解析几何知识点

解析几何

1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0.倾斜角的范围

[)π,0.

2.直线的斜率：

(1)定义：倾斜角不是

90的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,

即k ＝tan α( 90≠α

);倾斜角为 90的直线没有斜率.

(2)斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212

12

1x x x x y y k ≠--=

.

(3)应用：证明三点共线：AB BC k k =.

3.直线的方程：

(1)点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为

00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.

说明: ①这个方程是由直线上一点和斜率确定的;②当直线l 的倾斜角为

0时,直线方程为

1y y =;③当直线

倾斜角为

90时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为:1x x

=.

(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. 说明: ①b 为直线l 在y 轴上截距;②斜截式方程可由过点),0(b 的点斜式方程得到;③当0≠k 时,斜截式

方程就是一次函数的表示形式.

(3)两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1

21

121x x x x y y y y --=

--，它不包括垂直于

坐标轴的直线.

说明: ①这个方程由直线上两点确定;②当直线没有斜率(21

x x =)或斜率为)(021y y =时,不能用两点式求出

它的方程;但把两点式化为整式形式))(())((112112x x y y y y x x --=--,就可以利用它来求出过平面内任意两个已知点的直线的方程:若2121,y y x x ≠=,则有01=-x x ,即1x x =;若2121,y y x x =≠,则有01=-y y ,即1y y =.

(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b

y

a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和

过原点的直线.

说明: ①该直线方程由直线在x 轴和

y 轴上截距确定,所以叫做直线方程的截距式;②截距式的推导可以通过直线

的两点式来实现;③在利用直线的截距式求解直线方程时要注意截距相等、截距的绝对值相等、截距成多少倍或互为相反数时,不要忘记直线过原点的特殊情况.

(5)一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(B A ,不同时为0)的形式.

4.设直线方程的一些常用技巧： (1)知直线纵截距b ,常设其方程为

y kx b =+.

(2)知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线).

(3)知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为

00()y k x x y =-+,

当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =.

(4)与直线:0l Ax By C

++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=.

(5)与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.

(6)过两直线0:1111

=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 的交点直线系：

)(0)()(22211R C y B x A C y B x A ∈=+++++λλ(注: 该直线系不含2l .)

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解.

5.点到直线的距离及两平行直线间的距离： (1)两点),(),,(112111y x P y x P 的距离22122121)()(||y y x x P P -+-=

(2)点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=

的距离d =

.

(3)两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=

间的距离为d =

.

6.直线1111:

0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：

(1)平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠或01221≠-C A C A . (2)相交⇔12210A B A B -≠.

(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=,01221=-C A C A .

提醒：(1)

111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111

222

A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？

(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线. (3)直线1111

:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.

7.到角和夹角公式：

(1)1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ,θ

()π,0∈且

2

11

21tan k k k k +-=

θ(121k k ≠-).

(2)1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角,(0,]2

π

θθ

∈且|1|tan 2112k k k k +-=θ(121k k ≠-)

提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解. 8.对称(中心对称和轴对称)问题——代入法. (1)点关于点对称问题----抓住中点关系.

(2)点关于直线对称问题----抓住斜率关系及中点关系.

(3)曲线关于点对称问题----利用相关点法求轨迹(转化为点关于点对称问题). (4)曲线关于直线对称问题----利用相关点法求轨迹(转化为点关于直线对称问题). 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解. 9.圆的方程：

(1)圆的标准方程：

()()

22

2x a y b r -+-=.

(2)圆的一般方程：2

2220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>,

提醒：只有当2

2D

E 4

F 0＋－>时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22

D E

-

-,

半径为

的圆(二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示 圆的充要条件是什么？(0,A C =≠且0B =且22

40D E AF +->)).

(3)()()1122A

,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=.

10.点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()22

2C 0：x-a y b r r +-=>.