最优控制总结

/系统的数学模型,物理约束条件及性能指标。数学描述:设被控对象的状态方程及初始条件为

()[(),(),],(0)0x t f x t u t t x t x ==；其中,()x t X Rn ∈⊂为状态向量，X 为状态向量的可容许集；()u t Rm ∈Ω⊂为控制向量，Ω为控制向量的可容许集。试确定容许的最优控制*()u t 和最优状态轨迹*()x t ，使得系统实现从初始状态(0)x t 到目标集[(),]0x tf tf ψ=的转移,同时使得性能指标0

[(),][(),(),]tf

t J x tf tf L x t u t t dt ϕ=+

⎰

达到极值。

系统状态方程形式(连续,离散)(2)最优控制形式(开环,闭环) (3)实际应用(时间,燃料,能量,终端

) (4)终端条件(固定,自由) (5)被控对象形目标函数及约束条件组成的静态优化问题可以描述为：在满足一系列约束条件的可行域中，确定一组优化变量，(极大值或极小值)。 数学描述：min (),,:n n

f x x R f R R ∈→，..()0,:;()0,:n m n l s t

g x g R R h x h R R =→≥→

静态最优化问题

，也称为参数最优化问题，它的三个基本要素是优化变量、目标函数和约束条件，其本质是解决函数，也称为最优控制问题，它的三个基本要素是被控对象数学模型、物理约束条件和性能指标，其本质是解 多变量目标函数沿着初始搜索点的负梯度方向搜索,函数值下降最快,又称最速下降法;(2)多变量无约束。

根据具体的最优换问题构造合适的惩罚函数,将多变量有约束最优化问题转换为一系列多变量无约束最优化问题,从而采用合适

;(2)多变量有约束(外点法:等式约,不等式约束;内点法:不等式约束)。

通过构造拉格朗日函数,将原多变量有约束最优化问题转化为一个多变量无约束最优化问题,从而采用合适的无约束方法继(等式约束,不等式约束)。 梯度定义12()()()()f x x f x f x f x x

x ∂⎡⎤

⎢⎥∂∂⎢

⎥=∇=⎢⎥∂∂⎢⎥

∂⎣⎦，Hessian 矩阵2222

121222

2212()()f f x x x f x H x x f f x x x ⎡⎤

∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥

==⎢⎥

∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦

,最优梯度法(无约束)：迭代(1)()()()()k k k k x x f x α+=-∇，()()()

()()()

()()()()()

k T k k k T k k f x f x f x H x f x α

∇∇=∇∇，终止误差()

()()k p k f x ε=-∇≤ 例：(),(0),()f x f x H x ∇∇；(0)[(0)(0)]f x T f x α=∇•∇/[(0)

(0)]T f x H f x ∇••∇；(1)(0)(0)(0)x x f x α=-•∇；()f xk ε∇<，()x k 是极()0,()0x x =≥g h (1) 等式约束：(,)()()T H x f x x λ=+λg ，利用

1210,0,0,0,0n m

H H H H H

x x x

λλ∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂解出极大值点或极小值点。 (2) 不等式约束：()0x ≤h ，引入附加变量2i v 使得不等式约束变为等式约束：2()0i i h x v +=，再有等式拉格朗日乘子法. (1)外部：1)等式约束21

112

2

(,)()()()()()m T i i P x f x g x f x g x g x ρρρ==+=+∑

,用/0P x ∂∂=求解出*()x ρ,令ρ→+∞求出*x ; 2)不等式约束()0x ≥h ：21

12

(,)(){min[(),0]}l i i P x f x h x ρρ==+∑

3) 复合形式：2

1

122

(,)()()(){min[(),0]}T i

P x f x x x h x ρρρ=++∑g g

(2)内部：只适用于不等式约束，惩罚函数1

1(,)()()l i i

P x f x h x μμ-==+∑，21

(,)()()l

i i P x f x h x μμ-==+∑

，1(,)()ln[()]l

i i P x f x h x μμ==-∑利用

0P

x

∂=∂求解出*()x μ，令0μ+→求出*x C3（变分法）

0(,)()|J x x J x x

αδαδα=∂=+∂，变分规则：1100

t t t t Jdt Jdt δδ=⎰⎰，d

x x dt

δδ=

欧拉方程****(,,)(,,)[][]0g x x t d g x x t dt ∂∂-=∂∂x x ,横截条件方程******

*(,,)(,,)[

]|(,,)[]|0f f T T t f t f g x x t g x x t x g x x t t δδ⎧⎫∂∂+-=⎨⎬∂∂x x x *,,)]|0f t x t =∂x

**

*(,,),)|[]|f T t t g x x t x t ∂-∂x x

***

,,),)|0,|0f f t t x x t x t ∂==∂x **

*(,,),)|[]()|f f T

t t g x x t x t θ∂+-=∂x x