时间、燃料最优控制问题
最优控制--极大值原理
X (t0 ) = X0
:
∂φ Htf + =0 ∂t f
t0 , t f 已知， (t0 ) = X0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] = 0 X
边界条件为:
∂φ ∂gT λ(t f ) = µt f tf + ∂X ∂X g[ X (t f ), t f ] = 0 ∂φ ∂gT + µ =0 若 t f 自由:外加: H |t f + ∂t f ∂t f
_
H[ X (t), λ(t),U (t)] = m H[ X * (t), λ(t), u(t)] ax
* * u(t )
_
_
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。 一般:对于实际系统
1、问题提出（时变系统） 问题提出 时变系统）
ɺ 已知受控系统 X = f ( X (t), t) + B( X (t), t)u(t), X (0) = X0 并设 f 和 B对X(t)和t 连续可微。 和 连续可微。
X：n×1 ： × u： r×1 ： × f ：n×1 × B：n×r ： × 状态向量 控制向量 函数向量 函数值矩阵
* 解得: x (t) = 0.1e
2t
+ 9.9e−
2t
2t
λ(t) = −0.1( 2 +1)e
b) |u| ≤ 0.3
+ 9.9( 2 −1)e−
2t
由极小值原理: U * = −sgn{λ} 当t=1时
λ =0
在[0,1]区间
最优控制 (7)1
j=1,2, …,m
m c j u j t dt j i
(4-6)
以驱使系统从初态x0 到达运动目标集 S，并使性能指标
J u t
tf
0
cj 0
(4-7)
最小，其中t f 是自由的，或是固定的。
7
应用最小值原理来求解
写出系统的哈密顿函数
j 1 i 1 m
m
n
n ˆ ˆ f i xt , t i t u j t bij xt , t i t ˆ ˆ ˆ i 1 j 1
m n m i 1
c j u j t
j 1
n ˆ ˆ f i xt , t i t u j t bij xt , t i t ˆ ˆ i 1 i 1
11
方程(4-10)，(4-11)，(4-13)-(4-15)是问题 4-1 在终端时间自由情况下的必要条件。 在终端时间固定的情况下，必要条件(4-14) 不复存在，而方程(4-15)中的 tˆf 是指固定时间
Tf 。
12
下面详细研究不等式(4-13)
n ˆ c j u j t u j t bij xt , t j t ˆ ˆ ˆ i 1 j 1 j 1
若 q j t c j 1 ˆ
ˆ 若 q j t c j 1
ˆ 若 q j t c j 1
q j t ˆ min u t c j min u j t 1 u u j ( t ) 1 c j j 1
H xt , t , u t , t c j u j t f T xt , t t
最优控制特点
切换一次，设切换
2t
时间为ts，则令
0
为了求出ts，必须
首先找出状态在
1
平面上的转移轨线。
0
1
ts
tf
t
t
由 则：
设u=1，则
其中
如图(a)所示，为一组抛物线， 当K=0时经过原点[pos]
X2 s
0
t
p
若u=-1，则
X2 N
o
X1
T u=-1
为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]
j =1，2…r
u 最优控制 *(t)是使
为极小，则：
＋１ －１ 不定
u*(t) +1
-1
奇异
t
可见：当 当
时， 时，
有确定值，正常情况 不定， 奇异情况
我们仅研究正常情况
u*(t)写成符号函数sgn{ }形式
则
j =1，2…r
向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}
=-sgn{
}
⑶根据规范方程：
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
一般:对于实际系统
有最优解
有唯一解
最优解
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是
控制向量约束条件: 末端状态：
g：p ×1维函数向量
目标函数：
: 自由
问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态， 目标函数J 为最小
❖ 步骤：应用最小值原理进行问题的求解
时间最优控制
* *
对最优控制 u *(t ) 取极小值。
u (t ) 2(t ) 与 的大小及符号有关，呈 如下死区函数关系:
*
u ( ) 0,当 2( ) 1 t t u *( ) sgn[ 2( )], 当 2( ) 1 t t t * 0 u ( ) 1,当2( ) 1 t t * 1 u ( ) 0,当2( ) 1 t t
极小值条件
函数变化律
u (t ) 2(t )u (t ) u(t ) 2(t )u(t )
* *
u (tf ) 1(tf )x (tf ) 2 (tf ) (tf ) 0 u
* * 2 *
H函数的最优控制 u *(t ) 取极小值时，等价于函数
R() u (t 2t )) ) R(u u ) u (t ) 2((tuu(t(t )
析，当 u=+1和u=-1时， 系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为, 如下图所示，点集表达式为：
R2
x2
R1
R4
R3
1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 x x ,x 2 2 x1 1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 2 x x ,x 2
*
引入死区函数记号dez,其意义为a=dez{b}, 表示为 0,当b 1 以及 0 a 1,当b 1 a 1 a 0,当b 1 sgn{b},当b 1
由以上关系能否完全确定 u (t )，取决于函数 2(t )的 性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常 与奇异两种情况：若在时间区间[0,tf]内， 2(t*) 1 值 在有限点成立，则属正常情况，最优控制 u (t ) 可取 * -1、0、+1 三个值，随时间的增长， u (t ) 在这三个 值上转换，称为三位控制或开关控制。 若至少存在一段时间间隔[t1 ,t 2 ] [0,tf ] ，在其上有 2( ) 1 则问题属于奇异情况。 t
最优控制问题介绍
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
4.5燃料最优控制
其中b j 是B的第j个列向量。则求u* (t )使H最小，即 q j (t ) 求u (t )使h(u)最小，h(u) c j u j (t ) u j (t ) cj j 1 m q j (t ) min h(u) min c j u j (t ) u j (t ) u j ( t ) 1 u j ( t ) 1 cj j 1 m q j (t ) c j min u j (t ) u j (t ) u j ( t ) 1 cj j 1 q j (t ) * u j (t ) dez j 1,2,3 , m , cj
20
当初态位于R4内时，奇异最优控制有无穷多解。
21
若考虑时间最短因素，则0,1为唯一的 奇异最优控制。
22
综上所述，初态位于R 4 内时，若问题正常， 则0， 1是唯一的燃料最优控制序列。 若问题奇异，则燃料最优控制有无穷多解， 其中0， 1是转移时间最短的燃料最优控制序列。 同理，初态位于R 2 内时，若问题正常， 则0， 1是唯一的燃料最优控制序列。 若问题奇异，则燃料最优控制有无穷多解， 其中0， 1是转移时间最短的燃料最优控制序列。
* m
29
q j (t ) 当 1，t t1 , t2 0, t f 时为奇异情况。 cj 定理4.5 ：问题4.5.1为正常的充分条件是，对所有的 j 1,2, , m, 均有 det( AG j ) 0， 其中G j为 G j bj Ab j A2b j An 1b j 。
24
2.奇异情况 u( t ) sgnc2 (t )
( t )是任意不恒等于零的非 负分段连续函数， 且 0 ( t ) 1， t 0, t f
燃料电池系统中的最优控制策略研究
燃料电池系统中的最优控制策略研究燃料电池的应用已经开始越来越广泛，而燃料电池系统中的最优控制策略研究也逐渐受到了重视。
在燃料电池系统运行中，控制策略不仅可以有效提高燃料电池系统的工作效率，还可以减少燃料电池系统的运行和维护成本。
因此，燃料电池系统中的最优控制策略研究具有十分重要的意义。
从理论和实践上来看，燃料电池系统中最常见的控制策略有三种：恒压控制，恒流控制和3C（Conventional,Constant,Current）控制。
其中，恒压控制和恒流控制的控制策略相对简单，但是存在一些问题。
恒压控制的缺点在于容易导致系统压力过高，同时震荡现象也比较明显。
而恒流控制则容易造成系统电压过高或者过低，直接影响系统的稳定性和可靠性。
因此，为了获得更加准确和精确的控制效果，3C控制策略应运而生。
3C控制是全球燃料电池技术发展的一个里程碑，它通过实时的调节燃料电池的电流、压力和温度三个参数，来实现系统的最优控制。
在3C控制中，当燃料电池的电流、压力和温度超出了设定范围时，控制器便会自动调整燃料电池的输出电流、压力和温度，让系统始终保持最佳状态。
相对于恒压控制和恒流控制，3C控制有以下优点：（1）更高效：3C控制通过实时调节燃料电池的参数，可以尽可能的提高系统效率，使系统运行到最佳水平。
（2）更节能：3C控制可以根据系统的实际运行情况，调节输出功率，以避免在高效能状态下过度能量消耗。
（3）更稳定：3C控制能够不断检测系统状态，并在必要时进行调节，以确保系统在稳定状态下运行，避免系统出现不必要的压力波动和性能损失。
（4）更长寿命：3C控制能够有效降低系统的温度、压力和电流变化，以加强系统的耐用性和稳定性，使系统更长寿。
总之，燃料电池系统中的最优控制策略研究对于实现更高效、更可靠、更节能的燃料电池系统是至关重要的。
而3C控制策略的应用，不仅可以提高系统的工作效率，还可以有效地降低系统的运行和维护成本。
它为今后燃料电池系统的研究提供了一个重要的研究方向，也为推动现代能源和环境保护做出了重要的贡献。
能源系统优化中的最优控制问题
能源系统优化中的最优控制问题第一章：引言在当今世界，能源问题受到人们的广泛关注。
由于全球人口的增长，能源需求增长速度也快速增加。
同时，多种人类活动引起的二氧化碳排放等温室气体的释放也对环境造成了严重的压力。
因此，能源系统优化变得越来越重要，以此减少对不可再生资源的依赖，降低能源消耗和二氧化碳排放等。
最优控制问题是能源系统优化中的一个核心问题。
通过最优控制技术，我们可以在保证能源供应的情况下尽量减少能量和资源的浪费。
基于此，本文将详细介绍最优控制在能源系统优化中的应用。
第二章：最优控制问题的基础知识最优控制是指在给定控制量和状态变量的情况下，寻找使得系统性能指标最优的控制策略。
其核心是建立系统的动态特性和性能指标之间的数学模型，该模型包括控制变量和状态变量以及其动态过程和约束条件等。
最优控制问题可以分为两类，即静态最优控制问题和动态最优控制问题。
静态最优控制问题是指在不考虑时间因素的情况下，找到使系统性能最优的控制策略。
而动态最优控制问题则是指在考虑时间因素的情况下，找到使得系统性能指标在规定时间内达到最优值的控制策略。
另外，最优控制问题还可以分为线性最优控制问题和非线性最优控制问题。
线性最优控制问题是指系统的动态过程和约束条件具有线性性质的情况下，找到使系统性能最优的控制策略。
而非线性最优控制问题则是指系统的动态过程和约束条件具有非线性性质的情况下，找到使系统性能最优的控制策略。
第三章：最优控制在能源系统优化中的应用最优控制技术在能源系统优化中的应用非常广泛。
下面将以电力系统为例，介绍最优控制技术在能源系统优化中的应用。
电力系统是一个复杂的系统，它包括发电厂、输电网和配电网等多个部分。
最优控制技术可以应用于每个部分，以实现整个电力系统的优化。
发电厂是电力系统中的重要组成部分。
最优控制技术可以应用于发电厂，以实现发电量、质量和稳定性的优化。
在发电过程中，煤气流量、蒸汽流量和机组负载等控制变量是需要被优化的。
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m
min [U (t)]
u j (t ) 1
min
u j (t ) 1
q j (t)u j (t)
j 1
j 1,2,L ,m
m
m
min [U (t)]
u j (t ) 1
j 1
min
u j (t ) 1
q
j
(t)u
j
(t)
j 1
q j (t)
j 1,2,L , m
也就是最优控制uj*(t)是qj(t)的如下函数
则
m
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t) q(t)U (t) q j (t)u j (t)
j 1
6
于是，T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min T (t)B[ X *(t),t]U (t) j 1,2,L ,m u j (t ) 1
可转化为如下条件
(t
f)
X
T X
tt f
H
t
T t
tt f
0
终端受限
tf自由
4
最小值原理
（3）控制方程为 H[X *(t),(t),U *(t),t] min H[ X *(t), (t),U(t),t] U (t )
1 T (t) f [ X *(t),t] T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min {1 T (t) f [ X *(t),t] T (t)B[ X *(t),t]U (t)} j 1,2,L ,m
为讨论方便起见，定义m维行向量
q(t) T (t)B[ X (t),t]
其分量
qj (t) T (t)bj[X (t),t], j 1, 2,L , m
其中bj[X(t)，t]是矩阵B[X(t)，t]的第j个列向量，即
bj[X (t),t] [b1 j[X (t),t],b2 j[X (t),t],L ,bnj[ X (t),t]]T
第四讲 时间、燃料最优
控制问题
1
主要内容
4.1 Bang-Bang控制 4.2 线性时不变系统的时间最优控制问题 4.3 时间最优控制系统的综合 4.4 燃料最优控制问题 4.5 时间-燃料最优控制问题
2
4.1 Bang-Bang控制
问题4.1(时间最优控制问题) 已知系统的状态方程
X&(t) f [ X (t),t] B[ X (t),t]U (t) （4.1.1）
（2）规范方程及边界条件分别为
X&(t) H f [ X (t),t] B[ X (t),t]U (t)
&(t) H f T [ X (t),t] (t) [B[ X (t),t]U (t)]T (t)
X
X (t)
X (t)
X (t0 ) X 0
[ X (t f ),t f ] 0
u
u*j (t)
奇异区间
1
q j (t) u*j ?
0 t0
-1
t1
t2
tf
t
10
说明： 1. 只要有一个函数qj(t)( j=1，2，，m)在某一段(或几段)时 间区间[t1，t2] [t0，tf]上取零值，则称该时间最优问题是奇 异的，在区间[t1，t2]上， qj(t)等于零。此时,由关系式 u j (t) sgn{q j (t)}, j 1,2,L ,m 无法确定最优控制各分量uj*(t)之值。 2. 奇异情况的出现,既不意味着时间最优控制不存在，也不意 味着时间最优控制无法定义，它仅仅表明，由控制方程不能
（4.1.3）
[ X (t f ),t f ] 0
（4.1.4）
的某一终态X(tf)，其中tf是可变的，是对X(t)和t连续可微的r 维向量函数。并使性能指标达到最小值。
J
tf t0
dt
tf
t0
（4.1.5） 3
解：（1）应用最小值原理来求解。写出该问题的哈密顿函数
H[X (t),(t),U (t),t] 1 T (t) f [ X (t),t] T B[ X (t),t]U (t)
7
由上式可知，
正常情况
奇异情况
➢ qj(t)0，则uj*(t) 有定义。
➢ qj(t)＝0， uj(t)可取满足约束条件 u j (t) 1 的任何值，uj*(t) 不定。
定义4.1 若在区间[t0，tf]内，存在一时间可数集
t1 j,t2 j, L ,t j [t0,t f ], 1, 2,L ; j 1, 2,L , m
u
u*j (t) sgn(q j (t))
1
0 t0
-1
q j (t)
图4-1
tf
t
9
定义4.2 若在区间[t0，tf]内，至少存在一个区间[t1，t2] [t0，tf]， 使得对所有的t [t1，t2]有
qj (t) T (t)bj[X (t),t] 0, j 1, 2,L , m
则称该时间最优问题是奇异的,而区间[t1，t2]称为奇异区间。
u j (t ) 1
着重分析下式：
T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min T (t)B[ X *(t),t]U (t) u j (t ) 1
令
j 1,2,L ,m (4.1. 6)
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t)
5
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t)
使得对所有的j=1，2，，m，有
q j (t)
T
(t )b j
0, 当且仅当t 非零, 当t t j
t j
则称该时间最优问题是正常的。
说明：在正常的时间最优问题中， 函数qj(t)只是在有限个孤
立的时刻取零值,相应的最优控制分量uj*(t)仅在这些时刻发生
跳变。 数。
uj*(t)是具有第一类间断点的 分段 常值函 8
u
* j
(t
)
u
* j
(t
)
1 , 1)
0
0
u
* j
(t
)不定
,
若q j (t) 0
由于控制函数U(t)的各个分量 的约束都是彼此独立的,所以 可以交换最小与求和的次序
u
* j
(t
)
sgn{q
j
(t
)}
sgn{
T
(t
)b
j
[
X
(t
),
t
]}
j 1,2,L ,m, t [t0,t f ]
其中f[X(t)，t]是对X(t)和t连续可微的n维向量函数； B[X(t)，t]
是对X(t)和t连续可微的nm维的矩阵函数.要求确定满足下列
不等式
u j (t) 1 , j 1,2,L ,m
（4.1.2）
约束的m维容许控制向量，使系统(4.1.1)从给定的初态
X (t0 ) X 0 到达满足约束条件