《数学分析》多元函数微分学

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面容：● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.三、本章的基本知识要点(一)平面点集与多元函数1.任意一点A 与任意点集E 的关系.1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ⊂，则称点A 是点集E 的点。

2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ⋂=∅，则称点A 是点集E 的外点。

3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。

4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()oUA 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的聚点。

5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。

2. 几种特殊的平面点集.1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。

2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。

3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。

4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。

5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。

3.2R 上的完备性定理.1) 点列收敛定义：设{}2n P R ⊂为平面点列，20P R ∈为一固定点。

若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作0lim n n P P →∞= 或 ()0,n P P n →→∞.2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，对一切自然数k ，都有(),n n k P P ρε+<. 3）闭区域定理. 设{}n D 是2R 中的闭域列，它满足：(i) 1,1,2,...;n n D D n +⊃=(ii) (),lim 0n n n n d d D d →∞==.则存在唯一的点0,1,2,...n P D n ∈=.4) 聚点定理. 设2E R ⊂为有界无限点集，则E 在2R 中至少有一个聚点。

5) 有限覆盖定理. 设2D R ⊂为一有界闭域，{}α∆为一开域族，它覆盖了D （即D αα⊂⋃∆），则在{}α∆中必存在有限个开域12,,...m ∆∆∆，它们同样覆盖了D （即1mi D α=⊂⋃∆）。

4. 二元函数定义：设平面点集2D R ⊂，若按照某对应法则f ，D 中每一点(),P x y 都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数（或称f 为D 到R 的一个映射），记作:f D R →,P z a ，且称D 为f 的定义域，P D ∈所对应的z 为f 在点P 的函数值，记作()z f P =或(),z f x y =。

（注：其它多元函数与二元函数相似）。

（二）二元函数的极限。

1. 定义 设f 为定义在2D R ⊂上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数，若对0ε∀>，都存在一个0δ>，使得()0,oP UP D δ∈⋂时，都有()f P A ε-<.则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记作()0lim P DP P f P A ∈→=。

有时简记为()0lim P P f P A →=。

当P 、0P 分别用()()00,,,x y x y 表示时，上式也可写作()()()00,,lim,x y x y f x y A →=.2. 重要定理及推论.1）()0lim P DP P f P A ∈→=的充要条件：对于D 的任一子集E ，只要0P 是E 的聚点就有()0lim P EP P f P A ∈→=。

2）设1E D ⊂，0P 是1E 的聚点，若()01lim P E P P f P ∈→不存在，则()0lim P DP P f P ∈→也不存在。

3）设1E 、2E D ⊂，0P 是它们的聚点。

若()011lim P E P P f P A ∈→=，()022lim P E P P f P A ∈→=，但12A A ≠，则()0lim P DP P f P ∈→不存在。

4）极限()0lim P DP P f P ∈→存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件0n P P ≠的点列{}n P ，它所对应的函数列(){}n f P 都收敛。

3. 二元函数函数极限的四则运算.若()()()00,,lim,x y x y f x y A →=，()()()00,,lim,x y x y g x y B →=。

则1)()()()()00,,lim,,x y x y f x y g x y A B →±=±⎡⎤⎣⎦；2)()()()()00,,lim,,x y x y f x y g x y A B →=⋅;3)()()()()()00,,,lim,0,x y x y f x y AB g x y B →=≠.4. 累次极限.1) 定义：对于函数(),f x y ，若固定()()00,lim ,x x y y f x y y ϕ→≠=存在，且()0lim y y y Aϕ→=也存在，则称A 为(),f x y 在()000,P x y =处先对x 后对y 的累次极限，记为()00lim lim ,y y x x f x y →→，类似可定义()00lim lim ,x x y y f x y →→。

2) 重要定理及推论. ① 若()()()00,,lim,x y x y f x y →与()00lim lim ,x x y y f x y →→（或()00lim lim ,y y x x f x y →→）都存在，则它们相等； ② 若()()()00,,lim,x y x y f x y →，()00lim lim ,x x y y f x y →→和()00lim lim ,y y x x f x y →→都存在，则三者相等；③ 若()00lim lim ,x x y y f x y →→与()00lim lim ,y y x x f x y →→都存在但不相等，则()()()00,,lim,x y x y f x y →不存在。

（三）二元函数的连续性1. 定义 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数，0P D ∈，若对0ε∀>，都存在一个0δ>，只要()0,P U P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<则称f 关于集合D 在点0P 连续。

若f 在D 上任何点都连续，则称f 为D 上的连续函数。

若()()0000lim ,,0y y f x y f x y →-=⎡⎤⎣⎦，则称(),f x y 在()000,Px y =处关于y 连续。

同理可定义关于x 连续。

2. 复合函数的连续性定理 设二元函数(),u x y ϕ=和(),v x y ψ=在()000,P x y =点连续，函数(),z f u v =在点()00,u v 处连续，其中()()00000,,,x y v x y ϕψ=，则复合函数()()(),,,z f x y x y ϕψ=在点0P 连续。

3. 有界闭域上连续函数的性质.1）若函数f 在有界闭域2D R ⊂上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值； 2）若函数f 在有界闭域2D R ⊂上连续，则f 在D 上一致连续；3）若函数f 在有界闭域2D R ⊂上连续,对任意的1P 、2P D ∈，且()()12f P f P <，则对任何满足不等式()()12f P f P μ<<的实数μ，必存在点0P D ∈，使得()0f P μ=。

4. n 元函数唯一存在与连续可微性定理。

若1）函数12(,,...,,)n F x x x y 在以000012(,,...,,)n P x x x y 为点的1n +维空间区域D 连续；2）偏导数12'''',,...,,n x x x y F F F F 在D 存在且连续；3）000012(,,...,,)0n F x x x y =；4）'000012(,,...,,)0y n F x x x y ≠；则在P 的某一邻域()U P ，方程12(,,...,,)0n F x x x y =唯一地确定了一个定义在000012(,,...,,)n Q x x x y 的邻域()U Q 上的n 元连续函数12(,,...,)n y f x x x =使得:①121212(,,...,,(,,...,))(),(,,...,)();n n n x x x f x x x U P x x x U Q ∈∈0012121201(,,...,,(,,...,))0,(,,...,)(),(,...,).n n n n F x x x f x x x x x x U Q y f x x ≡∈=②12(,,...,)n y f x x x =在()U Q 连续偏导数：12''',,...,nx x x f f f而且11''',x x yF f F=-22'''''',...,.n n x x x x yy F F f f FF =-=-5. 由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）若：1）(,,,)F x y u v 与(,,,)G x y u v 在以点00000(,,,)P x y u v 为点的区域4V R ⊂连续； 2）00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==（为初始条件）； 3）在V ,F G 具有一阶连续偏导数； 4）(,)(,)F G J U V ∂=∂在点0P 处不等于零。

则在点0P 的某一（四维空间）邻域0()U P V ⊂，方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩唯一地确定了定义在点000(,)Q x y 的某一（二维空间）邻域0()U Q 的两个二元隐函数(,),(,),u f x y v g x y == 使得：①000000(,),(,),u f x y v g x y ==且当0(,)()x y U Q ∈时，0(,,(,),(,))(),x y f x y g x y U P ∈(,,(,),(,))0,F x y f x y g x y ≡ (,,(,),(,))0,G x y f x y g x y ≡②(,),(,)f x y g x y 在0()U Q 连续；③(,),(,)f x y g x y 在0()U Q 有一阶连续偏导数，且1(,)1(,),,(,)(,)1(,)1(,),,(,)(,)u F G v F G x J x v x J u x u F G v F G y J y v y J u y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂6. （反函数组定理）若函数组(,),(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩满足如下条件：1）(,),(,)u x y v x y 均是有连续的偏导数； 2）(,)0.(,)u v x y ∂≠∂则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组(,),(,),x x u v y y u v ==且(,)(,). 1.(,)(,)u v x y x y u v ∂∂=∂∂(四) 多元微分学的应用1. 泰勒定理1) 若(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域0()U P 存在1n +阶连续的偏导数，则000(,)()x h y k U P ∀++∈，有00000020000100(,)(,)()(,)1()(,)...2!1()(,)!1()(,)(1)!n n f x h y k f x y h k f x y x yh k f x y x y h k f x y n x y h k f x h y k n x yθθ+∂∂++=++∂∂∂∂+++∂∂∂∂++∂∂∂∂+++++∂∂其中0000()(,)|m mm p m p pm P m p p p f h k f x y c h k x y x y --=∂∂∂+=∂∂∂∂∑ 2) 当000,0x y ==时，相应二元函数(,)f x y 的麦克劳林公式为1(,)(0,0)()(0,0)...1()(0,0)!1()(,).(1)!n n f x y f x y f x yx y f n x y x y f x y n x yθθ+∂∂=+++∂∂∂∂++∂∂∂∂+++∂∂2．极值1）定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y =的某邻域0()U P 有定义，如果0(,)()x y U P ∀∈ 满足0000(,)(,)((,)(,))f x y f x y f x y f x y ≤≥，则称00(,)f x y 为(,)f x y 的极大值（极小值），此时点0P 称为(,)f x y 的极大值点（极小值点）。