北师大高中数学必修二课后作业 垂直关系的性质 含解析

课后作业(十三)

(时间45分钟)

学业水平合格练(时间20分钟)

1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()

A．相交B．平行

C．异面D．相交或平行

[解析]∵圆柱的母线垂直于底面，所作的直线也垂直于底面，∴母线与所作的直线平行．

[答案] B

2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：

①若α⊥β，α∩β＝m，nα，n⊥m，则n⊥β；

②若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；

③若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α；

④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.

其中正确命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

[解析]根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，mα时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.

[答案] B

3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面P AD⊥平面ABCD，

P A＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()

A．PE⊥AC

B．PE⊥BC

C．平面PBE⊥平面ABCD

D．平面PBE⊥平面P AD

[解析]因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立；又PE平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立；若平面PBE⊥平面P AD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.

[答案] D

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

[解析]如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD

平面BCD，故CD⊥平面ABD，又AB平面ABD，CD⊥AB.又AB

⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.

[答案] D

5．如图，平面BCD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC 的形状为()

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定

[解析]过A作AE⊥BD，垂足为E，由题意知AE⊥平面BCD，∴BC⊥AE.又∵DA⊥平面ABC，∴BC⊥DA.又DA∩AE＝A，∴BC⊥平面DAB，∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．

[答案] B

6.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC ＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.

[解析]∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A ⊥AC)，

∴P A⊥平面ABC，

∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.

[答案] 5

7．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)

①a和b垂直于正方体的同一个面；

②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；

③a和b平行于同一条棱；

④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．

[解析]①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．

[答案]①②③

8．如图(1)所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足________时，A1C⊥B1D1.(写出一个正确条件即可)

(1)(2)

[解析]如图(2)，连接BD.因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，即使A1C⊥BD.又因为A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC

平面A1AC，所以AC⊥BD.

[答案]AC⊥BD

9.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD

⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，

所以EF∥AB.

又因为EF平面ABC，AB平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

BC平面BCD，BC⊥BD，

所以BC⊥平面ABD.

因为AD平面ABD，所以BC⊥AD.

又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC.

又因为AC平面ABC，

所以AD⊥AC.

10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.

[证明]

如图所示，连接AB1，B1C，BD.

∵DD1⊥平面ABCD，

AC平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1.

∵BD1平面BDD1B1，

∴BD1⊥AC.

同理可证BD1⊥B1C，

又AC∩B1C＝C,

∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，

∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

应试能力等级练(时间25分钟) 11．在空间中，下列命题正确的是()

A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面

B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α

C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β

D．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b

[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以不正确；选项D中，由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以正确．[答案] D

12.如图所示，正方形ABCD与DCEF的边长为2，且平面ABCD ⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点，则MN＝________.

[解析]过M点作MP⊥CD，交CD于点P，

则P为CD的中点，连接PN，

∵平面ABCD⊥平面DCEF，MP⊥CD，

∴MP ⊥平面DCEF ， ∴△MPN 为直角三角形， 又PN ＝12＋1

2＝ 2.

∴MN ＝MP 2＋PN 2＝4＋2＝ 6. [答案]

6

13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是________．

[解析] BD 1⊥平面B 1AC ，平面B 1AC ∩平面BCC 1B 1＝B 1C ，所以P 为线段B 1C 上任何一点，均有AP ⊥BD 1.

[答案] 线段B 1C

14．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．则平面ABD 与平面ACD 所成的二面角为________．

[解析]

?

?

??? ?

????平面ABC ⊥平面BCD

CD ⊥BC 平面ABC ∩平面BCD ＝BC ?CD ⊥平面ABC

AB 平面ABC ?

?

?

??? ?

????CD ⊥AB

AB ⊥AC AC ∩CD ＝C ?AB ⊥平面ACD

AB 平面ABD

?平面ABD ⊥平面ACD ?平面ABD 与平面ACD 所成的二面角

为90°.

[答案] 90°

15.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1

.

求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .

[证明] (1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1

.

因为AB

平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C .

(2)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．

又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B . 又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC .

又因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B 平面A 1BC ，BC 平面A 1BC

所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.