2014-2015年广东省汕头市高一下学期期末数学试卷及答案

2014-2015学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．2．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+）的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B等于（）A．B．C． D．或4．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab B．|a|＜|b|C．D．5．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||=||=1，则|﹣|等于（）A．1 B．C．2 D．36．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9=（）A．100 B．40 C．20 D．127．（5分）在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．98．（5分）如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为（）A．1 B．C．2 D．39．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式是（）A．B．C．D．10．（5分）||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知向量=（1，2），=（x，2），且⊥，则实数x的值为．12．（5分）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+b=．13．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为．14．（5分）定义等积数列{a n}：若a n a n﹣1=p（p为非零常数，n≥2），则称{a n}为等积数列，p称为公积．若{a n}为等积数列，公积为1，首项为a，前n项和为S n，则a2015=，S2015=．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）15．（12分）已知向量=（4，3），=（﹣1，2）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与2+平行，求λ的值．16．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）最小正周期；（2）设，求f（x）的值域和单调递增区间．17．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=，•=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．18．（14分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m．设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（1）将y表示为x的函数，并写出此函数的定义域；（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．20．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+2a2+3a3+…+na n=（n﹣1）S n+2n （n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（3）求证：数列{S n+2}是等比数列；（3）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求满足T n＞0的最小自然数n的值．2014-2015学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin600°=sin（2×360°﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选：D．2．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+）的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B等于（）A．B．C． D．或【解答】解：由正弦定理可得，∴==∵b＜a∴故选：B．4．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab B．|a|＜|b|C．D．【解答】解：令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，故选：C．5．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||=||=1，则|﹣|等于（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=||=1∴==﹣2+=1﹣2||||cos120°+1=3∴|﹣|=故选：B．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9=（）A．100 B．40 C．20 D．12【解答】解：∵S10=100，∴=100，解得a1+a10=20，由等差数列的性质得，a2+a9=a1+a10=20，故选：C．7．（5分）在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．9【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得a3a6===9，①a2a4a5===27，②可得a2=38．（5分）如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，1），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B时直线在y轴上的截距最大，z最大为2×1+1=3．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数图象可得：点（0，1）在函数图象上，故有：1=2sinφ，由于，可得φ=，又点（，0）在函数图象上，可得：0=2sin（ω+），由ω+=2kπ，k∈Z，解得：ω=，k∈Z，ω＞0，当k=1时，可得：ω=2，故选：C．10．（5分）||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．【解答】解：法一：如图所示：=+，设=x，则=．=∴==3．法二：如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m，n），∴tan30°==，∴=3．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知向量=（1，2），=（x，2），且⊥，则实数x的值为﹣4．【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，2），且⊥，∴•=1•x+2×2=0，解得x=﹣4，∴实数x的值为﹣4．故答案为：﹣4．12．（5分）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+b=0．【解答】解：∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴对应方程ax2+bx+2=0的两个实数根为﹣1与2，由根与系数的关系，得，解得a=﹣1，b=1；∴a+b=﹣1+1=0．故答案为：0．13．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为700米．【解答】解：由题意，如图，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°，∴AB=700米，故答案为：700米．14．（5分）定义等积数列{a n}：若a n a n﹣1=p（p为非零常数，n≥2），则称{a n}为等积数列，p称为公积．若{a n}为等积数列，公积为1，首项为a，前n项和为S n，则a2015=a，S2015=1008a+．【解答】解：由题意得：a n a n+1=1（n∈N+），且a1=a，∴a2=，a3=a，a4=，a5=a，a6=，∴a n=，∴a2015=a，当n是奇数时，数列的奇数项数是1008，偶数项数是1007，则数列的前2015项和S2015=1008a+．故答案为：a，1008a+．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）15．（12分）已知向量=（4，3），=（﹣1，2）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与2+平行，求λ的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵向量=（4，3），=（﹣1，2）．∴=﹣4+6=2，==5，==…（3分）∴cos===．…（6分）（2）∵向量=（4，3），=（﹣1，2）．向量﹣λ=（4+λ，3﹣2λ），2+=（7，8）…（8分）∵向量﹣λ与2+平行，∴，…（10分）解得：λ=．…（12分）16．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）最小正周期；（2）设，求f（x）的值域和单调递增区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）==﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣），∴f（x）最小正周期为=π．（2）设，则2x﹣∈[﹣π，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴求f（x）的值域为[﹣2，]．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+]，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=，•=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为，∴，又由，得bccosA=3，∴bc=5，∴（Ⅱ）对于bc=5，又b+c=6，∴b=5，c=1或b=1，c=5，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=20，∴18．（14分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣4，∴{a n}的通项为：a n=17﹣4n；（2）∵a n=17﹣4n，∴b n===﹣（﹣），于是T n=b1+b2+……+b n=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]=﹣（﹣）=．19．（14分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m．设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（1）将y表示为x的函数，并写出此函数的定义域；（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解答】（本小题满分14分）解：（1）设矩形场地的宽为am，则y=45x+180（x﹣2）+180×2a=225x+360a﹣360，…（2分）∵ax=360∴a=，…（4分）∴y=225x+，x＞0；…（6分）（2）∵x＞0∴y=225x+≥2﹣360=10440 …（9分）当且仅当225x=，即x=24时，等号成立．…（11分）当x=24时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元．∵1080＜1566，…（13分）∴当x=24m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．…（14分）20．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+2a2+3a3+…+na n=（n﹣1）S n+2n （n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（3）求证：数列{S n+2}是等比数列；（3）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求满足T n＞0的最小自然数n的值．【解答】（1）解：∵a1+2a2+3a3+…+na n=（n﹣1）S n+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=2×1=2；当n=2时，a1+2a2=（a1+a2）+4，∴a2=4；当n=3时，a1+2a2+3a3=2（a1+a2+a3）+6，∴a3=8．（2）证明：∵a1+2a2+3a3+…+na n=（n﹣1）S n+2n（n∈N*），①=（n﹣2）S n﹣1+2（n﹣1）．②∴当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1①﹣②得na n=（n﹣1）S n﹣（n﹣2）S n﹣1+2，∴na n=n（S n﹣S n﹣1）﹣S n+2S n﹣1+2∴na n=na n﹣S n+2S n﹣1+2．+2=0，即S n=2S n﹣1+2，∴﹣S n+2S n﹣1+2）．∴S n+2=2（S n﹣1∵S1+2=4≠0，∴S n+2≠0，﹣1∴=2，故{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．（3）b n===（4n﹣7）•，T n=（﹣3）+1•+5•+…+（4n﹣7）•，T n=（﹣3）•+1•+5•+…+（4n﹣7）•，两式相减，可得T n=﹣+4（++…+）﹣（4n﹣7）•=﹣+4•﹣（4n﹣7）•，化简可得，T n=1﹣，T n＞0，即有4n+1＜2n，可得n=1，2，3，4不成立，n≥5成立．则满足T n＞0的最小自然数n的值为5．。