倒格子定义
倒格子和X衍射
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X射线光谱
图 2 元素特征X射线的激发机理
X射线的产生：高速电子流轰击金属，内层电子被击出，Kα1 、Kα2、Kβ1高
能级电子跃迁到低能级补充空位, 能量以X光的形式放出。
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图3
X射线的物理性质和穿过物质时的作用
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2、X射线的本质
劳厄斑Laue spots
X射线 X--ray
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劳厄斑 晶体 Laue spots 晶体的三维光栅 crystal Three-dimensional “diffraction grating”
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• 由此，X射线被证实是一种频率很高（波长很 短）的电磁波。 X射线的本质是电磁辐射，与 可见光完全相同，仅是波长短而已，因此具有 波粒二像性。 (1)波动性; (2)粒子性。
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• 2、正、倒格子对应关系 不同空间描写晶体的对称性 • r空间 k空间 • Bravais格子 倒格子 • W-S原胞 Brilliuon区 • 正格子的晶面(hkl)对应于倒格子的格点h,k,l；反之亦然。 • 3、等价的周期性 • 如果Kh是倒格矢，那么物理量的Fourier级数在晶体任何平 移变换下具有所期待的不变性。
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图1 电磁波谱
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X照片
• 伦琴夫人的手
• 戒指
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1、X射线的产生
原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子在靶上骤然减速 时伴随的辐射，称为X 射线。
倒格子与布里渊区
若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？
证：
Gn
x
晶为面：族(h1h2h3x) 中 离G G原hh 点距m 离为dhmdh的晶面方程 其中
x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。
由性质（4）
dh
2
Gh
x
G h Gh
x
Gh
（B） c 2
类似可得
b2＝
2
（a3×a1）
b3＝
2
(a1×a2)
2
2
有了倒格子基矢，可构成倒格矢。
Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子周期性
其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间 叫倒格子空间。
由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。 属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。
精选课件二维正方晶格的布里渊区精选课件二维长方晶格的布里渊区精选课件二维六方晶格的十个布里渊区精选课件面心立方晶格的第一布里渊区精选课件体心立方晶格的第一布里渊区精选课件精选课件作业p63
§1.6 倒格子与布里渊区
一. 倒格子
（先在B格子和基矢坐标系中讨论)
1. 定义：
正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3
即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以
Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。
(4) 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。
dh
2
Gh
（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh·Rn＝2πm
第4讲、倒格子和晶体的对称性
29
四、基本的点对称操作
第一章 晶体结构
1、E (不变) 对应n=1，即没有操作
2、Cn (n度轴转动)
n： 2 3 4 6 C2 C3 C4 C6
(熊夫利符号)
3、i (中心反演)
4、Cn(n度旋转轴，作n度旋转后再作中心反映)
C2 (m) C4 (S4)
r 1
A(Gn )
F
(rr
)
r exp(iGn
rr
)drr
5
根据原胞基矢定义三个新的矢量 —— 倒格子基矢量
r b1
2
ar1ar2ar2 ar3ar3
r b2
2
ar1ar3ar2 ar1ar3
r b3
2
ar1ar1ar2 ar2ar3
以
为基矢构成一个倒格子
v uuur Gh1h2h3 CB 0
与晶面族正交
9
3）倒格子矢量 晶面方程
为晶面
各晶面到原点的距离
面间距 即：
d v 2v v
h1b1 h2b2 h3b3
的法线方向
ai
bj
2
ij
10
——倒格子的物理意义
原点O引晶面簇ABC的法线 ON
在 法 线 上 截 取 一 段 ρ=OP ， 使 ρd=2π
最基本的点对称操作：E、C2、C3、C4、C6、i、m、S4
共8种
(形成32种点群)
30
Cn (n度轴转动)
n： 2
3
C2
C3
（轴 的 符号）
第一章 晶体结构
倒格子——精选推荐
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
1.4倒格子
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
a2 a j
a
a
a 1 ai a2 a j
a
a
a 1 ai
a i b j 2π ij
2π ( i j )
0 (i j )
a 1 ai a2 a j
a 1 b1 2 π a1 b2 0
正格
倒格
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
a1 , a 2 , a 3
b1 , b 2 , b 3
2π ( i j )
a i b j 2π ij
0
i j
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
a1 cosa1 , n h1d a 2 cosa 2 , n h2 d a 3 cosa 3 , n h3 d
2.晶面及晶面指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
h h h 若遇负数，则在该数上方加一横线h h h 。
1 2 3
1 2 3
以布拉菲原胞基矢 a , b,c 为坐标轴来表示的晶面指数称为
密勒指数，用(hkl)表示。
晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是：
2π ( i j )
2π3 Ω*
Ω
0
i j
u u r r 2. Rl ?G h
2π μ
u r r r r 4. G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 ^ (h1h2h3)
u r G h1h2 h3 =
倒格子
r r → → → a a CB = OB − OC = 2 − 3 h2 h3 r r r r r r → a1 a3 QGh ⋅CA =(h1b1 + h2 b2 + h3 b3 )⋅( − )= 0 h1 h3 r r r r r r → a 2 a3 Gh ⋅ CB = (h1b1 + h2 b2 + h3b3 ) ⋅ ( − ) = 0 h2 h3 r r ∴ Gh ⊥晶面ABC 即Gh 于晶面族 h1, , h2 , h3 )正交
r r r 1.6[求 b1 , b2 , b3
再算]
144
C 三点 如图 r r → a → a 1 2 OA = OB = h1 h2 r r → → → a a CA = OA− OC = 1 − 3 h1 h3
r → a 3 OC = h3
r G
B O A
r a2 r a1
2π 4.晶面族 ( h1 , h2 , h3 ) 的面间距 d h1 ,h2 ,h3 = r Gh → r 证明 仍用上图 d h1 ,h2 ,h3即为 OA 在Gh 上的投影长度 r r r r r → G a1 h1b1 + h2 b2 + h3b3 2π h d h1 ,h2 ,h3 = OA⋅ r = ⋅ = r r h1 Gh Gh Gh 综合性质 3.4.知 晶面族 r Gh = 2π d h1 ,h2 ,h3 取倒格点 P
且 OA⋅ G h = 2π
→
r
r h1 , h2 , h3 对应一倒格矢 Gh ⊥ 该晶面 并且有 → r 使 OP = Gh 亦可说晶面族 h1 , h2 , h3 与 P 点对应 特殊的倒格矢 分别对应三个 正格子基矢晶面
ssp-03－倒格子-2014
a1
2
i j 2
简单六角的正格子空间的基矢为：
a2
3a i a j 22
它的倒格子空间的基矢为：
a3 ck
b1
2 i 2
3a a
j
b2
2 i 2
3a a
j
2
b3 c k
这仍然是简单六角 的基矢，因此简单 六角晶格的倒格子 为简单六角格子。
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
这恰好是体心立方 的基矢，因此面心 立方晶格的倒格子 为体心立方格子。 倒格子的晶格常数 为4/a
面心立方晶格的第一布里渊区是一个截角八面体
思考题：金属Ag的的晶格常数为a，问第三布里渊区的体积
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
例题3.5 简单六角结构的第一布里渊区
3a a
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
典型晶格的倒格子、布里渊区和高对称点
例题3.2 简单立方的第一布里渊区
a1 ai 简单立方正格子空间的基矢为： a2 aj
a3 ak
它的倒格子空间的基矢为：
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
b1
2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
简单立方的倒格子还是简单立方，倒格子的格常数是2/ a，它的
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
例题3.3 体心立方的第一布里渊区
体心立方正格子空间的基矢为：
a1
a (i 2
j
k)
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
它的倒格子空间的基矢为：b1
复旦固体物理讲义-11倒格子(优选.)
h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子1上讲回顾•用轨道物理学理解晶体中原子近程结构*原子轨道之间相互作用由原子轨道角分布决定*为适应周围化学环境，与邻近原子成键，原子轨道可以杂化(重组) 以适应环境 杂化最大方向由价电子数、配位、键上电子转移等共同决定*键合分类：离子、共价、金属、分子和氢键h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子2本讲内容•在k 空间看晶体结构*倒格子(r e c i p r o c a l l a t t i c e )倒格子基矢*正格子(d i r e c t l a t t i c e )和倒格子之间的关系h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子3第11讲、倒格子1.为什么倒空间？2.晶格的F o u r i e r 变换3.倒格子4.二维倒格子5.正、倒格子对应关系6.重要的例子7.B r i l l i o u n 区8.X 射线晶体衍射实验h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子41、为什么倒空间(r e c i p r o c a l s p a c e )？•一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写*坐标表象r ，动量表象k•为什么选择不同的表象？*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k 守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单•正空间的格矢(R l )描写周期性；在动量空间？•这两个空间完全是等价的*只是一个变换h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子8看格点的F o u r i e r 变换？•数学上如何用一个函数来描写格点？•δ函数！()∑-=ll R R r r δρ)(•对这个函数进行F o u r i e r 变换()()∑∑⎰⎰∙-∙-∙-=-==llli i l i ed ed eR R k R r k rk r R r r r k δρρ)(•格点满足平移周期性，则有K h 满足ml h π2=∙R K •那么乘上不变因子()∑∑∙--∙-==llh lli i eeR R K k R R k k ρh t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子9•这告诉了我们什么信息，K h 对应什么？•坐标空间里，δ(r -R l )函数表示在R l 的格点，当满足上述条件时，其F o u r i e r 变换也是δ(k -K h )函数，表示的是倒空间里的一个点！•后面会知道，这些点就是倒格点，K h 即倒格矢*或者说前面K h 与R l 的关系定义了倒格矢，满足上述条件矢量就是倒格矢←→格矢*K h 的量纲为R l 的倒数•利用P o i s s o n 求和公式，即可得()()∑∑-==∙--hl lh h i e K R R K k k K k δρ•即当矢量K h 与R l 乘积是2π的整数倍时，在坐标空间R l 处的δ函数的F o u r i e r 变换为在动量空间以K h 为中心的δ函数！h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子103、倒格子(r e c i p r o c a l l a t t i c e )1=∙lh i e R K 为整数m m l h ,2π=∙R K •因此，B r a v a i s 格子也称为正格子(d i r e c t l a t t i c e )•等价关系：知道K h ，就知道R l ；反过来也一样•它们满足F o u r i e r 变换关系，因此，倒空间也称F o u r i e r 空间•定义：对B r a v a i s 格子中所有的格矢R l ，有一系列动量空间矢量K h ，满足的全部端点K h 的集合，构成该B r a v a i s 格子的倒格子，这些点称为倒格点，K h 称为倒格矢h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子11倒格子基矢•对正格子332211a a a R l l l l ++=•如果选择一组b ，使332211b b b K h h h h ++=•那么矢量K 就可由b 组成i jj i πδ2=⋅a b ml l l h h h l h π2332211=⋅+⋅+⋅=⋅a K a K a K R K •有•它满足上述关系，因此K h 具有平移对称性→可用基矢和整数表示的平移周期性→K h 定义倒空间的B r a v a i s 格子，b i 就是倒格子基矢•K h 为倒格矢——K h 所有的端点即为倒格点h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子21等价的周期性•如果K h 是倒格矢，那么物理量的F o u r i e r 级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性∑+∙=+hi l l h h eF F )()(R r K K R r )(r rK K F e F hi h h ==∑∙是哪个晶面？互质？它属于哪族晶面？*是红色的这个晶面。
第1章 晶体学基础-2-倒格子
22
对于等轴（立方）晶体， 有： cosΦ=(H1H2+K1K2+L1L2)/[(H12+K12+L12) (H22+K22+L22)]1/2
对于四方晶体， 有： cosΦ=c2(H1H2+H1H2)+a2L1L2/[[c2(H12+K12
电子 衍射 图
13
晶面间距的计算
晶面间距(面网间距)指 两个相邻晶面间的垂直距离。 对晶面(hkl), 一般用dhkl来 表示其晶面间距。一般的规 律是，在空间点阵中，晶面 的晶面指数越小，其晶面间 距越大，晶面的结点密度越 大，它的X射线衍射强度越 大，它的重要性越大。晶面 间距在X射线分析中是十分 重要的。
20
a/2 a/4 (100)
原点
(400) (200)
原点
440 220 110
21
晶面夹角(其法线间的夹角）的计算
很复杂，
cos
*
R R H1K1L1
* H 2 K 2 L2
R R * H1K1L1
* H 2 K 2 L2
dH1K1L1 dH2K2L2 H1a* K1b* L1c* H2 a* K2 b* L2 c*
之平行六面体）体积，按矢量混 合积几何意义，V=a1(a2×a3)。
c* c b b*
a* a
3
倒易点阵参数及*（a*2与a*3夹角）、*（a*3与 a*1夹角）和*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为
a*1=(a2a3sin)/V a*2=(a3a1sin)/V a*3=(a1a2sin)/V cos*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(coscos-cos)/sinsin
16倒点阵和倒格子概述
布拉格假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小 部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大
只有入射的10-3~10-5部分被每个面反射，大部分穿透，要有足够多的 原子面参与反射
入射线与反射线之间的光程差： =SA+A T=2d sin
满足衍射方程： 2dh1h2h3 sin =n
16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子4举例举例取正格子基矢为取正格子基矢为可求出倒格子基矢为可求出倒格子基矢为倒格矢的垂直平分面构成第倒格矢的垂直平分面构成第16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子二维晶格点阵的布里渊区二维晶格点阵的布里渊区取正格子基矢为作原点0至其它倒格点连线的中垂线它们将二维倒格子平面分割成许多区域可求出倒格子基矢为二维正方格子的第一oo16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子二维正方格子布里渊区图示演示16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子三维晶格点阵的布里渊区三维晶格点阵的布里渊区简单立方格子的第一布里渊区是简单立方格子的第一布里渊区是简单立方格子简单立方格子面心立方格子的第一布里渊区是面心立方格子的第一布里渊区是截角八面体截角八面体十四面体十四面体体心立方格子的第一布里渊区是体心立方格子的第一布里渊区是棱形十二面体棱形十二面体16倒点阵和倒格子16倒点阵和倒格子简单立方晶体正格子基矢为其倒格子仍为简单立方结构与原点相近邻的倒格这些倒格矢的垂直平分面构成简单立方体即
P
A Q
S
T
A
对于给定的d和 ，由布拉格定律就能确定角，是仅有的能发生X射线衍射的角度。 且n为衍射级数，级数增加，强度减弱。
P Q
d
布拉格定律的条件
§1.6 倒点阵和倒格子
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倒格子（reciprocal lattice）
定义：对布拉伐格子（ Bravais lattice）中所有的格矢 R ，有一系列 动量空间矢量 G ，满足
G R 2m
e
iGR
1
m为整数
G 的集合，构成该布拉伐格子的倒格子，这些点称为倒 的全部端点 格点， G 称为倒格矢，因此布拉伐格子也称为正格子（direct lattice） 等价关系：知道 G，就知道 R ；反过来也一样。它们满足Fourier变 换关系，因此，倒空间也称Fourier空间。
V r V r R
V r 在各原胞的相应点上均相同（晶体是个等势体）。这种具有 晶格周期性的函数，可以展开为傅立叶级数：
V r V G eiGr
G
凡是具有晶格平移对称性的函数，都可以以 e
iGr
为基函数作傅里叶级数展开
式中求和取遍矢量G 的一切可能值，当 r 变为 r R 时，要求：
2 ai b j 2ij 0 i j i j
i, j 1, 2,3
如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任意的，满足上 述正交关系。
从布洛赫波波矢出发定义倒格矢:
1. 在周期势场中运动的单电子波函数 (k, r)可展开为波 矢为k+G的平面波的线性迭加，式中G是倒格矢. 2. 对同一能带，当用波矢量k标志电子状态时，相差一个 倒格矢的两个状态是等价的，据此可引入简约布里渊区 的概念。
倒格子的定义
—为什么引入倒格子？ 从X射线晶体学定义倒格子:
1. 倒格矢与晶面间具有相互对应的关系。晶格的一簇晶 面转化为倒格子空间中的一点。 2. 倒格矢与布拉格反射面间具有一一对应关系（入射 X 射线将在与倒格矢垂直的晶面 (h1h2h3) 上产生布拉格反 射），利用倒格子概念可简化对 X 射线图案的分析。衍
教科书也将下列关系作为倒格子基矢定义，即由这三个矢量可以定 义倒格矢，倒格矢给出的端点集合构成倒格子。正格子也可看作倒 格子的倒格子。
a2 a3 b1 2 a1 (a2 a3 ) a3 a1 b2 2 a1 (a2 a3 ) a1 a2 b3 2 a1 (a2 a3 )
V r R V G e
G
iG r R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V r V G eiGr
G
e
iGR
1
因此，矢量 G 不是任意的，它必须满足：
G R G n1a1 n2a2 n3a3 2 m
G a2 2 h2 ， G a3 2 h3 。 m 为整数，或要求 G a1 2 h1 ， h1 , h2 , h3 为整数。满足上式的 G 可以表示为： 其中， G hb 1 1 h2b2 h3b3
r空间（实空间）
布拉伐格子
k空间（相空间） 倒格子
原胞 正（坐标）空间
数学：正格子 观察：显微镜
周期性
布里渊区
（倒空间中的Wigner-Seitz原胞）
倒（动量）空间
数学：倒格子 观察：X射线衍射
倒格子的基本性质
（1）以倒格子基矢 b1, b2 , b3 为棱边构成的平行六面体称为倒格子原 3 ( 2 ) * 胞，其体积为*。 b (b b )
b2 b3 a1 2 b1 (b2 b3 ) * b3 b1 a2 2 b1 (b2 b3 ) b1 b2 a3 2 b1 (b2 b3 )
正、倒格子对应关系
不同空间描写晶体的对称性：
1 2 3
（2）倒格矢 G hb 1 1 h2b2 h3b3 和正格子空间中面指数为(h1h2h3)的 晶面族正交，即 G 沿晶面族的法线方向。
（ 3 ） 晶 面 族 (h1h2h3) 的 面 间 距 d 与 倒 格 矢 G 的 模 成 反 比 ， 关 系 。 为 d 2 G （4）正格矢 之间 1 1 h2b2 h3b3 R n1a1 n2a2 n3a3 与倒格矢 G hb 满足 G R 2m ，m为整数。
P
·
射图案看成是倒格子的映象。
从周期函数的傅里叶级数展开阐述倒格子:
1. 任意的周期函数都可以在该函数所定义空间的倒格子 空间中展开为傅里叶级数。正格子和倒格子是相对的， 它们之间互为正、倒格子。
晶格具有平移不变性。因此，在研究晶体结构和性质时，常常要遇 到许多周期函数 f (r ) ，它具有如下性质：f (r ) f (r R) ，式中 R 是晶格平移矢量。 如晶体中的离子实所产生的势场 V r 。按周期性的要求有：