin 2P y P y x

e Qe y C y C y -??

??=+=+ ???

?

(6)方程可化22d 2y y xy y

y -==-，

这是伯努利方程，其中1(),()2,2P x Q x n x =-=-=，所以方程通解为2

(1)()d (1)()d 1()(1)d ,n P x x

n P x x n

x C y

e Q x n e x C x ----+???

?=-+= ?

??

?即 2x y x Cy -=.

8. 解下列二阶微分方程：

(1) (1+x )y ″+y ′=ln(1+x )； (2) y ″+3y ′+2y =2x 2+x +1； (3) y ″+2y ′-3y =2e x ； (4) y ″+y =x +cos x .

解 (1)易见不显含y ，令(),=,y p x y p ''''=则代入方程得()()1ln 1x p p x '++=+，

即()ln 111x p

p x x

+'+

=

++，所以11()((1)ln(1))1p x C x x x x =+++-+ 1ln(1)1

C x x x -=+++，两边积分12()d =(+2)ln(1)2y p x x x C x x C =++-+?. (2)这是二阶常系数非齐次方程，由=20,p ≠设特解为2y Ax Bx C *=++，带入方程并

对比两端x 的系数，得5131,,A B C ==-=，故非齐次特解为2

513*24

y x x =-+ ；齐次通

解为212x x y C e C e --=+，从而方程通解为22

1251324

x x y C e C e x x --=++-+.

(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为1α=是特征方程2230r r +-=的单根，所以取

1k =．设特解为x y Bx e =，代入原方程后，解得12B =，故方程的一个特解为：12

x y xe =.

所求的通解为

3121

2

x x x y C e C e xe =++.

(4) ()cos f x x x =+可以看成是1()f x x =与2()cos f x x =之和．所以分别考察方程y y x ''+=与方程cos y y x ''+=的特解．

容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．

容易求得方程cos y y x ''+=的一个特解为：21sin 2y x x =．

于是原方程的一个特解为12y y y =+＝1

2

x x sin x +

． 又原方程所对应的齐次方程40y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+， 故原方程的通解为121

2

y C cos x C sin x x x sin x =+++

. 9. 解下列差分方程： (1) y t +1+4y t =2t 2+t -1； (2) y t +1-y t =t ·2t +3.

解 (1) 由于a =4，令 y *

t =A 0+A 1t +A 2t 2 (待定系数)，代入方程得

23612*125255t y t t =-

++，故原方程的通解为23612(4)125255

t t y t t C =-+++-. (2) 分别求y t +1-y t =t ·2t 和y t +1-y t =3的特解，

对y t +1-y t =t ·2t ，由a =3，b =2，可设原方程有一特解为y *

t =(A 0+A 1t )2t ，代入原方程，

可解得*(2)2t t y t =-+；对y t +1-y t =3，由a =1，可设原方程有一特解为y *

t =Bt ，代入原方程，可解得*3t y t =；

故原方程的通解为(2)23t t y C t t =+-++

（B ）

1. 设曲线y =f (x )过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2x ln(1+x 2)，则f (x )= .

解 易得微分方程 ()

2

2ln 1y x x '=+，

直接积分得 ()(

)()

222

2ln 1d =ln 1d 1y x x x x x =+++?

?，

利用分部积分法()2

2

2

(1)ln 1y x x x

C =++-+，过点(0，-1)，代入可得1C =-，

所以f (x )= ()

222(1)ln 1 1.x x x ++--

2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以y t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则y t 满足的差分方程是 .

解 易见 1(10.01)3t t y y +=++，所以差分方程为11.13t t y y --=.

3. 微分方程3

3d d 2y y y x x x =-满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 令,,y u y xu x ==则所以d d d d y u u x x x

=+，带入方程得，3d 1,d 2u x u x =-求解得

2

ln ,u

x C -=+即2

ln ,x x C y ??=+ ???

代入条件y (1)=1，可得1C =，化简得y =4. 差分方程2y t +1+10y t =5t 的通解是 .

解 由51a =-≠，设特解为*t y Bt A =+，代入得55

,7212

A B =-

=，所以通解为 55

(5)7212

t t y C t =--

+. 5. 设三个线性无关函数y 1，y 2，y 3都是二阶线性非齐次微分方程y ″+Py ′+Qy =f (x )的解，C 1，C 2是独立的任意常数，则该方程的通解是 .

A C 1y 1+C 2y 2+y 3

B C 1y 1+C 2y 2-(C 1+C 2)y 3 C C 1y 1+C 2y 2-(1-C 1+C 2)y 3 D C 1y 1+C 2y 2+(1-C 1-C 2)y 3

解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，121323,y y y y y y ---，是齐次方程y ″+Py ′+Qy =0的解，而且是线性无关的，所以齐次通解为：1122123C y C y (C C )y ++--，非齐次特解为：()()()123==y*y x y*y x y*y x =或或，所以选择D.

6. 设f (x )=g 1(x )·g 2(x )，其中g 1(x )，g 2(x )在(-∞，+∞)内满足条件

g 1′(x )=g 2(x )， g 1(x )=g 2′(x )，

且g 1(0)=0，g 1(x )+g 2(x )=2e x .

(1) 求f (x )所满足的一阶微分方程； (2) 求出f (x )的表达式.

解 (1) 1212()()()()()f x g x g x g x g x '''=+2

221()()g x g x =+

21212[()()]2()()g x g x g x g x =+-2(2)2()x e f x =-

故f (x )所满足的一阶微分方程为：2()2()4x f x f x e '-=.

(2) 2d 2d 2()(4d )x x

x f x e e e x C -??=+?24(4d )

x x e e x C -=+?

24()x

x e

e C -=+22x x

e Ce

-=+

由g 1(0)=0，则f (0)=g 1(0)·g 2(0)=0，代入上式得：1C =- 所以f (x )的表达式为：22()x x f x e e -=-.

7. 设连续函数f (x )满足2

1

0()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-?，且f (0)=1，求f (x ).

解 设0

()()d ,x

y F x f u u ==

?

显然()y f x '=，

又,00;u xt u t ===令当时，1u x t ==当时，；且d d u x t =，

1

1

()d =()d ()()d x

f u u f tx x t f x x f tx t y ?===???则，所以2

1

0()2()d (1)x f x x f t x t

e x =+-?

可化为微分方程2

2(1)x y y e x '-=-，这是一阶线性非齐次方程，解得

2d d 21(d )2

P x P x

x x y e Qe x C Ce e -??=+=-?，22()2x x y f x Ce xe '==-，又因为f (0)=1，可得

21C =，所以2

2()x x f x e xe =-.

8. 在xOy 坐标平面中，连续曲线L 过点M (1，0)，其上任意点P (x ，y )(x ≠0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数a >0).

(1) 求L 的方程；

(2) 当L 与直线y =ax 所围成平面图形的面积为4时，确定a 的值.

解 (1)由题意可得方程y

y a x x

'-=，这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x

=-

()Q x ax =，所以d d 2(d )P x P x y e Qe x C Cx ax -??=+=+?，又曲线L 过点M (1，0)，故C a =-，所以曲线方程为y = ax 2 –ax.

(2)由定积分的知识可知，围成面积()2

2

2

2

300

14 d ()433x x a

S ax ax ax x ax ax ===-+=-==?，故3a =.

9. 验证函数

36931()3!6!9!(3)!

n

x x x x y x n =++++++-∞<<+∞

满足微分方程y ″+y ′+y =e x

；利用所得结果求幂级数30(3)!

n

n x n ∞

=∑的和函数.

解 258

31(),2!5!8!(31)!

n x x x x

y x n -'=++++

+-∞<<+∞- 4732

(),n x x x

y x x -''=+++++-∞<<+∞

231(),2!3!!

n

x x x x y y y x e x n "+'+=++++++=-∞<<+∞

所以是微分方程的解，下面我们来求微分方程y ″+y ′+y =e x 的通解，这是常系数二阶

0y y y "+'+=

的通解为：12()x

Y e C C -=+，故y ″+y ′+y =e x 通解为

2121

()3

x x y Y y e C C e -=+=++，令

36932121

1()3!6!9!(3)!3x n x x x x x y e C C e n -=++++++=++ ，下面确定系

数，令0x =，得1113C =+，即123

C =，两边同时求导得

258312

12122!5!8!(31)!

111()223

n x x

x x x x y n e C C e --'=+++++-=---++

再令0x =

，得1211023

C -+=，即20C =，所以

3369

3021

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