概率统计(第二版)第六章习题参考解答

《概率论与数理统计及其应用》（第二版）第六章习题参考解答1．解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bbE X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= 2．解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= 3．解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩ 令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4．解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx n i ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆni i x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= 5．解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01ni i x d L p n dp p p =-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pn x p ndp p L d ni i 解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ 6．解：由2()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数221()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x eμμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x nx ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i ix n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni i x n L d d 解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i x x n σ 7．解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22n ii x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33ni i x x n θ===∑ （3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ 8．解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ 9．解：2121222222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i n i i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L 0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβn i i n i i x x L 联立 解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βα10．解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

（2）01!!!k k k k k k e e e EY k k k k λλλλλλλλ---∞∞∞====⋅==⋅=∑∑∑令Y λ=得λ的矩估计量ˆY λ=. 22(3)3()EZ E Y Y EY E Y =+=+EY λ=，222)()()(λλ+=+=EY Y D Y E224)(3)(λλλλλ+=++=∴Z E（3）2113n i i U Y Y n ==+∑)(4)(13)(1)(3)13()(2121212Z E n Y E n Y E Y n Y E U E n i n i i n i i =+=++=+=+=∑∑∑===λλλλλ因此U 是)(Z E 的无偏估计.11．解：（1）由题知i EX θ=，2()i D X θ=1123412341111[()()]()()6363ET E X X X X EX EX EX EX θ=+++=+++=21234[(234)/5]2ET E X X X X θ=+++=31234[()/4]ET E X X X X θ=+++=13,T T 是θ的无偏估计量。

（2）211234123411115[()()]()()6336918DT D X X X X DX DX DX DX θ=+++=+++= 231234123411[()/4][()()()()]164DT D X X X X D X D X D X D X θ=+++=+++=31DT DT ≤故3T 比1T 更有效。

12．解：)1296,(~μN X ，27,1478n x == （1）μ置信水平为0.95，10.95,0.05αα-==查表得1/2(1)2z αα-=Φ-即10.025(0.975) 1.96z -=Φ=μ∴的置信水平为0.95的置信区间：/2()(1478 1.96)(147813.58)(1464.42,1491.58)x z α==±= （2）μ置信水平为0.90，10.90,0.1αα-==查表得1/2(1)2z αα-=Φ-即10.05(0.95) 1.645z -=Φ=μ∴的置信水平为0.90的置信区间：/2()(1478 1.65)(147811.40)(1466.60,1489.40)x z α==±= 13．解：由2()8()x f x μ--=（1）似然函数221()()8811()(,)ni i i x nx nni i i L f x e μμμμ=----==∑===∏211ln ()()8ni i L n x μμ==---∑1ln ()1(22)08ni i d L x d μμμ==--=∑即11()0n niii i x n xμμ==-=-=∑∑1ˆnii xx nμ===∑，ˆ56.8μ=（2）μ置信水平为0.95，10.95,0.05αα-==查表得11/2(1)(0.975) 1.962Z αα--=Φ-=Φ=μ∴的置信水平为0.95的置信区间：/2()(56.8 1.96)(56.8 1.24)(55.56,58.04)x α==±= 14．（1）2σ的无偏估计值222ˆ(1.381) 1.9072s σ=== μ的无偏估计值ˆ14.72x μ== （2）(1)X T t n =-μ置信水平为0.90，10.90,0.1αα-==查表得/20.05(1)(29) 1.6991t n t α-==μ∴的置信水平为0.90的置信区间：/2(1)(14.72 1.6991)(14.720.428)(14.292,15.148)x n α⎛⎫±-==±= ⎪⎝⎭15．解：由题知，12,66.3,9.4n x s ===,μ置信水平为0.95，10.95,0.05αα-==查表得/20.025(1)(11) 2.2010t n t α-==μ∴的置信水平为0.95的置信区间：16．解：由题知，32,19.07, 3.245n x s ===μ置信水平为0.95，10.95,0.05αα-==查表得/20.025(1)(31) 2.0395t n t α-==μ∴的置信水平为0.95的置信区间：/2(1)(19.07 2.0395)(19.07 1.17)(17.9,20.24)x n α⎛⎫-==±= ⎪⎝⎭17．解：13=n ，707.14=x ，1441.6=s ，75.372=s/2(1)(66.3 2.2010)(66.3 5.97)(60.33,72.27)x n α⎛⎫-==±= ⎪⎝⎭μ的置信水平为0.98，98.01=-α，02.0=α，查表得6810.2)12()1(01.02==-t n t αμ∴的置信水平为0.98的置信区间：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(n t n s x n α()28.19,14.106810.2131441.6707.14=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯±=18．解：由题知 8=X n ，10=Y n计算 75.15=x ，7981.6=X s ，3.23=y ，6269.9=Y s∴()815.15312.143451.226544.9768.4268.9777.5111122222222==++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Y Y Y XX X Y Y X X ns n n s n n s n s ν∴[]15=ν，查表得1315.2)15(])([025.02==t t ναY X μμ-的置信水平为0.95的置信区间为·： []⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-Y Y X X n n s n s t y x 22)(να()()72.0,82.15268.9777.51315.23.2375.15=+⋅±-= 19．解：由题知 5=X n ，5=Y n ，33.60=x ，82.15=X s ，21.32=y ，77.12=Y s计算()659.729047.8921734.68349277.2653627.62661458.3205448.50111122222222==++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Y Y Y XX X Y Y X X ns n n s n n s n s ν∴[]7=ν，查表得998.2)7(])([01.02==t t να21μμ-的置信水平为0.98的置信区间：[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-Y YX X n n s n s t y x 22)(να()()38.55,86.061.3205.50998.221.3233.60=+⋅±-= 20。