2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-5-3
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2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-5-1~1-5-2 精品
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.，
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
曲边梯形的面积
思考1
如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
2 2 2
3 3 3 3
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.
解答
类型二 求变速运动的路程
例2
当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.
如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为 v(t) ＝t2＋2( 单位：km/h) ，
答案
思考2
如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形
的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案
已知图形是由直线 x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可
称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”
的所有边都是直线段.
答案
思考3
能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 “直边图形”的面积 问题？(归纳主要步骤)
那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
解答
引申探究
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，
比较两次求出的结果是否一样？
解答
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用 “以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、 取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
1.5.2 汽车行驶的路程
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.，
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
曲边梯形的面积
思考1
如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
2 2 2
3 3 3 3
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.
解答
类型二 求变速运动的路程
例2
当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.
如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为 v(t) ＝t2＋2( 单位：km/h) ，
答案
思考2
如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形
的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案
已知图形是由直线 x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可
称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”
的所有边都是直线段.
答案
思考3
能否将求曲边梯形的面积问题转化为求 “直边图形”的面积 问题？(归纳主要步骤)
那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
解答
引申探究
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，
比较两次求出的结果是否一样？
解答
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用 “以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、 取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.1.3导数的几何意义 精品
答案：D
4．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y －6＝0 平行，则 a 等于__________．
解析：因为 y′|x＝1＝
a（1＋Δx）2－a·12 ＝
Δx
2aΔx＋a（Δx）2 ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
Δx
所以 2a＝2，所以 a＝1. 答案：1
5．曲线 y＝13x3－2 在点1，－53处切线的倾斜角为
因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝ (x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x30－3x20＋x0)＝ 3x20Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，(4 分)
Δy 所以Δx＝3x20＋3x0Δx－6x0＋(Δx)2－3Δx＋1，(5 分)
所以 f′(x0)＝
2．曲线 y＝－2x2＋1 在点(0，1)处的切线的斜率是 ()
A．2 B．1 C．0 D．－1 Δy
解析：y′|x＝0＝ Δx＝ (－2Δx)＝0.
答案：C
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x －y＋2＝0，则 f′(1)＝( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：由导数的几何意义知 f′(1)＝2.
________． 解析：因为 y′＝
13（x＋Δx）3－2－13x3－2＝ Δx
x2＋xΔx＋13（Δx）2＝x2，所以切线的斜率 k＝ y′|x＝1＝1.所以切线的倾斜角为π4. 答案：π4
类型 1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析) [典例 1] 求曲线 f(x)＝x3＋2x＋1 在点(1，4)处的切 线方程． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1) ＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
4．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y －6＝0 平行，则 a 等于__________．
解析：因为 y′|x＝1＝
a（1＋Δx）2－a·12 ＝
Δx
2aΔx＋a（Δx）2 ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
Δx
所以 2a＝2，所以 a＝1. 答案：1
5．曲线 y＝13x3－2 在点1，－53处切线的倾斜角为
因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝ (x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x30－3x20＋x0)＝ 3x20Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，(4 分)
Δy 所以Δx＝3x20＋3x0Δx－6x0＋(Δx)2－3Δx＋1，(5 分)
所以 f′(x0)＝
2．曲线 y＝－2x2＋1 在点(0，1)处的切线的斜率是 ()
A．2 B．1 C．0 D．－1 Δy
解析：y′|x＝0＝ Δx＝ (－2Δx)＝0.
答案：C
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x －y＋2＝0，则 f′(1)＝( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：由导数的几何意义知 f′(1)＝2.
________． 解析：因为 y′＝
13（x＋Δx）3－2－13x3－2＝ Δx
x2＋xΔx＋13（Δx）2＝x2，所以切线的斜率 k＝ y′|x＝1＝1.所以切线的倾斜角为π4. 答案：π4
类型 1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析) [典例 1] 求曲线 f(x)＝x3＋2x＋1 在点(1，4)处的切 线方程． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1) ＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.1.3 精品
y＝4x－4， (2)由 1 3 4 可得(x－2)2(x＋4)＝0， y＝ x ＋3， 3 解得x1＝2，x2＝－4. 从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)． 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共 点．
[规律总结] 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x －x0)；
3．导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导 数s′(t0)，就是物体在t0时刻的___________ 瞬时速度 ． 4．函数的导数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个确定的数．当x
变化时，f ′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的 fx＋Δx－fx lim 导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝_______________. Δx→0 Δx
[ 解析]
(1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)． 1 4 1 4 3 3 32＋Δx ＋3－3×2 －3 Δy y′|x＝2＝Δ lim ＝Δ lim x→0 Δx x→0 Δx 1 2 ＝Δ lim [4 ＋ 2·Δ x ＋ (Δ x ) ]＝4. x→0 3 ∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y －4＝0.
[ 知识点拨] 1.曲线的切线与导数 (1)函数 f(x)在 x0 处有导数，则在该点处函数 f(x)表示的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率． (2)函数 f(x)表示的曲线在点(x0， f(x0))处有切线， 但函数 f(x) 在该点处不一定可导， 如 f(x)＝ x在 x＝0 处有切线， 但不可导． 3
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.3.2函数的极值与导数 精品
[变式训练] 求函数 y＝3x3－x＋1 的极值． 解：令 y′＝9x2－1＝0， 解得 x1＝13，x2＝－13. 当 x 变化时，y′和 y 的变化情况如下表所示：
x (－∞，－13) －13 (－13，13)
1 3
(13，＋∞)
y′ ＋
0
－Hale Waihona Puke 0＋极大极小
y
↗
值191
↘ 值79
↗
因此，当 x2＝－13时，y 有极大值，并且极大值191. 而当 x1＝13时，y 有极小值，并且极小值为79.
归纳升华 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以 下两点： (1)根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程 组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条 件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
[变式训练] 已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝a(x＋1)(x－
解析：(1)错，函数的极大值不一定大于极小值． (2)错，函数的极大(小)值是函数在某点附近的函数值 的最大(小)值，不是定义域上的最大(小)值． (3)错，如 f(x)＝x3 满足 f′(0)＝0，但 f(0)不是 f(x)＝x3 的极值． 答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数 f(x)＝x3－ax2＋4x＋8，已知 f(x)在 x＝2 时 取得极值，则 a＝( )
③在 x＝a 附近的左侧，f′(x)＜0，函数单调递减； 在 x＝a 附近的右侧，f′(x)＞0，函数单调递增．
2．可导函数 f(x)的极大值
如图所示，若 b 为极大值点，f(b) 为极大值，则必须满足：
①f(b)≥f(x0)[f(x0)表示 f(x)在 x＝b 附近的函数值]； ②f′(b)＝0； ③在 x＝b 附近的左侧，f′(x)＞0，函数单调递增； 在 x＝b 附近的右侧，f′(x)＜0，函数单调递减．
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用
(2)曲线 y＝2－x2 与直线 y＝－2 围成的图形的面积为
2 ∫1 (4 － x )dx.( 0
)
(3)曲线 y＝x3 与直线 y＝2－x，y＝0 围成的图形的面
3 2 ∫ 积为∫1 x d x ＋ 0 1(2－x)dx.(
)
解析：(1)错，作出曲线 y＝ x与直线 y＝x，可知，
2 所求面积为∫1 ( x － x )d x .(2) 对，作出曲线 y ＝ 2 － x 与直 0 2 线 y＝－2，可知，所求面积为∫1 (4 － x )dx.(3)对，作出曲 0 3 线 y＝x3 与直线 y＝2－x， y＝0， 可知， 所求面积为∫1 x 0 dx
类型 1 不分割型平面图形面积的求解(自主研析) [典例 1] 曲线 y＝ex，y＝e－x 及直线 x＝1 所围成的 图形的面积是________．
x y ＝ e ， 解析：如图所示，由 －x y ＝ e
解得交点为(0，1)，
－x －x 1 x x 所以所求面积为 S＝∫1 (e － e )d x ＝ (e ＋ e )|0＝e＋ 0
图①
图②
图③
图①中，f(x)＞0，∫b af(x)dx＞0，因此面积 S＝
b ∫ af(x)dx _____________ ；
b | ∫ 图②中， f(x)＜0，∫b f ( x )d x ＜ 0 ，因此面积 S ＝ a a
b ∫ － af(x)dx ； f(x)dx|＝____________
第一章
导数及其应用
1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的 应用
[学习目标 ] 1.了解定积分的几何意义 (重点)． 2. 会用求定积分的方法求曲边梯形的面积(重点、难点)．
数学选修2-2人教A讲义：第一章导数及其应用1.5.3
2?21x3 dx＝3×
7－ 2×15＝－
3
4
1 2.
反思与感悟 若函数 f(x)的奇偶性已经明确，且 f( x)在[－ a ，a ]上连续，则
a
(1)若函数 f(x)为奇函数，则 ?－af( x)dx＝ 0. (2)若函数 f(x)为偶函数，则 ?a－af( x)dx＝ 2?a0f(x)dx.
2x－ 1，－ 1≤ x<0，
示由直线 x＝a， x＝ b，y＝ 0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分
?baf (x)dx
的几何意义．
注意： f (x)<0( 图象在 x 轴的下方 )时， ?baf( x)dx<0，－ ?baf(x)dx 等于曲边梯形的面积．
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释
Sn
＝
lim
n→∞
13－ 3 2 2n
＝
13 2.
反思与感悟 利用定义求定积分的步骤
跟踪训练 1 利用定积分的定义计算 ?32(x＋ 2)dx.
考点 定积分的概念
题点 定积分的概念
解 令 f(x)＝ x＋ 2.
将区间 [2,3] 平均分为 n 个小区间，每个小区间的长度为
Δxi
＝
1 n
，
i－ 1
i
[xi－1， xi]＝ 2＋ n ， 2＋ n ， i＝ 1,2，… ， n.
1.5.3 定积分的概念
学习目标 1.了解定积分的概念， 会用定义求定积分 .2.理解定积分的几何意义 .3.掌握定积分 的基本性质．
知识点一 定积分的概念 思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用
A．[0，e2] B．[0，2] C．[1，2] D．[0，1]
x y ＝ e ， x＝0， 解析：解方程组 可得 y＝1， y＝1，
所以积分区间为[0，2]． 答案：B
3．下列值等于 1 的是( A.∫1 0xdx C.∫1 01dx
11 B.∫0 dx
)
2
11 2 D.∫0 x dx
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
2 ∫ (1)∫2 f ( x )d x ＝ 1 1f(t)dt.(
) ) )
(2)∫b af(x)dx 的值一定是一个正数．(
3 b b 3 ∫ ∫ (3)∫b (ln x － x )d x ＝ ln x d x － a a ax dx.(
ξi＝xi＝
[变式训练]
利用定积分定义计算∫2 1(1＋x)dx.
解：(1)分割：因为 f(x)＝1＋x 在区间[1，2]上连续， 1 将区间[1，2]分成 n 等份，则每个区间长度为Δxi＝ . n
i － 1 i (2)近似替代：在[xi－1，xi]＝1＋ ，1＋ 上取 n n
b 之间的各部分面的性质
b b ∫ k af(x)dx (1)∫akf(x)dx＝__________
(k 为常数)；
b b b ∫ ∫ f ( x )d x ± a 1 af2(x)dx ； (2)∫a[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________ c b b ∫ ∫ f ( x )d x ＋ ∫ (3) af(x)dx＝_________________ a c f(x)dx ，其中 a＜c＜b.
n ＝ ＝
2 1 ＝n·n＋ 2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n n－1 1 n（n－1） ＝2＋ 2· ＝2＋ ， n 2 2n
2018秋新版高中数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用 1-5-1-1-5-2
要求一个曲边梯形的面积,不能用已有的面积公式计算,为了计 算曲边梯形的面积,可以将它分割成许多个小曲边梯形,每个小曲边 梯形的面积用相应的小矩形的面积近似代替,对这些近似值求和,就 得到曲边梯形面积的近似值.当分割的小矩形的宽无限变短时,这个 近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积.
重难聚焦
重难聚焦
知识梳理
【做一做 2-1】 函数 f(x)=x2 在区间 ������ , ������ 上( A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大 C.f(x)的值不变 D.当 n 很大时,f(x)的值变化很小 答案:D
������-1 ������
)
知识梳理
【做一做 2-2】 求由抛物线 f(x)=x2,直线 x=1 以及 x 轴所围成 的平面图形的面积时,若将区间[0,1]5 等分,如图所示,以抛物线 f(x)=x2 在小区间中点处的函数值为高,所有小矩形的面积之和 为 .
解析:由题意得所有小矩形的面积之和为 (0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2=0.33. 答案:0.33
知识梳理
3.变速直线运动的路程 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么也可以 采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b内 所作的位移s. 【做一做 3】已知汽车在时间[0,t1]内以速度 v=v(t)做直线运动, 则下列说法不正确的是( ) A.当 v=a(常数)时,汽车做匀速直线运动,这时路程 s=vt1 B.当 v=at+b(a,b 为常数)时,汽车做匀速直线运动,这时路程
轴的垂线,
把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作 ΔS0,ΔS1,…,ΔSn-1.
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.2.2第一课时导数的运算法则 精品
答案：9
类型 1 利用导数的运算法则求导数(自主研析)
[典例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (3)y＝sienx x.
解：(1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x. (2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′＝ 2x(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋1x)＝ ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋3x.
[巧妙解法] 先将函数式化简，再求导数．
x＋1 x－1＋2
因为 f(x)＝ ＝
＝1＋
2
，
x－1 x－1
x－1
所以 f′(x)＝1＋
x2－1′＝2
x1－1′＝
0－（ x－1）′ 2× （ x－1）2 ＝－
x（
1 x－1）2.
归纳升华 对于较复杂的函数式，求导前应将函数式等价变形， 然后再运用导数运算法则求导．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)已知 f(x)＝xcos x，则 f′(x)＝cos x＋xsin x．( ) (2)已知 f(x)＝exx，则 f′(x)＝e1x.( ) (3)若函数 y＝f(x)的导数 f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( ) 解析：(1)错，f′(x)＝cos x－xsin x.
又曲线过点(2，－1)，所以 4a＋2b＋c＝－1.③ 由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9.
归纳升华 若导数问题中涉及参数问题，应先求导数，再根据题 设条件建立参数的方程(或不等式)求解．
[变式训练] 已知抛物线 y＝ax2＋bx－7 通过点(1， 1)，过点(1，1)的切线方程为 4x－y－3＝0，则 a、b 的值 分别为________．
类型 1 利用导数的运算法则求导数(自主研析)
[典例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (3)y＝sienx x.
解：(1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x. (2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′＝ 2x(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋1x)＝ ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋3x.
[巧妙解法] 先将函数式化简，再求导数．
x＋1 x－1＋2
因为 f(x)＝ ＝
＝1＋
2
，
x－1 x－1
x－1
所以 f′(x)＝1＋
x2－1′＝2
x1－1′＝
0－（ x－1）′ 2× （ x－1）2 ＝－
x（
1 x－1）2.
归纳升华 对于较复杂的函数式，求导前应将函数式等价变形， 然后再运用导数运算法则求导．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)已知 f(x)＝xcos x，则 f′(x)＝cos x＋xsin x．( ) (2)已知 f(x)＝exx，则 f′(x)＝e1x.( ) (3)若函数 y＝f(x)的导数 f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( ) 解析：(1)错，f′(x)＝cos x－xsin x.
又曲线过点(2，－1)，所以 4a＋2b＋c＝－1.③ 由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9.
归纳升华 若导数问题中涉及参数问题，应先求导数，再根据题 设条件建立参数的方程(或不等式)求解．
[变式训练] 已知抛物线 y＝ax2＋bx－7 通过点(1， 1)，过点(1，1)的切线方程为 4x－y－3＝0，则 a、b 的值 分别为________．
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.3.3 精品
1 3 2．若1、3为函数f(x)＝3x ＋bx2＋cx(b、c∈R)的两个极值 点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为 导学号 10510225 ( A．8 C．4
[答案] A [解析] f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1、3是方程f ′(x)＝ 0的两个实根，∴b＝－2，c＝3，∴f ′(－1)＝8，故选A.
) B．6 D．0
3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与 最小值分别为M，m，则M－m＝________. 导学号 10510226
[答案] 32
[解析] 令f ′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2， 列表得： x －3 (－3，－2) f ′(x) ＋ 2 －2 (－2,2) 0 0 － 极大 极小 f ( x) 17 值24 值－8 可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32. 故答案为32. (2,3) ＋ 3 －1
极值可以有多个，但最值只能有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．
1.若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x) 导学号 10510224 ( ) A．最大值为4，最小值为－4 B．最大值为4，无最小值 C．最小值为－4，无最大值 D．既无最大值，也无最小值
[答案] B
[解析] f ′(x)＝－4x3＋4x， 由f ′(x)＝0得x＝±1或x＝0. 易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B.
课堂典例讲练
利用导数求函数的最大值与最小值
求函数f(x)＝x4－2x2＋5在区间[－2,2]上的最 大值与最小值. 导学号 10510228
[思路分析]
先求[－2,2]上的极值，再求出f(－2)，f(2)与
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ʃb a
ʃb a
知识点三 定积分的性质
思考
c b 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ b f ( x )d x ＝ ʃ f ( x )d x ＋ ʃ a a c f(x)dx(其
中 a<c<b)吗？
答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲
边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的 面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
1 2
解答
反思与感 悟
b 利用定积分所表示的几何意义求 ʃa
f(x)dx的值的关键是确定由曲
线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状. 常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图 形.
跟踪训练2 利用定积分的几何意义，求：
2 (1)ʃ 3 9 － x dx； －3
答案 相等.
答案
梳理
f ( x) ≥0 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 那么定积分 f(x)d x表示由 b 直线 x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) ，
ʃa
所围成的曲边梯形的面积 .这就是定积分 b
何意义.
曲边梯形的面积.
ʃa
f(x)dx的几
注意：f(x)<0(图象在x轴的下方时， f(x)dx<0，－ f(x)dx等于
题型探究
类型一 利用定积分的定义求定积分
例1 利用定积分的定义，计算 ʃ2 1
(3x＋2)dx的值.
解答
反思与感 悟
利用定义求定积分的步骤
跟踪训练 1 利用定积分的定义计算 ʃ 3 2(x＋2)dx.
解答
类型二 利用定积分的几何意义求定积分
例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积
答案
梳理
(1)ʃ b akf(x)dx＝
kʃb af(x)dx (k 为常数).
b b b ʃ f ( x )d x ± ʃ af2(x)dx (2)ʃ a[f1(x)±f2(x)]dx＝ a 1
.
c b b ʃ f ( x )d x ＋ ʃ a c f(x)dx 其中 a<c<b). (3)ʃ af(x)dx__________________(
n
n
i＝1
时，上述和式无限接近某个 常数，这个 常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]
b ʃ 上的定积分，记作 af(x)dx
b －a lim f( ξi ) ， ，即ʃb af(x)dx＝ n→∞ n i＝1
n
积分下限 积分上限 这里，a与b分别叫做 与 叫做 f(x)dx叫做 ，函数f(x)叫做 被积函数 积分变量 .
分的值 . 1
(1)ʃ 02dx；
解 ʃ1 由于这个长方 02dx 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积， 形的面积为 2，所以 ʃ 1 02dx＝2.
解答
(2)ʃ 2 1xdx；
解 ʃ2 由于这个梯形的 1xdx 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积， 3 3 2 面积为2，所以 ʃ 1xdx＝2.
所围成的直角梯形 OABC 的面积，如图(2)， 1 其面积 S＝2×(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义，知 ʃ 3 0(2x＋1)dx＝12.
解答
类型三 利用定积分的性质求定积分
例3
1 2 3 15 2 2 7 4 2 56 1 3 已知 ʃ 0x dx＝ ，ʃ 1x dx＝ ，ʃ 1x dx＝ ，ʃ 2x dx＝ ，求下列各式的值. 4 4 3 3
第一章 §1.5 定积分的概念
1.5.3 定积分的概念
学习目标
1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.
2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一 定积分的概念
思考
分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一
下它们的共同点. 答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、
解 在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为 圆心，以 3 为半径的上半圆，如图(1)所示，
1 2 9 其面积 S＝2·π·3 ＝2π.
由定积分的几何意义，知 ʃ －3
3
9 9－x dx＝2π.
2
解答
(2)ʃ 3 0(2x＋1)dx.
解 在平面上，f(x)＝2x＋1 为一条直线.
3 ʃ 0(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3，y＝0
取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.
答案
梳理
一般地，如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1 <xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]
b－a 上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ n f(ξi) ，当 n→∞ i＝1
2
π 其值为4，
∴ʃ 1 0 π 1－x dx＝4.
2
解答
Байду номын сангаас
2 2.将例2(3)改为利用定积分的几何意义求 ʃ1 1 － x － 1 dx. 0
解
ʃ1 0
1 1－x－1 dx 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为 1 的4圆的面
2
π 积，其值为4，
∴ʃ 1 0
π 1－x－1 dx＝4.
2
积分区间 ，区 间 [a ， b] ， x叫做 被积式 ，
知识点二 定积分的几何意义
思考1
根据定积分的定义求得 ʃ 2 1(x＋1)dx 的值是多少？
答案 5 2 ʃ 1(x＋1)dx＝ . 2
思考2
ʃ2 1(x＋1)dx 的值与直线 x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1 围成的梯形 面积有何关系？
解答
2 (3)ʃ 1 1 － x dx. －1
2 解 ʃ1 1 － x dx 表示的是图③中阴影部分所示的半径为 1 的半圆的面 －1
π π 1 2 积，其值为2，所以 ʃ －1 1－x dx＝2.
解答
引申探究 1.将例2(3)改为利用定积分的几何意义求 1
ʃ 0 1－x2dx.
解
ʃ1 0
1 1－x dx 表示的是图④中阴影部分所示半径为 1 的圆的4的面积，
解答
2 3.将例 2(3)改为利用定积分的几何意义求 ʃ 1 ( x ＋ 1 － x )dx. －1
解 由定积分的性质得，
2 ʃ1 ( x ＋ 1 － x )dx －1
＝ʃ －1xdx＋ʃ －1 1－x dx.
1 1 2
∵y＝x 是奇函数，∴ʃ 1 －1xdx＝0. π 由例 2(3)知 ʃ －1 1－x dx＝2. π 1 2 ∴ʃ －1(x＋ 1－x )dx＝2.