新人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结
八年级数学下册第十六章分式知识点总结
1分式的知识点解析与培优一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
二、判断分式的依据：例:下列式子中，y x +15、8a 2b 、—239a、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、m a 1+中分式的个数为（ ）A 、 2B 、 3C 、 4D 、 5练习题:（1)下列式子中，是分式的有 。
（1）275x x -+; ⑵ 123x -;⑶25a a -；⑷22x x π--;⑸22b b -；⑹。
（7)78x π+（8）3y y （9）234x + 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.注意：(12+x ≠0） 例1：当x 时，分式51-x 有意义; 例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ,y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义; 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是( ) A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ )A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x 例8：分式)3)(1(2-+-x x x 无意义，则x 的值为（ )A 。
2 B.—1或-3 C. —1 D 。
3 三、分式的值为零：使分式值为零:令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0时，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式121+-a a的值为0. 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0。
八年级数学下册第十六章分式知识点总结
分式的知识点解析与培优一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
二、判断分式的依据:例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、m a 1+中分式的个数为（ ）A 、 2B 、 3C 、 4D 、 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .（1）275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹. （7）78x π+（8）3y y （9）234x + 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.注意：（12+x ≠0） 例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠xB ．2-≠xC ．2->xD ．2<x例8：分式)3)(1(2-+-x x x 无意义，则x 的值为（ ）A. 2B.-1或-3C. -1D.3 三、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0时，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式121+-a a的值为0. 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0.例3：如果分式22+-a a 的值为零,则a 的值为( )A. 2±B.2C.-2D..以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 （ ）A. x=0B.x-1C.x=0 或x=1D.0=x 或1±=x 例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3B.3C.-3 D 2 例6：若01=+aa,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数例9：当X= 时，分式2212x x x -+-的值为零。
八年级数学下册第十六章分式知识点总结
分式的知识点解析与培优一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
二、判断分式的依据:例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、m a 1+中分式的个数为（ ）A 、 2B 、 3C 、 4D 、 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .（1）275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--； ⑸22b b -；⑹. （7）78x π+（8）3y y （9）234x + 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义；例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x -例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x 例8：分式)3)(1(2-+-x x x 无意义，则x 的值为（ ）A. 2B.-1或-3C. -1D.3 三、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0时，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式121+-a a的值为0. 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0.例3：如果分式22+-a a 的值为零,则a 的值为( )A. 2±B.2C.-2D..以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 （ ）A. x=0B.x-1C.x=0 或x=1D.0=x 或1±=x 例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3B.3C.-3 D 2 例6：若01=+aa,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数例9：当X= 时，分式2212x x x -+-的值为零。
八学年数学下册第十六章分式知识点归纳
_分式的知识点解析与培优一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
二、判断分式的依据:例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a、yx b a --25、4322b a -、2-a 2、m1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、m a 1+中分式的个数为（ ） A 、 2 B 、 3 C 、 4 D 、 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .（1）275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹. （7）78x π+（8）3y y （9）234x + 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义；例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x -例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x 例8：分式)3)(1(2-+-x x x 无意义，则x 的值为（ ）A. 2B.-1或-3C. -1D.3 三、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0时，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式121+-a a的值为0. 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0.例3：如果分式22+-a a 的值为零,则a 的值为( )A. 2±B.2C.-2D..以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 （ ）A. x=0B.x-1C.x=0 或x=1D.0=x 或1±=x 例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3B.3C.-3 D 2 例6：若01=+aa,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数例9：当X= 时，分式2212x x x -+-的值为零。
数学八年级下册分式知识点总结
数学八年级下册分式知识点总结
在八年级下册的数学中，分式是一个重要的知识点。
以下是一些关键内容的总结：
1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的有理数。
2. 分式的基本性质：
- 分式的值是由分子除以分母得到的结果。
- 分式可以化简为最简形式，其中分子和分母没有公因数。
- 分式可以相加、相减、相乘和相除。
3. 分式的化简：
- 化简分式的关键是找到分子和分母的最大公因数，然后将其约简。
- 如果分式的分子和分母都是整数，可以直接约简。
- 注意分子和分母的符号，如果分子和分母都是负数，可以将它们写成正数形式。
4. 分式的运算：
- 分式相加和相减：要求分母相同，可以通过通分来实现。
- 分式相乘和相除：将分子乘或除以分母分别进行运算。
5. 分式的倒数：
- 一个分式的倒数可以通过将分子和分母交换位置得到。
- 分式的倒数乘以原分式等于1。
6. 分式的应用：
- 分式可以用于解决实际问题，如比例问题、混合液体的配比等。
以上是八年级下册数学中关于分式的重要知识点的总结。
掌握这些内容对于理解和解题都非常重要。
在学习分式时，要多做练习题，熟练掌握基本性质和运算法则，并且能够将分式应用到实际问题中。
人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及根本性质;2.与分式运算有关的运算法那么3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法那么【主要公式】1.同分母加减法那么:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法那么:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法那么:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2〔一〕、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】以下代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，以下分式有意义〔1〕44+-x x 〔2〕232+x x 〔3〕122-x 〔4〕3||6--x x〔5〕xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，以下分式的值为0.〔1〕31+-x x〔2〕42||2--x x 〔3〕653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】〔1〕当x 为何值时，分式x-84为正； 〔2〕当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；〔3〕当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 练习：1．当x 取何值时，以下分式有意义：〔1〕3||61-x〔2〕1)1(32++-x x 〔3〕x111+2．当x 为何值时，以下分式的值为零：〔1〕4|1|5+--x x〔2〕562522+--x x x3．解以下不等式 〔1〕012||≤+-x x 〔2〕03252>+++x x x〔二〕分式的根本性质及有关题型1．分式的根本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法那么：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.〔1〕y x yx 41313221+- 〔2〕ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把以下分式的分子、分母的首项的符号变为正号.〔1〕y x yx --+- 〔2〕b a a --- 〔3〕b a ---题型三：化简求值题【例3】：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】：21=-x x ，求221xx +的值. 【例5】假设0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把以下分式的分子、分母的系数化为整数.〔1〕yx yx 5.008.02.003.0+-〔2〕b a ba 10141534.0-+ 2．：31=+x x ，求1242++x x x 的值. 3．：311=-ba ，求a ab b b ab a ---+232的值.4．假设0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.〔三〕分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将以下各式分别通分. 〔1〕cb ac a b ab c 225,3,2--； 〔2〕a b b b a a 22,--； 〔3〕22,21,1222--+--x x x x xx x ； 〔4〕aa -+21,2 题型二：约分【例2】约分： 〔1〕322016xy y x -；〔3〕n m m n --22；〔3〕6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：〔1〕42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；〔2〕22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； 〔3〕mn mn m n m n n m ---+-+22；〔4〕112---a a a ；〔5〕874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； 〔6〕)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； 〔7〕)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值〔1〕：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；〔2〕：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值； 〔3〕：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值. 题型五：求待定字母的值【例5】假设111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算〔1〕)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；〔2〕a b abb b a a ----222； 〔3〕ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；〔4〕b a b b a ++-22；〔5〕)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； 〔6〕2121111x x x ++++-； 〔7〕)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值〔1〕1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .〔2〕3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值. 3．：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.〔四〕整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：〔1〕3132)()(---⋅bc a〔2〕2322123)5()3(z xy z y x ---⋅ 〔3〕24253])()()()([b a b a b a b a +--+--〔4〕6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】51=+-x x ，求〔1〕22-+x x 的值；〔2〕求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：〔1〕223)102.8()103(--⨯⨯⨯；〔2〕3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：〔1〕20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- 〔2〕322231)()3(-----⋅n m n m〔3〕23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab〔4〕21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．0152=+-x x ，求〔1〕1-+x x ，〔2〕22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.〔一〕分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解以下分式方程 〔1〕x x 311=-；〔2〕0132=--x x ；〔3〕114112=---+x x x ；〔4〕x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解以下方程 〔1〕4441=+++x x x x ； 〔2〕569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：〔1〕换元法，设y x x =+1；〔2〕裂项法，61167++=++x x x . 【例3】解以下方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】假设关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】假设分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：〔1〕d c b a ,,,是数；〔2〕0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解以下方程： 〔1〕021211=-++-xxx x ； 〔2〕3423-=--x x x ； 〔3〕22322=--+x x x ； 〔4〕171372222--+=--+x x xx xx〔5〕2123524245--+=--x x x x〔6〕41215111+++=+++x x x x 〔7〕6811792--+-+=--+-x x x x x x x x 2．解关于x 的方程： 〔1〕bx a 211+=)2(a b ≠；〔2〕)(11b a x b b x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. 〔二〕分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比拟法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、别离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x〔三〕分式方程求待定字母值的方法例1．假设分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
其它考试-八年级数学下册分式知识点总结
八年级数学下册分式知识点总结八年级数学下册分式知识点总结第十六章分式1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±=;a c ac a c a d adb d bd b d bc bc ?=÷=?=()nn n a a b b =A A C B B C?=?A A C B B C÷=÷混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1=-（)0≠a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a +?=；（2）幂的乘方：()m n mn a a =;（3）积的乘方：()n n n ab a b =；（4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)；（5）商的乘方：()nn n a a bb =；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
八年级下册数学知识点分式
八年级下册数学知识点分式八年级下册数学知识点——分式一、定义分式是指由分子和分母以及分割符号（如：横线或斜线等）组成的算式，通常表示为a/b的形式，其中a、b均为整数，b不为0。
二、基本概念1. 真分数：分子小于分母的分式称为真分数，如1/2、2/3等。
2. 假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数，如5/3、9/4等。
3. 通分：对于分母不同的分式，将它们的分母约分至相同，即将它们化为相同分母的分式，这个过程称为通分。
4. 约分：对于分子分母有公共因数的分式，可以将它们约分成最简分式，即分子分母同时除以它们的公共因数，得到的分式称为最简分式。
三、分式的四则运算1. 加减法分式的加减法其实就是先通分，再将分子按照加减法的规则相加减，然后将结果约分为最简分式。
例如：7/10 + 5/6 = 21/30 + 25/30 = 46/30 = 23/152. 乘法分式的乘法就是将两个分式的分子和分母分别相乘，然后将结果约分为最简分数。
例如：2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/23. 除法分式的除法相当于将分式的乘数乘上被除数的倒数，即将分子与被除数的分母相乘，分母与被除数的分子相乘，得到的结果再约分为最简分数。
例如：3/4 ÷ 2/3 = 3/4 × 3/2 = 9/8四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用分式在比例问题中的应用非常广泛，例如在解题时需要求出比例中某一部分的值，在这种情况下，就可以通过分式的运算来求解。
例如：若三个数的比例为a : b : c，且a = 3/4，b = 1/2，求c的值。
根据比例的定义，可得a : b = 3/4 : 1/2 = 3/2，那么c : a = 3/2 : 1，即c = (3/2) ÷ 1 × a = (3/2) × (3/4) = 9/8。
因此c = 9/8。
2. 分式在解方程中的应用在解方程中，有时需要将方程变形成分式的形式，然后进行分式的运算，最后再将分式恢复为方程，从而得到方程的解。
八年级数学下册知识点总结
八年级数学下册知识点总结第十六章 分式 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a1=- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：n m n m aa a +=⋅； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(;（3）积的乘方：n n n b a ab =)(；（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；（5）商的乘方：n nn ba b a =)(()；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
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一、分式的定义： 若是 A 、 B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式。
B例 1. 以下各式 a ，1， 1x+y ，a 2b 2 ，-3x 2，0?中，是分式的有〔 〕个。
x 15ab二、 分式有意义的条件是分母不为零； 【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零； 【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0 且 A=0 即子零母不零】例 2. 以下分式，当 x 取何值时有意义。
〔 1〕2x1 ；〔 2〕 3 x2。
3x 22x 3例 3. 以下各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是〔 〕。
A ．1 B ． xC ．3x 1D ．x 212x 12x 1x 22x 2例 4．当 x______时，分式2x1没心义。
当 x_______时，分式x 21 的值为零。
3x 4x 2x 2例 5. 1 - 1 =3，求5x3xy 5 y的值。
x y x2xyy三、分式的根本性质： 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变。
〔 CA A C A A C0 〕B C B B CB四、分式的通分和约分：要点先是分解因式。
1 x 1 y例 6. 不改变分式的值，使分式510的各项系数化为整数，分子、分母应乘以〔 ? 〕。
1 x 1 y3 9例 7. 不改变分式2 3x 2 x 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，那么是〔 ?〕。
5x 3 2x 3分式 4 y 3x ， x2 1 ， x2xy y 2， a22ab2中是最简分式的有〔例 8. 4x 〕。
4ax1 y ab 2b例 9. 约分：〔1〕x 26x9 ； 〔2〕 m 23m 2x29m2m例 10. 通分：〔 1〕x ，y；〔2〕a 1，66ab 29a 2bc22a 2a 1 a 1例 11. x 2 +3x+1=0，求 x 2+12 的值． x例 12. x+ 1=3，求x 4x 2 2 的值． xx 1五、分式的运算：分式乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
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一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
B
A
叫做分式。
例1.下列各式a
π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】
例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）21
32
x x ++； （2）2323x x +-。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．
121x + B ．21x x + C ．231
x x
+ D ．2
221x x +
例4．当x______时，分式21
34
x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
例5.已知
1x -1
y
=3，求5352x xy y x xy y +---的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ） 四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
例6.不改变分式的值，使分式11
5101139
x y
x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例7.不改变分式2323523x x
x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
例8.分式434y x
a +，2411x x --，22x xy y x y
-++，22
22a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）22
32
m m m m
-+- 例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2
1
21a a a -++，261
a -
例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+
21
x
的值． 例12.已知x+1
x
=3，求242
1x x x ++的值． 五、分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
,a b a b a c ad bc ad bc
c c c b
d bd bd bd
±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
例13.当分式211x --21x +-1
1
x -的值等于零时，则x=_________。
例14．已知a+b=3，ab=1，则a b +b
a 的值等于_______。
例15.计算：222x x x +--2144x x x --+。
例16.计算：2
1
x x --x-1
例17.先化简，再求值:
3a a --263a a a +-+3a ，其中a=32。
六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10
≠=a a ；
当n 为正整数时，n n
a
a
1
=- （)0≠a 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)
（1）同底数的幂的乘法：n
m n m a a a +=⋅；
（2）幂的乘方：mn
n
m a
a =)(;
（3）积的乘方：n
n
n
b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n
m n
m
a
a a -=÷( a ≠0)；
bc
ad
c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n n n b
a b a =)(C B C A B A ⋅⋅=C B C
A B A ÷÷=
（5）商的乘方：n n
n b
a b a =)((b ≠0)
八、科学记数法：把一个数表示成n a 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学
记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n 。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
例18.若2510
2=x
,则x -10等于( )。
A.51-
B.51
C.501
D.625
1
例19.若31=+-a a ,则2
2-+a a 等于( )。
A. 9 B. 1 C. 7 D. 11
例20.计算:(1)1
0123)326(34--⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅-⋅- (2)()
3
2
132----xy b a
例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA 是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是___________。
例22.计算(
)()
___________10310
32
12
5=⨯÷⨯--。
例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。
例24．计算
34x x y -+4x y y x +--74y x y -得（ ） A ．-264x y x y +- B ．264x y
x y
+- C ．-2 D ．2 例25.计算a-b+
22b a b +得（ ） A ．22a b b a b -++ B ．a+b C ．22
a b
a b
++ D ．a-b 九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
3、解分式方程的步骤：
（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2）、解这个整式方程。
（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）、写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例26.解方程。
(1)623-=x x （2）1613122-=-++x x x （3）01152=+-+x x （4）x
x x 387
41836---
=- 例27. X 为何值时，代数式x
x x x 2
31392---++的值等于2？
例28.若方程1
22
423=+-+x x 有增根，则增根应是（ ）
十、列方程应用题
（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。
（二） 应用题的几种类型：
1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
例29.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天? 3、顺水逆水问题 v
顺水
=v 静水+v 水； v 逆水=v 静水-v 水。
例31.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?。