2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程作业苏教版选修1_1

2.4.1 抛物线的标准方程
[基础达标]
1．已知抛物线的准线方程是x ＝－7，则抛物线的标准方程是________．
解析：由题意，设抛物线的标准方程为y 2
＝2px (p >0)，准线方程是x ＝－p 2，则－p
2
＝－
7，解得p ＝14，故所求抛物线的标准方程为y 2
＝28x .
答案：y 2
＝28x
2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2
－6x －7＝0相切，则p 的值为________．
解析：抛物线的准线为x ＝－p
2
，
将圆的方程化简得到(x －3)2
＋y 2
＝16，准线与圆相切，则－p
2
＝－1⇒p ＝2.
答案：2
3．以双曲线x 216－y 2
9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
解析：∵双曲线的方程为x 216－y 2
9
＝1，
∴右顶点为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y 2
＝2px (p >0)，
则p
2
＝4，即p ＝8， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .故填y 2
＝16x .
答案：y 2
＝16x
4．抛物线x 2
＝4ay (a ≠0)的准线方程为________． 解析：∵抛物线的焦点在y 轴上，
∴准线方程为y ＝－4a
4
，即y ＝－a .
答案：y ＝－a
5．过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF ＝________.
解析：抛物线y 2
＝4x 的准线为x ＝－1，焦点为F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线的定义可知AF ＝x 1＋1＝3，所以x 1＝2，所以y 1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A (2,22)．由A ，F ，B 三点共线可知直线AB 的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物
线方程消去y 得2x 2
－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x 2＝12，故BF ＝32
.
答案：32
6．已知F 是拋物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．
解析：过A ，B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线．
所以MN ＝
AD ＋BC
2
.
由抛物线的定义知AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝3，所以MN ＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－1
4
，
所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故填5
4
.
答案：54
7．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程． 解：设P (x ，y )，则有x －2＋y 2＝|x |＋1，两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.
∴y 2
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ，x ≥0，0， x <0.
故点P 的轨迹方程为y 2
＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．
8．(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P (4,2)，求抛物线的方程；
(2)已知抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)上一点A (m,4)到其焦点的距离为174
，求p 与m 的值．
解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， ∴抛物线的方程为标准方程． 又∵点P (4,2)在第一象限，
∴抛物线的方程设为y 2＝2px ，x 2
＝2py (p >0)．
当抛物线为y 2＝2px 时，则有22＝2p ×4，故2p ＝1，y 2
＝x ；
当抛物线为x 2＝2py 时，则有42＝2p ×2，故2p ＝8，x 2
＝8y .
综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2
＝8y .
(2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p
2
，根据抛物线定义，点A (m,4)到焦点的距离等于
它到准线的距离，即4＋p 2＝174，解得p ＝12
；∴抛物线方程为：x 2
＝y ，将A (m ，4)代入抛物
线方程，解得m ＝±2.
[能力提升]
1．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2
＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．
解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2
－433y －4
＝0，解得y A ＝
43
3
＋ 16
3＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为1
2
×1×23＝ 3.
答案： 3
2．若双曲线x 23－16y 2p
2＝1的左焦点在抛物线y 2
＝2px 的准线上，则p 的值为________．
解析：把双曲线x 23－16y 2p 2＝1化为标准形式x 23－y 2p 216
＝1，故c 2
＝3＋p 216，c ＝ 3＋p 216
＝
48＋p 2
4，左焦点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－48＋p 2
4，0，由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－48＋p 2
4，又抛物线y 2
＝2px 的准线方程为x ＝－p
2，所以－48＋p 2
4＝－p 2
，解得，p ＝4或p ＝－4(舍去)．故
p ＝4.
答案：4
3．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲
线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .
设抛物线方程为y 2
＝4cx ，
∵抛物线过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6，∴6＝4c ·32.∴c ＝1， 故抛物线方程为y 2
＝4x .
又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2
＝1，∴94a 2－61－a
2＝1. ∴a 2＝14
或a 2
＝9(舍去)．
∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2
－4y 2
3
＝1.
4．设抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．
(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；
(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．
解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，BD ＝2p ，圆F 的半径FA ＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝FA ＝2p .
因为△ABD 的面积为42，所以1
2
BD ·d ＝42，
即1
2
·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2
＝8.
(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.
由抛物线定义知AD ＝FA ＝1
2
AB ，
所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33
. 当m 的斜率为
33时，由已知可设n ：y ＝33
x ＋b ，代入x 2
＝ 2py 得x 2
－233
px －2pb ＝0.
由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2
＋8pb ＝0，
解得b ＝－p
6
.
因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1|
|b |
＝3，
所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.
当m 的斜率为－3
3
时，由图形对称性可知，坐标原点到m 、n 距离的比值为3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.。