高三数学一轮复习22.简单的三角恒等变换学案
简单的三角恒等变换
2
2 2
④ 1 tan 45
；
① 1 sin 2 cos2
② 1 2 cos2 cos2
③ 1 cos2 2 sin 2 ； ；
三、反馈训练（课堂巩固、巩固训练） 训练：①tan17+tan28+tan17tan28＝ ②函数 f ( x) cos 2 x 2 3 sin x cos x 的最小正周期是
2 2s i n ④ 1 c o s
②1 s i n s i n c o s ；③ 1 cos 2 cos 2 ； 2 2 2
⑤ sin 2
2
重点难点 灵活运用二倍角公式解决实际问题 一、自主学习 阅读必修 4 第一章教材背诵相关公式。 二、合作探究 1.二倍角公的三角函数公式 ① sin 2 ； ② cos 2 ③ tan 2 （公式成立的条件是 3 训练：①已知 sin( ) ，则 cos 2 ； 5
sin
b a b
2 2
cos ) a 2 b 2 sin( ) （其中
③函数 y sin x 3 cos x 在区间[ 0,
2
]的最小值为
；
sin
④
b a2 b2
， cos
a a2 b2
）
sin 2
， ，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降
嫩江一中高中 2013-2014 高三上学期数学科一轮复习导学案 006
编制: 王杰、马金香
审核人：集体备课审核
使用时间：2014 9
2
班级:
简单的三角恒等变换学案_
简单的三角恒等变换学案_部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑简单的三角恒等变换自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1>sin 2α＝________________；(2>cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；b5E2RGbCAP (3>tan 2α＝________________________ (α≠错误!＋错误!且α≠kπ＋错误!>．p1EanqFDPw2．公式的逆向变换及有关变形(1>sin αcos α＝____________________⇒cos α＝错误!；DXDiTa9E3d(2>降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；RTCrpUDGiT 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；5PCzVD7HxA 变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________________.jLBHrnAILg自我检测1．(2018·陕西>函数f(x>＝2sin xcos x是( >A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2．函数f(x>＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为( >A．－3,1B．－2,2C．－3，错误!D．－2，错误!3．函数f(x>＝sin xcos x的最小值是( >A．－1B．－错误!C.错误!D．1 4．(2018·清远月考>已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin A·sin B(>A．有最大值错误!，最小值0B．有最小值错误!，无最大值C．既无最大值也无最小值D．有最大值错误!，无最小值!错误探究点一三角函数式的化简求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值例1和最小值．探究点二三角函数式的求值例2已知sin(错误!＋2α>·sin(错误!－2α>＝错误!，α∈(错误!，错误!>，求2sin2α＋tan α－错误!－1的值．xHAQX74J0X探究点三三角恒等式的证明例3 (2018·苏北四市模拟>已知sin(2α＋β>＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x>．LDAYtRyKfE(1>求证：tan(α＋β>＝2tan α；(2>求f(x>的解读表达式；(3>若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x>的值域．转化与化归思想的应用(12分>(2018·江西>已知函数f(x>＝例错误!sin2x＋msin错误!sin错误!.Zzz6ZB2Ltk(1>当m＝0时，求f(x>在区间错误!上的取值范围；dvzfvkwMI1(2>当tan α＝2时，f(α>＝错误!，求m的值．1．求值中主要有三类求值问题：(1>“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．rqyn14ZNXI (2>“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．EmxvxOtOco(3>“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．SixE2yXPq52．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1>在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．6ewMyirQFL (2>常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β>＋(α－β>，α＝(α＋β>－β，α＝(α－β>＋β，错误!＝错误!＋错误!，错误!是错误!的二倍角等．kavU42VRUs(3>化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．y6v3ALoS89消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．!错误(满分：75分>一、选择题(每小题5分，共25分> 1．(2018·平顶山月考>已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π>等于( >M2ub6vSTnPA.错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!0YujCfmUCw2．已知tan(α＋β>＝错误!，tan错误!＝错误!，那么tan错误!等于( >eUts8ZQVRdA.错误!B.错误!C.错误!D.错误!sQsAEJkW5T3．(2018·石家庄模拟>已知cos 2α＝错误! (其中α∈错误!>，则sin α的值为( >GMsIasNXkAA.错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!TIrRGchYzg4．若f(x>＝2tan x－错误!，则f错误!的值为( >7EqZcWLZNXA．－错误!B．8C．4错误!D．－4错误! 5．(2018·福建厦门外国语学校高三第二次月考>在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C>＋2＝0，则sin B的值是( >lzq7IGf02EA.错误!B.错误!C.错误!D．1zvpgeqJ1hk 6．(14分>(2018·北京>已知函数f(x>＝2cos 2x＋sin2x－4cosx.(1>求f(错误!>的值；(2>求f(x>的最大值和最小值．答案自主梳理1．(1>2sin αcos α(2>cos2α－sin2α2cos2α2sin2α(3>错误!2.(1>错误!sin 2α(2>错误!错误!2cos2错误!2sin2错误!(sin α±cos α>2NrpoJac3v1自我检测1．C 2.C 3.B 4.D课堂活动区例1解y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x>＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x>2＋6，由于函数z＝(u－1>2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1>2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1>2＋6＝6，1nowfTG4KI故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，当sin 2x＝1时，y取得最小值6.例2解由sin(错误!＋2α>·sin(错误!－2α>＝sin(错误!＋2α>·cos(错误!＋2α>fjnFLDa5Zo ＝错误!sin(错误!＋4α>＝错误!cos 4α＝错误!，tfnNhnE6e5∴cos 4α＝错误!，又α∈(错误!，错误!>，故α＝错误!，∴2sin2α＋tan α－错误!－1HbmVN777sL＝－cos 2α＋错误!＝－cos 2α＋错误!＝－cos错误!－错误!＝错误!.V7l4jRB8Hs(1>证明由sin(2α＋β>＝3sin β，得sin[(α＋β>＋例3α]＝3sin[(α＋β>－α]，即sin(α＋β>cos α＋cos(α＋β>sin α＝3sin(α＋β>cosα－3cos(α＋β>sin α，83lcPA59W9∴sin(α＋β>cos α＝2cos(α＋β>sin α，∴tan(α＋β>＝2tan α.(2>解由(1>得错误!＝2tan α，即错误!＝2x，mZkklkzaaP∴y＝错误!，即f(x>＝错误!.(3>解∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤错误!，0<x≤错误!，设g(x>＝2x＋错误!，则g(x>＝2x＋错误!≥2错误!(当且仅当x＝错误!时取“＝”>．AVktR43bpw故函数f(x>的值域为(0，错误!]．课后练习区1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6si nαcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝错误!，cos(α－π>＝cos(π－α>＝－cos α＝－错误!.]ORjBnOwcEd 2．C [因为α＋错误!＋β－错误!＝α＋β，所以α＋错误!＝(α＋β>－错误!.2MiJTy0dTT 所以tan错误!＝tan错误!＝错误!＝错误!.]gIiSpiue7A3．B [∵错误!＝cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝错误!.又∵α∈错误!，∴sin α＝－错误!.]uEh0U1Yfmh 4．B [f(x>＝2tan x＋错误!＝2tan x＋错误!＝错误!＝错误!IAg9qLsgBX∴f错误!＝错误!＝8.]WwghWvVhPE 5．C [由cos 2B＋3cos(A＋C>＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cos B＋1＝0，∴cos B＝错误!或cos B＝1(舍>．∴sin B＝错误!.]asfpsfpi4k 11．解(1>f(错误!>＝2cos错误!＋sin2错误!－4cos错误!＝－1＋错误!－2＝－错误!ooeyYZTjj1(2>f(x>＝2(2cos2x－1>＋(1－cos2x>－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－错误!>2－错误!，x∈R因为cos x∈[－1,1]，BkeGuInkxI 所以，当cos x＝－1时，f(x>取得最大值6；当cos x＝错误!时，f(x>取得最小值－错误!PgdO0sRlMo【答题模板】解(1>当m＝0时，f(x>＝错误!sin2x＝sin2x＋sin xcos x＝错误!3cdXwckm15＝错误!错误!，[3分]由已知x∈错误!，得2x－错误!∈错误!，[4分]h8c52WOngM 所以sin错误!∈错误!，[5分]从而得f(x>的值域为错误!.[6分]v4bdyGious (2>f(x>＝sin2x＋sin xcos x－错误!cos 2x＝错误!＋错误!sin 2x－错误!cos 2xJ0bm4qMpJ9＝错误![sin 2x－(1＋m>cos 2x]＋错误!，[8分]XVauA9grYP由tan α＝2，得sin 2α＝错误!＝错误!＝错误!，bR9C6TJscw cos 2α＝错误!＝错误!＝－错误!.[10分]pN9LBDdtrd所以错误!＝错误!错误!＋错误!，[11分]解得m＝－2.[12分]DJ8T7nHuGT申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换 课件(24张)
α22－csoins
2α)·(1＋csoins 2
αα·csoins
2 α) 2
＝cos2α2α－sinα2α2·cos αcos
α2＋sin αsin α
α 2＝2scionsαα·
cos
α 2
α＝sin2 α.
sin 2cos 2
cos αcos 2
cos αcos 2
答案：sin2 α
【思维升华】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式 子结构与特征．
【考点集训】
1．(2022·全国新高考Ⅱ)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos (α＋π4)sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1
B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1
D．tan (α＋β)＝－1
解析：由已知等式，得 sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2
)
A．74π
B．94π
C．54π或74π
D．54π或94π
解析：∵α∈π4，π∴2α∈π2，2π.
∵sin
2α＝
55，∴2α∈π2，π，∴α∈π4，π2，cos
2α＝－2
5
5 .
∵β∈π，32π，∴β－α∈π2，54π，∴cos (β－α)＝－31010，
∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)
第四章 三角函数
考点 1 三角函数式的化简 【考点集训】
1．(多选)当 3π<α<4π，化简
1＋sin 2
α－
1－sin 2
2022届高考数学一轮复习课件-第三章 第4讲 简单的三角恒等变换 广东版
题组二 走进教材
2.(必修 4P142 第 4 题改编)(2018 年全国Ⅲ)函数 f(x)＝1＋tatnanx2x 的最小正周期为( )
π
π
A.4
B.2
C.π
D.2π
sin x
sin x
解析：f(x)＝1＋tatnanx2x＝1＋cocssoinsxxx2＝cos2ccxoo＋ss2xsxin2x＝sin xcos x
解析：(1)原式＝212×4cscoionssπ4π44x－－－xx4·ccooss22x＋π4－1x ＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x＝2sicnoπ2s2－2x2x ＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
答案：12cos 2x
2.
化
简
：
1＋sin
α＋cos
αsin
题组三 真题展现 4.(2020 年北京)若函数 f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x 的最大值为 2， 则常数φ的一个取值为________. 解析：因为 f(x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x
＝ cos2φ＋sin φ＋12sin(x＋θ)，
所以 cos2φ＋sin φ＋12＝2，解得 sin φ＝1，则 φ＝π2＋2kπ， k∈Z 时均满足题意，故可取 φ＝π2.
答案：12
考点 2 三角函数式的求值 师生互动
[例 1](1)(2017 年湖北新联考四模)1－sin3t1a0n°10°＝(
)
1
1
3
A.4
B.2
C. 2
D.1
解析：原式＝1－si3n·c1soi0ns°1100°°＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
人教A版高中数学 高三一轮 3-6简单的三角恒等变换学案
高三一轮复习3. 5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 学案【考纲传真】1.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)2. 本部分内容是高考的重点，利用三角公式进行化简。
变形常研究三角函数的图象性质相结合，有时也与平面向量、解三角形相结合，是高考的热点。
题型以解答题为主，属中低档题 【知识扫描】知识梳理：1．公式的常见变形(1)1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；(2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2. 名师点睛：1.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2.2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3.辅助角公式： a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2. 4.利用辅助角公式，asin x ＋bcos x 转化时一定要严格对照和差公式， 防止搞错辅助角． 5.计算形如y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．【学情自测】1．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( )A ．4 3 B.654 C ．4 D.2333．设M ⎝⎛⎭⎫cos πx 3＋cos πx 5，sin πx 3＋sin πx5(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是( )A ．30πB ．15πC ．30D ．15 4．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π45．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________．6．已知函数f （x ）=﹣2sinx ﹣cos2x ．（1）比较f （） f （）的大小(填“<”,“>”,“=”)（2）函数f （x ）的最大值为 ．7.已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且A 点到l 1，l 2的距离分别为h 1， h 2，B 是直线l 2上一动点， 作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ， 则△ABC 面积的最小值为__________。
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高三数学一轮复习 22.简单的三角恒等变换学案
【学习目标】
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单
的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
预 习 案
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝ ；(2)cos2α＝ ＝ －1＝1－ ；
(3)tan2α＝2tanα1－tan2α(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．半角公式：(1)sinα2＝ ； (2)cosα2＝ ；
(3)tanα2＝ ＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.
3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝
都适用．
4．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝ ；sin2α
＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ .
【预习自测】
1．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为 ( )
A.1＋m2 B.1－m2 C．± 1＋m2 D. 1＋m2
2．设sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．
3．函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．
4．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝59，那么sin2θ的值为________．
2
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ
＝ ( )
A．－45 B．－35 C.35 D.45
探 究 案
题型一：求 值
例1.求值：
(1)sin18°cos36°； (2)2cos10°－sin20°cos20°
(3)sin10°²sin50°²sin70°. (4) 1＋cos20°2sin20°－
2sin10°²tan80°
例2.（1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2απ4＋α＝________.
(2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<－π2.则cos(2α－π4)=
3
(3)若cos(π4＋x)＝35，1712π＜x＜74π，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．
题型二 化 简
例3.（1）已知函数f(x)＝1－x1＋x.若α∈(π2，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为
________．
(2)化简sin2α²sin2β＋cos2α²cos2β－12cos2α²cos2β.
(3)已知f(x)＝1＋cosx－sinx1－sinx－cosx＋1－cosx－sinx1－sinx＋cosx且x≠2kπ＋π2，k∈Z，且x≠kπ＋π，
k
∈Z.
①化简f(x)；
4
②是否存在x，使得tanx2²f(x)与1＋tan2x2sinx相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理
由．
题型三：证明
例4.已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.
拓展：(1)求证：tan2x＋1tan2x＝＋cos4x1－cos4x
(2)若tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
我的学习总结：
（1）我对知识的总结 .
（2）我对数学思想及方法的总结
5