一元二次方程中的阅读理解题剖析
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0〕。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a〕2=b〔b≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0〕的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a〕2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，那么原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：假设ab=0，那么 a=0 或b=0。
步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的考前须知：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②假设b2－4ac＜0，那么方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3〔x＋4〕中，不能随便约去 x＋4。
专题21.1一元二次方程-2022-2023学年九年级数学上册同步题典解析版人教版
2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.1一元二次方程【名师点睛】1.一元二次方程（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2.一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax ²叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．一次项系数b 和常数项c 可取任意实数，二次项系数a 是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．3.一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【典例剖析】【知识点1】一元二次方程的定义【例1】（2020秋•安居区期中）已知方程2(2)(3)10m m x m x -+-+=．（1）当m 为何值时，它是一元二次方程？（2）当m 为何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题．【解答】解：（1）Q 方程2(2)(3)10m m x m x -+-+=为一元二次方程，\2220m m ì=í-¹î，解得：m =，所以当m 或时，方程方程2(2)(3)10m m x m x -+-+=为一元二次方程；（2）Q 方程2(2)(3)10m m x m x -+-+=为一元一次方程，\2030m m -=ìí-¹î或21(2)(3)0m m m ì=í-+-¹î或0m =，解得，2m =或1m =±，0，故当m 为2或1±，0时，方程方程2(2)(3)10m m x m x -+-+=为一元一次方程．【变式1】（2022春•江都区月考）下列方程中是一元二次方程的是( )A ．210x -=B ．35x x +=C ．6x y +=D ．2230x x --=【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：A ．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B ．该方程是分式方程，故本选项不符合题意；C ．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D ．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意．故选：D ．【知识点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）2(21)(32)2x x x -+=+；（2）2)(3)x x x +=+．【分析】各方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【解答】解：（1）化简后为2540x x +-=，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为4-；（2）化简后为22610x x ++=，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．【变式2】（2021·江苏常州·九年级期中）将（x ＋3）2﹣3x ＝5x 2化为一元二次方程的一般式为_________【答案】4x 2-3x -9=0【解析】【分析】去括号、移项，合并同类项，即可得出答案．【详解】解：（x +3）2-3x =5x 2，x 2+6x +9-3x -5x 2=0，-4x 2+3x +9=0，4x 2-3x -9=0，即一般式是4x 2-3x -9=0，故答案为：4x 2-3x -9=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，注意：一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0，（a 、b 、c 为常数，a ≠0）【知识点3】一元二次方程的解【例3】（2021秋•金湖县期末）若a 为方程2240x x +-=的解，则228a a +-的值为( )A ．2B ．4C ．4-D ．12-【分析】将x a =代入方程2240x x +-=，求出224a a +=，再代入所求代入式即可．【解答】解：a Q 为方程2240x x +-=的解，2240a a \+-=，224a a \+=，228484a a \+-=-=-，故选：C ．【知识点4】列一元二次方程【例4】根据下列问题中的条件，列出关于x 的方程，并将其化为标准形式．（1）一个长方形的长比宽多2，面积是120，求这个长方形的长x ；（2）一个直角三角形的两条直角边之和为7，它的面积为6，求这个三角形的其中一条直角边长x ；（3）某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，求这个小组的同学数x ；（4）一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手10次，求这组同学数x ；（5）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1，在温室内，前侧内墙保留3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道，要使蔬菜种植区域的面积为2288m ，求矩形温室的长x ．【分析】（1）设长为x ，则宽为2x -，利用长乘以宽等于面积即可列出方程；（2）设出直角三角形的一边长并表示出另一直角边长，利用三角形的面积公式列出方程即可；（3）设这个小组的同学数为x 人．根据互赠贺年卡一张，则x 人共赠贺卡(1)x x -张，列方程即可；（4）设有x 人，根据每两人都握手一次手，有人共握手10次，列出方程即可；（5）设矩形温室的长为xm ，则为宽2x m ，根据矩形的面积计算公式即可列出方程．【解答】解：（1）设长为x ，则宽为2x -，根据题意得：(2)120x x -=，化为一般形式为221200x x --=；（2）Q 直角三角形的两条直角边长的和为7，设一条直角边长为x ，\另一条直角边长为7x -，Q 该直角三角形的面积为6，\(7)62x x -=，化为一般形式为27120x x -+=；（3）设这个小组的同学数为x 人．根据题意，得(1)90x x -=，化为一般形式为：2900x x --=；（4）设有x 人参加聚会，根据题意得：(1)210x x -=´，化为一般形式为：2200x x --=；（5）设矩形温室的长为xm ，则宽为2x m ，根据题意，得(2)(4)2882x x -×-=，化为一般形式为：285600x x --=．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•镇海区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．3（x +2）＝8B ．3x 2+6x ＝8C ．ax 2+bx +c ＝0D ．＝1【分析】根据一元二次方程的定义，即可判断．【解答】解：A 、3（x +2）＝8，是一元一次方程，故A 不符合题意；B 、3x 2+6x ＝8，是一元二次方程，故B 符合题意；C 、ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数，a ≠0）是一元二次方程，故C 不符合题意；D 、＝1是分式方程，故D 不符合题意；故选：B ．2．（2022春•琅琊区校级月考）若（m +3）x |m |﹣1﹣（m ﹣3）x ﹣5＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．±2【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，解得：m ＝3，故选：A ．3．（2022春•镇海区校级期中）将方程2x 2+7＝4x 改写成ax 2+bx +c ＝0的形式，则a ，b ，c 的值分别为（ ）A ．2，4，7B ．2，4，﹣7C ．2，﹣4，7D ．2，﹣4，﹣7【分析】根据任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．【解答】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，故选：C．4．（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（ ）A．2x2+5x﹣7＝0B．2x2+5x+1＝0C．2x2﹣5x+1＝0D．x2﹣7x﹣1＝0【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．【解答】解：（x+3）（2x﹣1）＝﹣4，2x2﹣x+6x﹣3+4＝0，2x2+5x+1＝0，故选：B．5．（2021秋•大化县期中）下列方程中，一元二次方程的个数为（ ）（1）2x2﹣3＝0；（2）x2+y2＝5；（3）x（x+3）＝x2﹣1；（4）x2+＝2．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：（1）是一元二次方程；（2）含有2个未知数，不是一元二次方程；（3）方程整理后可得3x＝﹣1，是一元一次方程；（4）该方程是分式方程，不是一元二次方程．所以一元二次方程的个数为1个．故选：A．6．（2021秋•天津期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则m的值是（ ）A．5B．﹣5C．﹣4D．4【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣5＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣5＝0得：1+m﹣5＝0，解得：m＝4．故选：D．7．（2022•新化县模拟）若a是x2﹣3x﹣2022＝0的一个根，则a2﹣3a+1的值是（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝2022，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a是x2﹣3x﹣2022＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣2022＝0，∴a2﹣3a＝2022，∴a2﹣3a+1＝2022+1＝2023．故选：D．8．（2022春•杭州期中）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m﹣3的值等于（ ）A．﹣2B．0C．﹣1D．1【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，再把2m2﹣2m﹣3变形为2（m2﹣m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴2m2﹣2m﹣3＝2（m2﹣m）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．故选：C．9．（2022春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（ ）A．﹣2B．2C．0D．±2【分析】把x＝1代入方程中进行计算可得m＝±2，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝1代入（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0中可得，（m﹣2）﹣2+m2﹣m＝0，解得：m＝±2，∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣2，故选：A．10．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．依题意得：3（x﹣1）x＝6210．故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2020秋•阜平县期中）将方程8x＝3x2﹣1化为一般形式为 3x2﹣8x﹣1＝0 ．【分析】方程移项，化为一般形式即可．【解答】解：方程整理得：3x2﹣8x﹣1＝0．故答案为：3x2﹣8x﹣1＝0．12．（2019秋•东台市月考）一元二次方程3x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是 ﹣3 ．【分析】根据一元二次方程得出即可．【解答】解：一元二次方程3x2﹣3x﹣2＝0的一次项系数是﹣3，故答案为：﹣3．13．（2021秋•黔西南州期中）已知方程（m﹣2）+x＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ﹣2 ．【分析】根据一元二次方程的定义得到m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，然后求解即可得出答案．【解答】解：∵方程（m﹣2）+x＝0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0．解得，m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（2019秋•岳阳月考）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3000元降到了2400元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 3000（1+x）2＝2400 ．【分析】设平均每月降价的百分率为x，根据售价的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每月降价的百分率为x，依题意，得：3000（1﹣x）2＝2400．故答案为：3000（1﹣x）2＝2400．15．（2020秋•扬州期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是 a ≥1且a≠3 【分析】如果方程是一元二次方程，那么a﹣3≠0，同时有意义，a≥1，可以确定a的取值范围．【解答】解：∵方程是一元二次方程，∴a﹣3≠0，得a≠3，又∵二次根式有意义，∴a﹣1≥0，得a≥1，∴a≥1且a≠3．故本题的答案是a≥1且a≠3．16．（2020•新北区模拟）学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为 x（16﹣2x）＝30 ．【分析】可设宽为x m，则长为（16﹣2x）m，根据等量关系：面积是30m2，列出方程即可．【解答】解：设宽为x m，则长为（16﹣2x）m．由题意，得x（16﹣2x）＝30，故答案为：x（16﹣2x）＝30．三．解答题（共6小题）17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣5）2＝36；（2）3y（y+1）＝2（y+1）．【分析】（1）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数；（2）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数．【解答】解：（1）一元二次方程（x﹣5）2＝36的一般形式是：x2﹣10x﹣11＝0，二次项系数是1、一次项系数是﹣10，常数项是﹣11；（2）一元二次方程3y（y+1）＝2（y+1）的一般形式是：3y2+y﹣2＝0，二次项系数3、一次项系数是1，常数项是﹣2．18．下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1）；（2）2x2﹣3x＝x（x﹣3）；（3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3；（4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5）．【分析】（1）（2）（3）（4）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则把原方程化简，根据一元二次方程的定义判断．【解答】解：（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1），整理得，3p﹣5＝0，不是一元二次方程；（2）2x2﹣3x＝x（x﹣3），整理得，x2＝0，是一元二次方程；（3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3，整理得，z2﹣z＝0，是一元二次方程；（4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5），整理得，2x3﹣6x2+16x＝0，不是一元二次方程．19．关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程，∴k2﹣1≠0，∴k≠±1，所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程；（2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程，∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0，∴k＝﹣1，∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程．20．（2020秋•城关区校级月考）当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0．（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出k﹣5＝0且k+2≠0，求出即可；（2）根据一元二次方程的定义得出k﹣5≠0，求出即可．【解答】解：（1）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，当k﹣5＝0且k+2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5，所以当k＝5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元一次方程；（2）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，当k﹣5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5，所以当k≠5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元二次方程．21．（2016秋•海门市校级期中）已知a2﹣3a+1＝0，求下列各式的值：（1）2a2﹣6a﹣3；（2）a2+a﹣2；（3）a﹣a﹣1．【分析】（1）由已知条件变形得到a2﹣3a＝﹣1，再把2a2﹣6a﹣3变形为2（a2﹣3a）﹣3，然后利用整体代入的方法计算；（2）把已知等式两边除以a得到a+＝3，再利用完全平方公式得到a2+a﹣2＝（a+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算；（3）利用完全平方公式变形得到a﹣a﹣1＝±，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）∵a2﹣3a+1＝0，∴a2﹣3a＝﹣1，∴2a2﹣6a﹣3＝2（a2﹣3a）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5；（2）∵a2﹣3a+1＝0，∴a+＝3，∴a2+a﹣2＝（a+）2﹣2＝32﹣2＝7；（3）a﹣a﹣1＝＝±＝±．22．（2021秋•赵县月考）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．（1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x；（2）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生132条消息．【分析】（1）设每月印刷的增长率都为x，根据该印刷厂3月份及5月份印刷书籍的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解；（2）每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．【解答】解：（1）设每月印刷的增长率都为x，根据题意得：50（1+x）2＝72．化为一般形式为25x2+50x﹣11＝0；（2）设有x个好友，依题意得x（x﹣1）＝132，化为一般形式为x2﹣x﹣132＝0．。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程(解析版)
第二章一元二次方程一、单选题1.下列各方程中，一定是关于X的一元二次方程的是（）A. 2x2+3=2x （5+x）B, ax2+c=0C.（a+1）炉+6升1=0D. （^2+l） x2- 3x+l=0【答案】D【解析】4.*+3=M5+、）整理得，10x-3=0,故不是一元二次方程；B.当a=0时，。
炉+。
=0不是一元二次方程：C.当a=-l时，（什1濡+6升1=0不是一元二次方程：D. aa2>0,二届+1 翔,匚d+lM -3x+l = 0 是一元二次方程：故选D.2.关于工的一元二次方程（。
-1）/+»/_] = 0的一个根是0,则。
值为（）A. 1B. -1C. 1 或—1D. i【答案】B【解析】把0代入原方程，再根据原方程是一元二次方程，得到关于a的方程及不等式，解之即可.解：根据题意得：解得：a=-\.故选：B.3.下列说法不正确的是()A.方程工2=%有一根为0B.方程/一1=0的两根互为相反数C.方程(x-l)2-l = 0的两根互为相反数D.方程N—x + 2 = 0无实数根【答案】C【解析】解：A./=x，移项得：x2—x = 0,因式分解得：x(x-l)=0,解得x=0或x=l,所以有一根为0,此选项正确;B. ?-1 = 0,移项得：W=i,宜接开方得：x=l或x=-l,所以此方程的两根互为相反数，此选项正确:C. *-1)2-1 = 0,移项得：(X -1>=1,直接开方得：x-l=l或解得x=2或x=0,两根不互为相反数，此选项错误:D./ 7+2 = 0,找出a=l, b=-l, c=2,则二=l-8=-7V0,所以此方程无实数根，此选项正确.所以说法错误的选项是C.故选C.4.用配方法解一元二次方程2/—3x —1=0,配方正确的是().A. 3 工一一4)1716B.3丫X- -4J【答案】A【解析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.解：2X 2-3X -1 = 0移项得2/—3x = l ，,3 1二次项系数化1的厂--A = 一，3 配方得Y-二X + 2 1716故选：A本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边：（2）把二次项的 系数化为1：（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.5 .关于x 的一元二次方程（m-l ）x?-2mx + m+l = 0,下列说法正确的是（）.【答案】C【解析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案.（m-l ）x 2 - 2mx+ m + l = O 的判别式为： X —— 13 7=-+ 3 4;A.方程无实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.方程的根无法确定△二（一2〃。
解读一元二次方程中的材料阅读题
解读一元二次方程中的材料阅读题材料阅读题是近年来中考的热点题型，旨在考查学生的自学能力、探究能力以及类比创新能力等.本文将涉及一元二次方程知识的材料阅读题采撷数例，供学习鉴赏.一.规律探究型例1（北京海淀） 已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>； （2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.【解读】：只要准确地解答出所给的四个已知方程，就不难求解第（2）小题.而在解（四个）已知方程时，同学们可利用公式法求解，但若能将左边分解因式解之，则不失为一种快捷方法.【解答】：（1）<1>()()x x +-=110，所以x x 1211=-=，<2>()()x x +-=210，所以x x 1221=-=，<3>()()x x +-=310，所以x x 1231=-=，…… <n>()()x n x +-=10，所以x n x 121=-=，（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.二.解题方法型例2（晋江）.阅读下面的例题：解方程：220x x --=解：（1）当0x ≥时，原方程化为：220x x --=，解得12,x = 21x =-（不合题意，舍去）（2）当0x <时，原方程化为：220x x +-=解得：11x = （不合题意，舍去），22x =-所以， 原方程的根是：122,2x x ==-.请参照例题解方程：2330x x ---=，则此方程的根是_______.【解读】：根据范例提供的信息可知，求解这类一次项带有绝对值符号的一元二次方程的策略是：先利用分类思想（分绝对值符号内的式子大于等于零与小于零两种情形讨论）去掉绝对值符号，再解之.【解答】：（1）当30x -≥ 即3x ≥时，原方程可化为：20x x -=解得120,1x x ==（这都与3x ≥矛盾，因此应舍去）（2）当30x -<，即3x <时，原方程可化为：260x x +-=解得：13,x =- 22x =因此，原方程的根是 13,x =- 22x =三.结论猜想型例3 (广东茂名).先阅读,再填空解题:(1) 方程2120x x --=的根是123,4x x =-=, 则12121,12x x x x +=⋅=-.(2) 方程22730x x -+=的根是121,32x x ==, 则121273,22x x x x +=⋅= (3) 方程2310x x -+=的根是1x =____,2x =_____,则12x x +=____,12x x ⋅=_____.根据以上(1) (2) (3)你能否猜出:如果关于x 的一元二次方程20(0mx nx p m ++=≠,且m 、n 、p 为常数）的两个实数根是1x 、2x ，那么12x x +与12x x ⋅与系数,,m n p 有什么关系？请写出你的猜想并说明理由.【解读】：仔细观察题中每一个方程的和、积与系数的关系，就容易得出结论：“若方程20mx nx p ++=的两实数根是1x 、2x ，则12n x x m +=-，12p x x m⋅=”.这是一个十分重要的结论，在解决涉及一元二次方程的根与系数的关系的许多题目都要用到它.同学们将在高中专门学习之，其结论的证明需用到分式的计算知识.【解答】：（3）12x x ==，123x x += ，121x x ⋅= 猜想：12n x x m +=- ，12p x x m⋅= 理由：因为 一元二次方程20(0mx nx p m ++=≠且m 、n 、p 为常数）的两个实数根是：1x =， 2x =所以 12x x +==22n n m m -=-‘12x x ⋅==222(4)4n n mp p m m --==.。
一元二次方程难题解析
一元二次方程难题解答 （一） 1.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式)12)((2+--mm m m 的值是______解：m 是方程22=--x x 的一个根∴022=--m m 即22=-m m≠m 方程两边除以m得：021=--mm12=-mm∴4)11(2)12)((2=+⨯=+--mm m m2.已知ax =是方程120162=+-x x 的一个根，求代数式12016140312222+-+-a a a a 的值 解：ax =是方程120162=+-x x 的一个根∴0120162=+-a a ∴120162-=-a a 或aa 201612=+ 12016140312222+-+-a a a a =aa a a a 2016201614032222-++-a a a a -++-=1)2016(223.关于m 的方程02722=--m n nm 的一个根为2，求22-+n n 的值。
解：由题意得：2=m 把2=m 代入方程得：22742=--n n整理得：1722=+-n n 方程两边除以n得：0172=+-nn721=+nn方程两边平方得：281222=++n n2622=+∴-n n4.已知36)41(222=-+mm ，求m m 1-的值。
解： 36)41(222=-+mm64122±=-+∴mm10122=+∴mm 或2122-=+∴mm （舍去）102)1(2=+-∴mm 即8)1(2=-mm221±=-∴mm5.用换元法解下列方程： 解：设yx =-12，则原方程为32=-y y)3(=-y y3021==∴y y当0=y 时，12=-x1±=x 当3=y 时，312=-x 2±=x∴原方程的解为22114321-==-==x x x x6.设yx 、为实数，求542222+-++y y xy x 的最小值，并求出此时x与y的值。
专题06 一元二次方程(解析版)
专题06 一元二次方程一、考向分析一元二次方程的解法与一元二次方程的实际应用是中考考查的重点内容，一元二次方程的解法常以选择题、填空题的形式出现，一元二次方程的实际应用多出现在以社会热点为题材的解答题中．二、思维导图三、最新考纲1．理解一元二次方程的概念．2．熟练掌握一元二次方程的解法．3．会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用． 4．会列一元二次方程解决实际问题.四、考点强化【考点总结】一、一元二次方程的概念1．定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 【注】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ① 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ② 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③ 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2． 2．一般形式一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程． 2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．【考点总结】二、一元二次方程的解法一、直接开方法解一元二次方程 1、直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.2、能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程a x =2，可直接开平方求解. 若0>a ，则a x ±=；表示为a x a x -==21,，有两个不等实数根；若0=a ，则0=x ；表示为021==x x ，有两个相等的实数根； 若0<a ，则方程无实数根．①形如关于x 的一元二次方程()()0,02≥≠=+m a m n ax ，可直接开平方求解，两根是amn x a m n x --=+-=21,。
中考试卷中“一元二次方程”试题的分析——以2009-2014年兰州市中考
２ ａ
（ ２ ０ １ ４ ・ 兰州 ・ 第２ １ 题（ ２ ） ・ ５ 分） 当ｘ 为何值时 ， 代数式ｘ ‘ 一 ｘ 的
值等于 １ ．
ａ
‘
‘
ａ
（ ２ ０ １ ３ ・ 兰州 ・ 第２ ｌ 题（ ２ ） ・ ４ 分） 解方程 ： Ｘ ￣ － ３ Ｘ 一 １ － ０ ．
摘 要 ：为 了 了解 中考 数 学“ 一 元 二 次 方程 ” 试题的命题特点和规律 ． 本 文主 要 对２ ０ ０ ９ — ２ ０ １ ４ 年 兰 州 市 中 考数 学试 题 进 行 了对 比分析 ， 从 而得 到 在 各 地 中考 试 题 中 ， 一 元 二 次 方程 的 定 义 ， 根 的判 别 式 ， 根 与 系数 的 关 系的 考 查 多 以 选择 题 和 填 空题 的 形 式 出 现， 而 方 程 的 解 法 及 其 应 用 多以 解 答题 的 形 式 出现 ， 试题难度不 大， 题量约３ － ５ ： ｇ ［ ， 分 值 约 占６ ％～ １ ０ ％， 并 对 常 考 内容进 行 了归 纳 整
以在 牢 记 一元 二 次 方 程 ａ ｘ ‘ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ＝ （ ａ ≠０ ） 根 的情 况 与 根 的 判 别 式ｂ ‘ － ４ ａ ｃ 的关 系 ｂ ‘ － ４ ａ ｃ ＞ ｏ 昔 一元 二 次 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数
（ ２ ０ １ ２ ・ 兰州 ・ 第２ １ 题・ ６ 分 ） 已知 ｘ 是 一 元 二 次方 程 ｘ ‘ 一 ２ ｘ ＋ １ ＝ ０ 的根 ． 求 代 数 式
１ ） ｘ ２ ＋ ｘ ＋ ｌ ： Ｏ 有 实 数 根 则 ｍ的取 值 范 围是 备考 指 导 ： 这 类 问 题 往往 是 与 一 元 二 次方 程 的定 义 相 结 合 考 查 的 ．而 考 生 易把 二 次 项 系 数 不 为零 这 一 隐 含 条件 忽 略 ， 所
初中数学 一元二次方程 试卷分析
《一元二次方程》试卷分析课后反思考试，是数学教学的一个重要组成部分，是检测教学效果的有效手段。
试卷的作用是多方面的，它不仅起到评价反馈的作用，而且更是学生查漏补缺、巩固提高的重要途径。
试卷讲评是考试的一个不容忽视的重要环节，有的放矢地进行试卷评析，可查出教与学的“病症”，以便“对症下药、妙手回春”；也可以总结教与学的成功经验。
这对强化数学教学效果，进一步提高教学质量和促进教学改革都具有重要意义。
在上完《一元二次方程》这一章后我利用晚自修的时间进行了一次单元测试，试卷分析讲究趁热打铁，于是我利用晚上的时间加班把试卷改了出来，第二天一早匆忙地登记好成绩，就进行了讲解，时间有点仓促。
本节课我的流程是这样的：发试卷说明考试的总体情况表扬90分以上的同学自我纠错按考点进行试卷分析。
现将教学反思如下：1、试卷讲评及时：讲评及时是上好讲评课的基础。
因此，一般平时试卷的改阅我一般都及时完成，即使加班也要完成。
及时评讲、及时反馈，效果才会显著。
2、让学生先自我纠错：很多学生都有这样的体验，考试后总能找到一些自己会但没有得分的题目，可以通过自查解决这类问题，作为教师要善于引导学生去分析自己丢失分数的原因，总结经验教训，要求学生严格要求自己，不要过分地宽容自己的失误，以利于在平时养成周密细致的品质。
因此我一般在分析试卷前都会要求学生先进行自查。
但对于生与生之间的互相纠错做的不够。
一般来说，对于在自查过程中自身解决不了或比较模糊的地方，学生之间有着强烈的交流欲望，这时候教师如果因势利导，组织好生生合作，一些相对简单的问题就可以在学生的互动中解决了。
在自查和互查过程中，教师要进行必要的参与，一方面指导解决学生的困惑，引导学生在互查中不仅仅要知其然，还要知其所以然，善于发觉错误的原因和知识的根源，另一方面，从学生的交流过程中，收集有益信息，弥补自己在试卷分析时的疏漏，为后面的重点讲解做更充分的准备。
所以这一点以后我会努力做得更细。
(完整版)一元二次方程经典习题及深度解析
一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能： 一、填空题：1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④5232=+x x ⑤ 412=+x x⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。
⑧⑦ ◆答案：⑤④③①,,,◆解析：判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件 ①含有一个未知数；②未知数的最高次数是③;2整式方程．若同时符合这三个条件的就是一元次方程，否则缺一不可．其中方程②含两个未知数,不符合条件①;方程⑥不是整式方程，lil 不符合条件③；方程⑦中未知数的最高次数是3次,不符合条件②；方程⑧经过整理后;次项消掉，也不符合条件②． 2．已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a◆答案：5-=/◆解析：方程12)5(2=-+ax x a 既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数 的最高次数是2，因此，二次项系数,05=/+a 故.5-=/a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程．◆答案：2±◆解析：方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于2的一元二次方程，则二次项系数.042=-k 故.2±=k4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ·◆答案：直接开平方法；配方法；公式法;因式分解法 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ．◆答案：◆解析：此题不可漏掉042≥-ac b 的条件．6．（2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ．◆答案：3.1-◆解析：.4)1(,412,032222=-=+-=--x x x x x 所以.3,121=-=x x7．不解方程,判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ．◆答案：有两个不相等的实数根◆解析：原方程化为,02)26(32=++-x x,04864348234)]26([422>-=-=⨯-+-=-ac b．‘．原方程有两个不相等的实数根．8．(2004·锦州市）若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 ．◆答案：425≤k ◆解析：‘．．方程有实根，⋅≤∴≥-=-∴425,045422k k ac b 9．已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．◆答案:43≥◆解析：.．‘方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．⋅≥∴≥-=-+-++=--+=-∴43,0152016164144)2(4)12(42.2222m m m m m m m m ac b 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ．◆答案:无实根 ◆解析:,)2(4)44(4162044)4)(1(4)2(422242422222+-=++-=---=++--=-k k k k k k k k k ac b∴<-∴>+∴≥,04,02,0222ac b k k 原方程无实根． 二、选择题：11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立,则a 的值为（ ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2◆答案:C◆解析：,341441)2(222++=-++=-+x x x x x a 的值使得,3,341)2(4222=∴++=-+=++a x x x a x x 故C 正确．12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ）3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D◆答案：C ◆解析:方程x x 332-=-化为.0332=-+x x 故.3.3.1-===c b a 故C 正确． 13．方程02=+x x 的解是( )x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D◆答案：C◆解析:运用因式分解法得,0)1(=+x x 故.1,021-==x x 故C 正确．14．（2006·广安市)关于X 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k ◆答案：D◆解析：由题意知⎩⎨⎧>+=/.044,0k k 解得1->k 且.0=/k15．(2006·广州市）一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为（ )3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D◆答案：C16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法①.C 用直接开平方法，②④用公式法,③用因式分解法 ①.D 用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 ◆答案:D17．(2004·云南省）用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为（ ）9)4.(2=-x A 9)4.(2=+x B 16)8.(2=-x C 57)8.(2=+x D ◆答案：B18．一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( ）2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k◆答案:B◆解析:‘．‘方程有两个不相等的实根4)2(4,22--=-∴ac b(1,048)1()>-=-⨯-k k 2<∴k 且,1=/k 故B 正确．19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( ）09124.2=++x x A 032.2=-+x x B 02.2=++x x C 072.2=-+x x D ◆答案：A◆解析:只有A 的判别式的值为零，故A 正确．20．(2004·大连市）一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( ） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根 ◆答案:D◆解析：∴<-=⨯-=-,012442422ac b 方程没有实数根，故D 正确 21．下列命题正确的是( )x x A =22.。
一元二次方程中的阅读理解题剖析
一元二次方程中的阅读理解题剖析曾向根近几年，阅读理解题越来越多地出现在各地中考试卷上，阅读材料或取自教科书，或取自课外材料，内容丰富多彩，篇幅一般较长，本文在各地中考题中，就考查一元二次方程知识的阅读理解题精选四例，供同学们学习参考。
一、学用新的知识题例1 阅读材料：已知方程，且，求的值。
解：由，及可知，又可变形为根据和的特征、是方程的两个不相等的实数根则，即根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答。
已知：，且，求的值。
剖析本例先给出一种求值的解答过程，再要求完成类似问题的解答过程。
很容易发现所阅读的解题过程中通过变形，再利用韦达定理求解，达到解答成功。
同学们可以利用类比的方法来求出的值，在书写解题过程时应灵活变换，不能生搬硬套。
略解：由得根据与的特征且与n是方程的两个不相等的实数根二、判断正误纠错题例2 阅读下题的解答过程，请判断其是否有错，若有错误，请你写出正确解答。
已知m是关于x的方程的一个根，求m的值。
解：把x=m代入原方程，化简得两边同除以m，得，把m=1代入原方程检验，可知m=1符合题意。
答：m的值是1。
剖析本例是考查二次项系数含有参数的方程根的意义及方程同解变形知识和分类讨论的数学思想方法。
在中，m可以为零，两边同除以m，便失去一根；由知m是1的平方根，故由可得因此，，，并分别代入原方程检验，均符合题意。
略解：本题解答有错误，正确的解法是：把x=m代入原方程并化简得即故，，把m的三个值分别代入原方程检验，均符合题意。
答：m的值是0，1，。
三、归纳数学思想方法题例3 阅读材料，解答问题。
为解方程，我们可以将视为一个整体，设则原方程可化为解得1，当y=1时，即当y=4时，即原方程的解为，，，。
解答问题：（1）填空：在原方程得到方程(1)的过程中，利用______________法达到降次的目的，体现了_______________的数学思想。
（2）解方程。
剖析初中数学渗透的数学思想有分类讨论思想，特殊到一般的思想、数形结合思想、整体性思想……，本例利用换元法达到降次的目的，体现的是转化思想。
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一元二次方程中的阅读理解题剖析
曾向根
近几年，阅读理解题越来越多地出现在各地中考试卷上，阅读材料或取自教科书，或取自课外材料，内容丰富多彩，篇幅一般较长，本文在各地中考题中，就考查一元二次方程知识的阅读理解题精选四例，供同学们学习参考。
一、学用新的知识题
例1 阅读材料：已知方程，且，求的值。
解：由，及
可知，
又
可变形为
根据和的特征
、是方程的两个不相等的实数根
则，即
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答。
已知：，
且，求的值。
剖析本例先给出一种求值的解答过程，再要求完成类似问题的解答过程。
很容易发现所阅读的解题过程中通过变形，再利用韦达定理求解，达到解答成功。
同
学们可以利用类比的方法来求出的值，在书写解题过程时应灵活变换，不能生搬硬套。
略解：由得
根据与的特征且
与n是方程的两个不相等的实数根
二、判断正误纠错题
例2 阅读下题的解答过程，请判断其是否有错，若有错误，请你写出正确解答。
已知m是关于x的方程的一个根，求m的值。
解：把x=m代入原方程，化简得
两边同除以m，得，
把m=1代入原方程检验，可知m=1符合题意。
答：m的值是1。
剖析本例是考查二次项系数含有参数的方程根的意义及方程同解变形知识和分类讨论的数学思想方法。
在中，m可以为零，两边同除以m，便失去一根；
由知m是1的平方根，故由可得
因此，，，并分别代入原方程检验，均符合题意。
略解：本题解答有错误，正确的解法是：
把x=m代入原方程并化简
得
即
故，，
把m的三个值分别代入原方程检验，均符合题意。
答：m的值是0，1，。
三、归纳数学思想方法题
例3 阅读材料，解答问题。
为解方程，我们可以将视为一个整体，设
则原方程可化为
解得1，
当y=1时，
即
当y=4时，
即
原方程的解为，，，。
解答问题：（1）填空：在原方程得到方程(1)的过程中，利用______________法达到降次的目的，体现了_______________的数学思想。
（2）解方程。
剖析初中数学渗透的数学思想有分类讨论思想，特殊到一般的思想、数形结合思想、整体性思想……，本例利用换元法达到降次的目的，体现的是转化思想。
解方程可以设，则原方程可化为
解得，（不合题意，舍去）
由可得解是：，
故方程的解是，
答案：（1）换元；转化；（2），
四、探索解的规律题
例4 阅读下列材料：关于x的方程：
的解是，；
（即）的解是，；
的解是，；
的解是，
……
由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解。
请用这个结论解关于x的方程：
剖析此题揭示了数学发现的一般思维过程，从简单情形入手，通过若干特例的分析、观察、归纳、发现其中的规律，并利用好这个规律来解题。
通过题目中所给材料进行观察，我们发现每个方程左右两边在形式上完全相同，并且两个解恰好是方程右边的两项。
要特别抓住“方程左边是未知数与其倒数的倍数的和，方
程的右边的形式与左边完全相同这个特征”，因此在解方程
时，必须将方程左边化成的形式，右边化成的形式，这样才使方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，并且方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，只有这样才能直接得到方程的解。
略解：原方程可化为：
由以上结论可知：
，求
，。