应用统计学第3章SYJ

2
1.算术平均数
算术平均数也称均值，是社会经济统计中广泛应用的一种综合性指标， 它反映同类现象在特定条件下所达到的平均水平，是总体数量分布的一个重 要特征。
（1）基本公式：
算术平均数
总体单位标志总量 总体单位总数
3
（2）算术平均数的计算
(1)简单算术平均数
x
1 n
n
xi
i 1
n —总体单位总数；xi —第 i 个单位的标志值。 (2)加权算术平均数
55
解：Σf/2 = 27.5，中位数在“15-25”的组中，
Me
L
1 2
f Sm1 d
fm
15 27.5 8 10 20
24.75
9
3.众数
——是总体中出现次数最多的标志值，记为M 0。 众数明确反映了数据分布的集中趋势，也是一种 位置平均数，不受极端数据的影响。但并非所有 数据集合都有众数，也可能存在多个众数。
2 1 fi
(xi X )2 fi
1
fi
(xi X )2 fi
S2
1 fi 1
(xi X )2 fi
S
1 fi
1 (xi
X
)2
fi
33
未分组数据方差和标准差的计算
方差和标准差的手工计算非常烦琐，只要求掌握以下两 种方法。
⑴使用计算器的统计功能(SD或STAT功能) ⑵使用 Excel 的统计函数 ①VARP(<区域或数组1>,<区域或数组2>,…)
中位数是一种位置平均数，不受极端数据的影响。 当统计资料中含有异常的或极端的数据时，中位数 比算术平均数更具有代表性。
比如有 5 笔付款：9元，10元，10元，11元，60 元.
付款的均值为 20 元，显然这并不是一个很好的 代表值，而中位数 Me = 10 元则更能代表平均每笔 的付款数。
6
(1) 使用 Excel 的统计函数返回未分组数据的中位数
功能：返回不同nthquart的四分位数。
如果nthquart等于 0
1
函数QUARTILE的返回值 最小值
第一四分位数(第25 个百分点值)
2
中位数(第 50个百分点值)
3
第三四分位数(第 75 个百分点值)
4
最大值
20
6.五数汇总和箱线图
五数汇总包括最小值、第一分位数、中位数、第 三分位数和最大值这样五个数据，即
QD = QU - QL
4. 反映了中间50%数据的离散程度 5. 不受极端值的影响 6. 用于衡量中位数的代表性
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3.平均差
平均差是各数据与其均值离差绝对值的算术 平均数，通常记为A.D。
A.D
1 N
|
Xi
X
|
平均差越大，反映数据间的差异越大。
但由于使用了绝对值，其数学性质很差，因而 很少使用。
0
X (Me，M0) x
M0 Me X
x
X Me M0 x
14
补充习题
补充题3：某地区私营企业注册资金分组资料如下， 求该地区私营企业注册资金的平均数、中位数和 众数。
注册资金 (万元)
50以下
50～100
100～150 150～200 200～250 250以上
企业数 20
35
42
26
15
5
15
箱线图(亦称箱须图)提供了基于五数汇总的几何图形
数 ?据?集?
1
X 最小
Q1
Me
Q3
X 最大
30
35
40
45
50
wk.baidu.com
?
值
21
箱线图和四种不同类型分布图的联系
a)钟形分布 c)右偏分布
b)左偏分布
d)矩形分布 22
7.几何平均数
当统计资料是各时期的发展速度等前后期的两 两比环数据，要求每时期的平均发展速度时，就需 要使用几何平均数。
• 规则1 如果结果是整数，四分位数等于那个整数位置的数据。例如，如 果样本容量为，第一分位数等于第（7+1）/4=2个数据。
• 规则2 如果结果是半数（如2.5，3.5等），四分位数等于相邻有序数据 的平均数。例如，样本容量，第一分位数是第（9+1）/4=2.5个数据，即 是原有序数中第二个和第三个数据之间的平均值。
可以使用 Excel 统计函数中的 MEDIAN 函数返回 未分组数据的中位数。 格式：MEDIAN(<区域或数组1>,<区域或数组 2>,…) 功能：返回所有参数中数据的中位数。
7
(2)分组数据中位数的确定
对于分组数据的统计资料，中位数要用插值法来估算。
(1)计算各组的累计频数； (2)确定中位数所在的组 ——是累计频数首次包含中位数位次Σf /2的组。
x xi fi fi
xi —第 i 组的代表值(组中值或该组变量值)； f i —第 i 组的频数。
4
使用 Excel 函数求加权算术平均数
利用 Excel“数学和三角函数”中的AVERAGE 函数可以 方便地计算出一组或多组数据的算术平均数。
语法规则： 格式：AVERAGE (<区域1>,<区域2>,…) 功能：返回返回所有参数的算术平均数。
30
4.方差和标准差
方差和标准差是应用得最为广泛的变异指标。标 准差是方差的算术平方根，也称均方差或根方差。
应注意总体方差、标准差与样本方差、标准差是 有区别的。
(1) 总体方差和总体标准差
总体方差是各总体数据与其均值离差平方的均值，
记为 2，总体标准差记为。
2
1 N
(Xi
X
)2
1 N
(
Xi
X
)2
Me
L
f
/ 2 Sm1 fm
d
100
71.5 55 42
50
119 .64（万元）
众数组为“100～150”的组，
M0
L 1 1 2
d
100
42 35
50 115 .22
(42 35) (42 26)
(万元)
16
5.四分位数 (概念要点)
1.集中趋势的测度值之一 2.排序后处于25%和75%位置上的值
利用 Excel“数学和三角函数”中的SUMPRODUCT 函数 可以方便地计算出分组数据的加权算术平均数。
语法规则： 格式：SUMPRODUCT(<区域1>,<区域2>,…) 功能：返回两个或多个区域中对应元素乘积之和。
5
2.中位数
将总体各单位标志值按由小到大的顺序排列后处 于中间位置的标志值称为中位数，记为Me .
第3章 统计数据的描述度量
本章主要介绍以下 3类综合统计指标： 度量中心（集中）趋势的平均指标 度量离散程度（变异性）的指标 度量偏斜程度的指标 度量两种数值变量关系的指标
1
§3.1 度量集中趋势的指标
常用的这类指标有以下五种：算术平均数、中位 数、众数、四分位数、几何平均数，除此之外本 节还将介绍五数汇总和箱线图。
• 规则3 如果结果既不是整数又不是半数，结果取最接近的整数，并选数 据。例如，如果样本容量，第一分位数等于（10+1）/4=2.75个数据。取 2.75 为3，使用原有序数中的第三个数据。
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数值型未分组数据的四分位数 (7个数据的算例)
原始数据: 排 序: 位 置:
23 21 30 32 28 25 26 21 23 25 26 28 30 32 12 3 4567
几何平均数是 n 个数连乘积的 n 次方根。
（1） 简单几何平均数
xG n x1 x2 xn
（2） 加权几何平均数
xG
f
x f1 1
x2f2
xnfn
f i — 各比率出现的频数
23
例：某公司原料成本随时间增长的情况如下表
1992 1993
成本
200 228
年增长率(%)
14
求原料成本的平均年增长率。
10 22.37
(20 6) (20 15)
13
4.算术平均数、中位数和众数间的关系
1.频数分布呈完全对
f
称的单峰分布，算术
平均数、中位数和众 数三者相同。
0
2.频数分布为右偏态 时， f
众数小于中位数，算术平
均数大于中位数。
0
3.频数分布为左偏态时， f 众数大于中位数，算术平 均数小于中位数。
Me
L
1 2
f fm
Sm1
d
其中：L — 中位数所在组的下限； Sm-1 — 中位数所在组前一组的累计频数； fm — 中位数所在组的频数； d — 中位数所在组的组距。
8
例：计算下表数据的中位数
分组
各组频数
累计频数
0-5
2
2
5-15
6
8
15-25
20
28
25-35
15
43
35-45
8
51
>45
4
在某些情况下，众数是一个较好的代表值。 例如在服装行业中，生产商、批发商和零售商 在进行生产和存货决策时，更感兴趣的是最普遍 的尺寸而不是平均尺寸。 又如，当要了解大多数家庭的收入状况时，也 要用到众数。
10
(1) 未分组数据众数的确定
在数据量很大的时候，可以使用 Excel 统计函数中 的 MODE 函数返回众数。
1994 239.4
5
解一： xG 3 1.141.051.02 1.0688 解二： xG 3 244.2 / 200 1.0688 年平均增长率 = 1.0688 - 1 = 6.88%
1995 244.2
2
24
（3）使用 Excel 求几何平均数
可以使用 Excel 统计函数中的 GEOMEAN 函数返 回几何平均数。 语法规则： 格式：GEOMEAN(<区域或数组1>,<区域或数组 2>,…) 功能：返回所有参数中数据的几何平均数。
QL位置
=
N+1 4
=
7+1 4
=2
3(N+1) 3(7+1) QU位置 = 4 = 4 = 6
QL= 23
QU = 30
19
使用Excel统计函数中的QUARTILE函数
在数据量很大的时候，可以使用Excel统计函数中的 QUARTILE函数返回四分位数，语法规则如下：
格式：QUARTILE (数据集, 第nthquart分位数)
补充题3 答案
注册资金(万元) 企业数
50以下
20
50～100
35
100～150
42
150～200
26
200～250
15
250以上
5
累计企业数 20 55 97 123 138 143
组中值 25 75 125 175 225 275
x xi fi 123 .6（万元） fi
Σf/2=143/2=71.5，中位数所在组为“100～150”的组，
Δ1— 众数组与前一组的频数之差 Δ2 — 众数组与后一组的频数之差 d — 众数组的组距
d L 众数
12
例：计算下表数据的众数
分组 0-5 5-15 15-25 25-35 35-45 >45
各组频数 2 6 20 15 8 4
解：众数组是“15-25”的组，则
M
0
L
1 1 2
d
15
20 6
道森公司和克拉克公司是道格拉斯公司的两家供货 商。两家供货商都表示大约需要10个工作日交付定 货。下表是两家供应商定货交付时间的历史数据。 今后道格拉斯公司应选择哪家供应商供货？
道森公司：
克拉克公司：
交货天数 次数
交货天数
次数
9
2
7
1
10
6
8
2
11
2
9
3
10
4
11
3
12
2
13
1
27
1.极差
极差也称全距，是一组数据的最大值和最小值 之差,通常记为R。显然，一组数据的差异越大，其 极差也越大。
格式：MODE(<区域或数组1>,<区域或数组2>,…) 功能：返回所有参数中数据的众数。
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(2) 分组数据众数的确定
对于分组数据的统计资料，众数也要用插值法来估算。 (1)确定众数所在的组
对于等距分组，众数组是频数最高的组； (2)使用以下插值公式计算
M
0
L
1 1 2
d
其中：
Δ1
Δ2
L — 众数组的下限
极差是最简单的变异指标，它广泛应用于产品 质量管理中控制质量的差异，一旦发现超过控制范 围，就采取措施加以纠正，以保证产品质量的稳定。
但极差有很大的局限性，它仅考虑了两个极端 的数据，没有利用其余数据的信息，因而是一种比 较粗糙的变异指标。
28
2.四分位差
1. 离散程度的测度值之一 2. 也称为内距或四分间距 3. 上四分位数与下四分位数之差
31
•(2) 样本方差与样本标准差
样本方差记为 S 2，样本标准差记为 S，在推
断统计中，它们分别是总体方差和标准差的优良
估计。
S
2
1 n 1
(Xi
X
)2
S
1 n 1(Xi
X
)2
其中：n 为样本容量，Xi 为样本观察值 X 为样本均值。
32
•分组数据的方差与标准差
如果得到的是分组的频数分布数据，则方差与 标准差的计算公式如下：
25% 25% 25% 25%
QL
QM
QU
3. 不受极端值的影响
4. 可用于定序数据，也可用于数值型数据， 但不能用于定类数据
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四分位数位置的确定
公式：
下四分位数(QL)位置
=
N+1 4
3(N+1) 上四分位数(QU)位置 = 4
对于四分位数的计算学术界没有一致认同的方法，通常可根据以下规则计 算四分位数
25
§3.2 度量离散程度的指标
要分析总体的分布规律，仅了解中心趋势指标是不 够的，还需要了解数据的离散程度或差异状况。几个总 体可以有相同的均值，但取值情况却可以相差很大。
频 数
x
x
变异指标就是用来表示数据离散程度特征的。变异 指标主要有：极差、平均差、标准差和变异系数。
26
【案例】道格拉斯公司应如何选择供应商