泛函分析在小波理论中的应用

现代数学基础报告
泛函分析在小波理论中的应用
通过《应用泛函分析》课程的学习，了解到泛函分析是本科高等数学的推广，它综合了函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论。

半个多世纪以来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材提取自己研究的对象和某些手段，并形成了自己的许多重要分支；另一方面，它也强有力地推动着其他分析学科的发展。

它的观点和方法已经渗入到不少工程技术的学科之中，成为近代分析的基础之一。

小波分析作为一个新的数学分支，它与Fourier 分析、函数理论、泛函分析、数值分析、神经网络以及计算机科学等众多学科分支都有着密切的联系，已成为人们解决科技问题的又一有力的数学工具。

工程技术领域中，小波分析的理论得到了广泛的应用，尤其在信号处理中应用广泛，包括信号的检测、识别以及去噪等，比如语音信号、雷达信号、医学信号、天文信号、地震探矿信号、机械故障信号等等。

小波理论的研究难点之一就是小波基的构造，这又需要对小波理论有深入的理解，而小波理论需要数学分析、实变函数与泛函分析的基础知识。

因此，泛函分析课程的学习对小波理论的认识非常重要，对信号处理专业的学生有着广泛的实际应用。

因此学习好泛函分析课程，对研究生期间的研究方向——高频地波雷达的信号处理有重要应用。

下面就三方面讨论泛函分析在小波中的应用：
一、希尔伯特空间的正交分解及投影算子在构造小波基中的作用
泛函分析中希尔伯特空间的正交分解及投影算子的概念如下：
定义1 设H 是希尔伯特空间,E 是H 的非空线性闭子空间,则任意的x ∈X 有唯一的正交分解式
x y z =+，y E,z E ⊥∈∈
即H E E ⊥=⊕，记号⊕称为直和。

令Px y =，称P 为H 上的正交投影算子，称为投影算子。

容易证明P 为定义在H 上的有界线性算子。

正交分解与投影算子应用广泛，这里即论述他们在构造小波基中的作用。

构造小波基的一般方法是多分辨分析，即满足下面四个条件的L 2空间的闭子空间族{}j j V Z ∈
(i) 101V V V -⊂⊂ (ii)2{0},()J J j Z j Z
V V L R ∈∈⋂=⋃= (iii) 1()(2),J J f x V f x V j Z +∈⇔∈∈ (iv) {}n Z φ
∈（x-n ）是0V 的标准正交基。

令j/j j,n (x)(x n)φφ222=-，则j,n j V φ∈。

f 在j V 上的正交投影算子子可通过他在尺度正交基下的展开式得到, 即
由巴塞弗等式, 得
从多分辨分析的概念知，j j V V 1+⊂。

令j W 是j V 在j V 1+中的正交补，即j j j V V W 1+=⊕，也就是f(x)在j V 1+上的正交投影可分解为它在j V 和j W 上的正交投影之和，即j j j PV f PV f PW f 1+=+。

通过替代可知对任何的J>L,有
j L j J V L V J W
1=-⎛⎫ ⎪=⊕⊕ ⎪ ⎪⎝
⎭。

由多分辨分析定义的第(ii)个条件得j j Z L (R)W 2∈=⊕，即函数f 在小波正交基下的展开式为
二、伴随算子、依范数收敛与弱收敛在小波理论中的应用
伴随算子、点列依范数收敛与弱收敛的概念如下： 定义2 设H 1与H 2是希尔伯特空间，T ：H H 12→是有界线性算子。

如果存在T :H H 21*→，使得对于所有的x H 1∈和 y H 2∈，有Tx,y x,T y *<>=<>，则称T *为T 的伴随算子。

定义3 设X 是赋范线性空间，n x ,x X ∈。

如果n n lim x x 0→∞
-=，则称n {x }依范数收敛于x 。

记作n n lim x x →∞
=或n x x(n )→→∞。

定义4 设X 是赋范线性空间，n x ,x X ***∈（n=1,2,）。

如果对任一的
x X,∈n x (x)x (x)**→，即在X 上， *n {x (x)}处处收敛于n x (x)*，则称*n {x }弱收
敛于x *。

记作*
w n x x (n )**→∞→。

注意傅立叶变换的伴随算子就是傅立叶逆变换。

设f 和g 都是平方可积的，则F[f ],g f,F [g]1-<>=<>，其中F[f ]是f 的傅里叶变换，F [g]1-是g 的傅里叶逆变换。

事实上，根据L 2空间内积的定义，有 因此
即傅里叶变换的伴随算子就是傅里叶逆变换.
下面是伴随算子、依范数收敛与弱 收敛在小波理论中的应用。

从多分辨分析定义中的第(ii)个条件可知，
lim 0j j f Pv f →+∞-=,lim 0j j Pv f →-∞
= 这就是依范数收敛。

小波框架是小波理论的一个重要内容，在小波框架研究中，算子弱收敛起着重要的作用. 我们说j j {}Z H φ∈⊂是一个框架是指：存在A>0,B>0,使得对任意的f H ∈,都有
其中A,B 为框架界。

若A=B,则称该框架为紧框架，即
由等式
知紧框架蕴含
也就是至少在弱收敛的意义下，有
对于一般的框架，需要引进框架算子，:(),j j F Ff f ϕ=<>，F 是H 到2()l Z 的线性算子。

F 的伴随算子计算如下:
因此，至少在弱收敛的意义下，有 可以证明，上面的收敛也是依范数收敛的。

因为F F *=，故1/2F c B c *≤。

由F 的定义，有
因此框架条件可改写为AI F F BI *≤≤，其中I 是恒等算子。

将1()F F *-作用于j ϕ可得到一个新的向量族，记为j ϕ≈，即1()j j F F ϕϕ*-=。

{}j j Z ϕ≈
∈也构成一个框架，框架界为1B -，1A -，即
可以证明F F F F **=，具体即
这就得到一个由,j f ϕ<>或,j f ϕ≈<>重构f 的公式，同时也得到了把f 写为j ϕ或j ϕ≈
的重叠方法。

三、δ函数与共轭空间理解
线性空间X 上的全体有界线性泛函X *称为X 的共轭空间。

以δ函数为例，说明共轭空间的重要性。

δ函数可以描述很多物理现象，例如力学中瞬时发生作用力的冲击力;数字信号处理中的抽样脉冲;直线上质量集中在一点附近时的密度; 电学中点电荷的密度等. δ函数是由物理学家狄拉克最先引进的，其表示式是
00()0x x x δ≠⎧=⎨∞=⎩
，()1x dx δ∞-∞=⎰。

这样表示的函数与数学命题“f=0 a.e.，则0"f =⎰矛盾，因此δ函数的上述表示一直不能被数学家接受.数学家经过长期的努力, 在共轭空间中找到了δ函数的位置和理论依据。

对C[-1,1]中任意一个连续函数f(t),对应一个[1,1]C R -→的泛函
线性是显然的，现证其连续性。

对任意的0[1,1]x C ∈-，有
当0x x →，即00x x →→时，0()()f x f x →，故f 在0x 点连续。

由0x 的任意性知，f 在[1,1]C -上连续。

考察[1,1]C -中的如下函数列()n f t ：
当0t ≠时，lim ()n n f t →∞=0，且()1n f t dt ∞-∞=⎰。

设想()n f t 的极限函数应当就是有广泛应用的δ函数，所以称()n f t 为δ函数序列。

但由于在t=0时，lim ()n n f t →∞
不收敛，故不能采用lim ()n n f t →∞
来作为δ函数的数学定义。

在[1,1]C -的共轭空间来考察。

δ函数序列()n f t 对应于
11/11/1/21/()()()()()()()()0n n n n n n n f x f t x t dt f t x t dt
x n t n dt x t ξξ---===-=≠⎰⎰⎰，1/n ξ< 当n →∞时，lim ()lim ()(0)n n n f x x x ξ→∞→∞
==，即在[1,1]C -的共轭空间中，n f 的极限函数应是[1,1]C -上的如下泛函：
总结以上泛函分析中的部分知识点：希尔伯特空间的正交分解、投影算子、伴随算子、点列依范数收敛、弱收敛、共轭空间等，对小波基的构造和小波框架理解学习有重要帮助，受益匪浅。