应用泛函分析原理

1、若A是可列集，则由A的有限子集所组成的集是可列集。(P33.8)

2、设f x是直线R1上的连续函数，α∈R1是任一常数，证明：(P33.13)

（1）x f x>α是开集；

（2）x f x≥α是闭集。

3、设E∈L，f是E上的函数，若f=0，a.e于E，则f在E上可积且f x dx=0

E

。(P34.29) 4、设X是距离空间，试证d x,y是关于x，y的连续函数。(P55.3)

证明：只须证，对任意点列x n,y n，若x n,y n→x,y，有d x n,y n→d x,y ;n→∞即可，其中x n,y n,x,y∈X。

设x n,y n∈X,d ,n=1,2,⋯,∞

而x n→x ,y n→y，则d x n,x→0 ,d y n,y→0 ,n→∞

有X,d为距离空间，有三角不等式d x n,y n≤d x n,x+d x,y+d y n,y

所以d x n,y n−d x,y≤d x n,x+d y n,y→0

所以是关于x,y的连续函数。

5、设X1,d1，X2,d2是两个距离空间，它们的笛卡尔乘积X=X1×X2，∀x=x1,x2，y=y1,y2∈X。试证：(P55.6)

（1）d x,y=d1x1,y1+d2x2,y2

（2）d x,y=d1x1,y12+d2x2,y22

（3）d x,y=max d1x1,y1,d2x2,y2

证明：根据距离空间的定义，只须验证第三条（三角不等式）即可

∀x=x1,x2∈X=X1×X2 ,y=y1,y2∈X=X1×X2 ,z=z1,z2∈X=X1×X2

有（1）d x,y=d1x1,y1+d2x2,y2≤d1x1,z1+d1z1,y1+d2x2,z2+d2z2,y2

=d1x1,z1+d2x2,z2+d1z1,y1+d2z2,y2

=d x,z+d z,y

（2）注意到Minkowski不等式：d i+b i212≤d i21

2+b i2

1

2即得

d x,y=d1x1,y12+d2x2,y22

≤d1x1,z1+d1z1,y12+d2x2,z2+d2z2,y22

≤d1x1,z12+d2x2,z22+d1z1,y12+d2z2,y22

=d x,z+d z,y

（3）注意到max d+b,c+d≤max d,c+max b,d即得

d x,y=max d1x1,y1,d2x2,y2

≤max d1x1,z1+d1z1,y1,d2x2,z2+d2z2,y2

≤max d1x1,z1,d2x2,z2+max d1z1,y1,d2z2,y2

=d x,z+d z,y

6、证明X中的基本列是有界点列。(P55.7)

证：设X,d为距离空间，点列x n X，称为基本列，是指d x n,x m→0 ,n,m→0; 即∀ε>0 ,∃Nε，使得m ,n≥Nε时，d x n,x m<ε

而d x n,x≤d x n,x N+1+d x N+1,x<ε+d x N+1,x≜M

∴d x n,x≤M令M0=max M,d x1,x,d x2,x,⋯,d x N,x

∴∀n ,d x n,x≤M0+ε

所以结论成立

7、证明：若距离空间中的基本列有收敛子列，则原来的基本列必收敛。(P55.11)

证：设X,d为距离空间，x n为X,d的基本列，令x n

k

为x n的一个收敛子列，且令

x n

k →x0，由x n为基本列，知对于∀ε>0 ,∃N1，当n,m≥N1时，有d x n,x m<ε

2

由x n

k

→x0，知∀ε>0 ,∃N2，当n k≥N2时，有d x n

k

,x0<ε

2

令N=max N1,N2，则当n,n k≥N时有

d x n,x0≤d x n,x n

k

+d x n

k

,x0<ε

2

+ε

2

=ε

∴x n→x0

8、设X=R2，对x=x1,x2，y=y1,y2∈R2，证明：(P78.1)

x1=x1+x2

x2=x12+x2212

x p=x1p+x2p1p p>1

x∞=max x1,x2

均是X上的范数。

证：根据范数定义，显见以上四式均符合正定性和正齐性要求，现验证三角不等式x+y≤x+y即可。

（1）x+y1=x1+y1+x2+y2≤x1+x2+y1+y2=x1+y1（2）x+y2=x1+y1,x2+y22=x1+y12+x2+y2212

≤x12+x2212+y12+y2212=x2+y2

（3）x+y p=x1+y1,x2+y2p=x1+y1p+x2+y2p 1 p

≤x1p+x2p 1

p+y1p+y2p

1

p=x p+y p

（4）x+y∞=x1+y1,x2+y2∞≤max x1+y1,x2+y2

≤max x1,x2+max y1,y2=x∞+y∞

9、若∙和∙1是向量空间X上的等价范数，证明X,∙中的Cauchy列也是X,∙1中的Cauchy列。(P79.11)

证：设x n为x,∙的Cauchy列

∀ε>0 ,∃N，当m,n>N时，有x n−x m<ε

又∙和∙1为X上的两个等价范数

∴∃C1,C2>0 ,s.t. ∀x∈X有C1x1≤x≤C2x1

C2x n−x m1≤x n−x m≤C1x n−x m1又x n−x m<ε

∴x n−x m1<ε

C2

∴x n为x,∙1的Cauchy列