数学分析之函数的连续性

第四章函数的连续性

教学目的：

1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；

2.熟练连续函数的性质并能加以应用；

3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明；

4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的联系与区别。

教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续

函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明。

教学时数：14学时

§ 1 函数的连续性（4学时）

教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。

教学要求：

1. 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；

2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；

3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

教学重点：函数连续性概念。

教学难点：函数连续性概念。

一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。

二、讲授新课：

（一）函数在一点的连续性：

1．连续的直观图解：由图解引出解析定义.

函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义.

2.

定义用例如 [1]P87例1和例2, P88 例3.

定义用

和

定义用先定义

定义连续的Heine定义.

定义( “

”定义.)

（注：强调函数

”定义验证函数在点连续.

例1 用“

例2 试证明: 若

在点连续.

则

3.单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.

Th ( 单、双侧连续的关系 )

例3讨论函数在点的连续或单侧连续性.

（二）间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.

跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况

或中至少有一个不存在称为第二类间断点.

即

例4讨论函数的间断点类型.

例5

延拓函数使在点连续.

例6举出定义在[0,1]上且仅在点三点间断的函数的例.

讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性.

例7

开区间上连续，闭区间上连续, 按段连续.

§ 2 连续函数的性质（6学时）

教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。

教学要求：

1. 掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并

能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中

正确运用连续函数的这些重要性质；

2. 掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有

关的具体问题中加以运用；

3. 理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间

上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。

教学重点：闭区间上连续函数的性质；

教学难点：一致连续的概念。

一、复习：连续、间断的含义.

二、讲授新课：

（一）连续函数的局部性质: 叙述为Th 1—4.

1.局部有界性：

2.局部保号性：

3.四则运算性质：

4.复合函数连续性：

在点连续，函数在点连续, 且,

Th 4 若函数

则复合函数在点

註Th 4 可简写为（即在条件满足的前提下，极限运算与函数运算可以交换顺序。）

例1 求极限

例2 求极限:

⑴⑵

的连续性见后.

例3求极限

（二）闭区间上连续函数的基本性质:

1.最值性: 先定义最值.

Th 5 ( 最值性 )

推论( 有界性 )

2. 介值性: 定义介值.

Th 6 ( 介值性 )

连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.

推论( 零点定理 )

例4证明: 方程在

到之间有实根.

是正数, 为正整数. 证明方程有唯一正实

在内的严格递增性.

根. 唯一性的证明用

在上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数在

Th 7 若函数

相应的定义域或上连续. ( 证 )

关于函数等的连续性 ( [1]P99 E5,6.)

（四）函数的整体连续性——一致连续：

1．

连续定义中对的依赖性：

例6

考查函数在区间上的连续性.对作限

制就有

对

,取这里与有关,有时特记为.

本例中不存在可在区间

上通用的, 即不存在最小的( 正数 ).

例7

考查函数在区间上的连续性.

本例中可取得最小的, 也就是可通用的该

却与

无

关, 可记为

.

2.一致连续性:

定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.

用定义验证一致连续的方法: 对

, 确证存在. 为此,从不

失真地放大式入手, 使在放大后的式子中, 除因子之外, 其余部分中不含有

和, 然后使所得式子, 从中解出

例8验证函数在

内一致连续.

例9 验证函

在区间内一致连续.