高三数学一轮复习学案：函数的奇偶性与周期性
高考数学一轮复习 第二章 函数2.3函数的奇偶性与周期性教学案 理
2.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是偶函数关于____对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是奇函数 关于______对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝______，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f (x )的最小正周期．3．对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线__________对称．1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )．A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．25．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．一、函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x 1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：1．定义法2．图象法3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．请做演练巩固提升1二、函数奇偶性的应用【例2－1】设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x －2)＞0}＝( )．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4} C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}【例2－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax1＋2x是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．【例2－3】设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．方法提炼函数奇偶性的应用：1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．4．若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f (x )是偶函数且在x ＝0处有定义，就不一定有f (0)＝0，如f (x )＝x 2＋1是偶函数，而f (0)＝1.请做演练巩固提升3,4三、函数的周期性及其应用【例3－1】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝3，则f (2 014)＝__________.【例3－2】已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x，若f (1)＝2 014，则f (103)＝__________.方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；(2)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(3)若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1f x ＋a＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1f x，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．请做演练巩固提升5没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－73≤x≤5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3或3＜x ≤5. ∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5. 答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”、“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64) ⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了．1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则f (x )为( )．A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．A．－9 B．9 C．－3 D．04．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}5．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (－x )＝f (x ) y 轴 f (－x )＝－f (x ) 原点2．(1)f (x ) (2)存在一个最小 最小3．x ＝a基础自测1．C 解析：判断f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故选C.2．A 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，即：x(2x ＋1)(x －a )＝x(－2x ＋1)(－x －a )恒成立，整理得：a＝12.故选A. 3．D 解析：当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．4．A 解析：∵f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.5．单调递增 解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．考点探究突破【例1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)要使f (x )有意义，则1－x 1＋x≥0， 解得－1＜x ≤1，显然f (x )的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3， ∴－2≤x ≤2且x ≠0. ∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．【例2－1】 B 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8.又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2.由f (x －2)＞0得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，－(x －2)3－8>0.解得x ＞4或x ＜0，故选B.【例2－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵f (x )在(－b ，b )上是奇函数，∴f (－x )＝lg 1－ax 1－2x ＝－f (x )＝－lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1＋2x 1＋ax ， ∴1＋2x 1＋ax ＝1－ax 1－2x对x ∈(－b ，b )成立，可得a ＝－2(a ＝2舍去)． ∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x.由1－2x 1＋2x ＞0，得－12＜x ＜12. 又f (x )定义区间为(－b ，b )，∴0＜b ≤12，－2＜a ＋b ≤－32. 【例2－3】 解：(1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c .∵g (x )是一个奇函数，∴g (0)＝0，得c ＝0，由奇函数定义g (－x )＝－g (x )得b ＝3.(2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2，2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42；g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.【例3－1】 3 解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32 ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3.【例3－2】 －12 014 解析：∵f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )， ∴f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ). ∴f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (1)＝2 014，∴f (103)＝f (25×4＋3)＝f (3)＝－1f (1)＝－12 014.演练巩固提升1．D 解析：对于D，y＝lg 1x＋1的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数．2．B 解析：显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，故选B.3．B 解析：由题可知，f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)．又f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)，所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9，故选B.4．B 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4＞0，所以x＞2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞2}．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．5．－1 解析：由已知得f(0)＝0，f(1)＝－1.又f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)且T＝4，∴f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝1，f(2 008)＝f(0)＝0，f(2 009)＝f(1)＝－1，f(2 010)＝f(2)＝0，f(2 011)＝f(3)＝1，f(2 012)＝f(0)＝0，f(2 013)＝f(1)＝－1.∴f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝－1.。
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
2025届高考数学一轮复习讲义函数之 函数的奇偶性、周期性与对称性
f ( x ＋ T )＝ f (做周期函数.非零
常数 T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数 f ( x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫
做 f ( x )的⑩
注意
最小
正周期.
并不是所有的周期函数都有最小正周期，如 f ( x )＝5.
1
f(x)＝ ＋｜x｜
4. 已知函数 f ( x )为R上的偶函数，且当 x ＜0时， f ( x )＝ x ( x －1)，则当 x ＞0时，
f ( x )＝ x ( x ＋1)
.
5. 已知定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x )＝ f ( x －2)，当 x ∈[0，2)时， f ( x )＝ x 2－4
x ，则当 x ∈[4，6)时， f ( x )＝
x 2－12 x ＋32
.
[解析] 设 x ∈[4，6)，则 x －4∈[0，2)，则 f ( x －4)＝( x －4)2－4( x －4)＝ x 2－12 x
＋32.又 f ( x )＝ f ( x －2)，所以函数 f ( x )的周期为2，所以 f ( x －4)＝ f ( x )，所以当 x
a ｜；
(2)若函数 f ( x )的图象既关于点( a ，0)对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的周
期为2｜ b － a ｜；
(3)若函数 f ( x )的图象既关于直线 x ＝ a 对称，又关于点( b ，0)对称，则函数 f ( x )的
周期为4｜ b － a ｜.
二、基础题练习
，那么
第一轮复习06----函数的奇偶性与周期性
cos x (3) f x 2 ; x 1
函数奇偶性的非定理性结论
（ 1）f x 为奇函数，则保留奇次 方； f x ax bx cx dx e
4 3 2
（2）f x 为偶函数，则保留偶次 方；
奇 奇 奇；偶 偶 偶； 奇 奇 偶； 奇 偶 奇； 偶 奇 奇； 偶 偶 偶；
(1)试判断函数y f x 的奇偶性； 的个数，并证明你的结 论。
(2)试求方程f x 0在闭区间- 2015 ,2015上的根
面积； (3)写出- ， 内函数f x 的单调区间。
函数性质的综合应用
设函数f x 在- ， 上满足f 2 x f 2 x ,
0,7上只有f 1 f 7 x f 7 x , 且在闭区间
f 3 0.
2，f x a f x a 4，f x a f a x
减消x为周期性；加消 x为对称性；
函数周期性的应用
1，已知函数f x 在R上是奇函数， 且满足f x 4 f x , 当x 0,2
2
时，f x 2 x , 求f 2015.
第一轮复习-函数的奇偶性与周 期性
上饶中学数学组 俞振
函数的奇偶性和周期性
1，奇函数、偶函数的概 念 2，判断函数奇偶性的方 法： 定义法、运算法 3，周期性 4，常用周期函数：三角 函数
常用抽象函数非定理性结论 1，f x a f x a
3，f x a f a x
函数周期性的应用
2，定义在R上的函数f x 满足 f x 6 f x , 当 3 x 1
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义
域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×
偶=偶,奇×偶=奇.
所以函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,f( )=f( -2)=f(- )= .
故选 C.
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=
2x3-3x+1,则f(-3)=-(-54+9+1)=44.
是奇函数,且单调递增,
故原不等式等价于 f(x)- ≤ -f(a-2x),
即(-) ≤-(--) =(2x-a+1)
,
所以 x-1≤2x-a+1,
所以 x+2≥a 在任意的 x∈[2,3]上恒成立,故 a≤4.故选 D.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在
定义域为 R,g(-x)=ln( + -x),
而 g(-x)+g(x)=ln( + -x)+ln( + +x)=0,符合题意.故选 ABD.
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可
5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
高三数学一轮复习 7.函数的奇偶性与周期性学案
【学习目标】1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．预习案1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝a x＋a－x为函数，函数f(x)＝a x－a－x为函数；(2)函数f(x)＝a x－a－xa x＋a－x＝a2x－1a2x＋1(a>0且a≠1)为函数；(3)函数f(x)＝log a 1－x1＋x为函数；(4)函数f(x)＝log a(x＋x2＋1)为函数．5．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．6．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．【预习自测】1．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_______．①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1.2．下列函数为偶函数的是( )A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝e x D．y＝ln x2＋13．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的（）A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))5．(2013·某某调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________．探究案题型一判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1 x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；(3)f(x)＝1a x－1＋12(a>0，a≠1)．探究1.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ln 2－x2＋x；(2)g(x)＝x2＋|x－a|；(3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x x≥0，x2＋2x x＜0.题型二奇偶性的应用例2.(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1]时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－1)＜0的解集为．2(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为．探究2.(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)<f(a)的实数a的取值X围是________．(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．题型三函数的周期性例3.设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．探究3.(1)f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－1f x＋1，试判断函数f(x)的周期性．例4.已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．探究4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．我的学习总结：（1）我对知识的总结.（2）我对数学思想及方法的总结。
高考数第一轮复习函数的奇偶性与周期性
1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图象的对 称中心是( ) (A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1) 【解析】选B.函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，函数 y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到， 故函数y=f(x+1)的图象的对称中心为(-1，0).
周期性求f(1)+f(2)+…+f(2 012).
(2)利用周期性可知f(-1)=f(1),
列方程
组求解.
【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x＜-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12) =…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× =335. 而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338.
(2)因为f(x)的周期为2,所以
即
又因为
所以
∴3a+2b=-2
①,
又因为f(-1)=f(1),所以
即b=-2a ②,
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高三数学一轮复习学案：函数的奇偶性与周期性
一、考试要求： 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2、会运用定义判断函数的奇偶性，能利用奇偶性解决问题。
3、会求简单函数的最小正周期。
二、知识梳理：
1、函数的奇偶性定义：
（1）一个函数具备奇偶性需同时具备两个条件：①定义域关于原点对称；②()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）是定义域内的恒等式。
（2）定义的等价变形形式：①奇函数定义的等价变形：())()0;1(()0)()
f x f x f x f x f x -+==-≠（-； ②偶函数定义的等价变形：())()0;1(()0);()()()
f x f x f x f x f x f x f x --==≠=（-。
1、奇（偶）函数的图像特点：
2、函数奇偶性的判断方法：
3、函数的周期性：
⑴定义：
(2)周期函数的定义域应具备特点：___________________________________。
(3)如果函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a ≠0)，则函数f(x)的周期为____________。
(4)如果函数f(x)满足1()()
f x a f x += (a ≠0)，则函数f(x)的周期为____________。
(5)如果函数f(x)满足()(),())f a x f a x f b x f b x +=--=+（
(a ≠0，b ≠0,a ≠b)，则函数f(x)的周期为________（6）如果函数f(x)满足()(),())f a x f a x f b x f b x +=---=-+（
(a ≠0，b ≠0,a ≠b)，则函数f(x)的周期为________（7）如果函数f(x)满足()(),()f a x f a x f b x f b x +=--=-+（ (a ≠0，b ≠0，a ≠b)，则函数f(x)的周期为____________。
三、基础检测：
1.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x 且，
若g(2)=a,则f(2)= ( ) A. 2 B.
4
15 C.417 D.2a 2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x
--<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，
， 3.设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A. 是偶函数)()(x g x f +
B. 是奇函数)(-)(x g x f
C. 是偶函数)()(x g x f +
D. 是奇函数)()(x g x f -
4.对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组值计算f(1)和f(-1)，所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是 ( ) A.x
y 1ln = B.3x y = C.x y 2= D.x y cos = 6. 设f （x ）为定义在R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=
7、设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，为常数）b b x x f x (22)(++=则f(-1)=
8.若函数a x x x +-=2(f ）为偶函数，则实数a=__________
9.设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=是偶函数，则实数a 的值为_____________
10.定义在R 上的单调函数f(x)满足当0x >时()0f x >且对任意x ，y ∈R 都有
f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
11.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有)()2(x f x f -=+，当[]2,0∈x 时，22)(x x x f -= （1）求证：)(x f 是周期函数（2）当[]4,2∈x 时，求)(x f 的解析式
（3）计算：)2004
()2()1()0(f f f f ++++。