2020版高考数学二轮复习第二部分专题二数列第1讲等差数列与等比数列练习文含解析

第1讲 等差数列与等比数列
A 级 基础通关
一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )
A ．a n ＝2n －5
B ．a n ＝3n －10
C ．S n ＝2n 2－8n
D ．S n ＝12
n 2－2n 解析：设首项为a 1，公差为d .
由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2. 所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，
S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2
×2＝n 2－4n . 答案：A
2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2＝2，则{a n }前10项的和等于( )
A.1－2103
B ．－1－2103
C ．210－1
D ．1－210 解析：由题意得，a n ＋1＋2a n ＝0，则a n ＋1a n
＝－2，即数列是公比为－2的等比数列，又a 2＝2，所以a 1＝－1，所以{a n }前10项的和等于S 10＝a 1（1－q 10）1－q ＝－1－2103
. 答案：B
3．(2019·惠州一中月考)如果等差数列 a 1，a 2，…，a 8的各项都大于零，公差d ≠0，则( )
A ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5
B ．a 1a 8＜a 4a 5
C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5
D ．a 1a 8＞a 4a 5
解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，所以排除A 、C.
又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 2
1＋7a 1d ，
所以a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 21＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8.
答案：B
4．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( )
A ．－24
B ．－3
C ．3
D ．8
解析：由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，
由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，
解得d ＝－2或d ＝0(舍去)．
所以S 6＝6×1＋6×5×（－2）2
＝－24. 答案：A
5．(2019·佛山一中检测)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )
A ．30
B ．20
C ．10
D ．5或40
解析：由题设得(a 4－2)2＝a 2a 6.
因为{a n }是等差数列，且a 1＝1，d ≠0，
所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝3.
从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30.
答案：A
二、填空题
6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．
解析：因为a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，
所以a 1＝－4，d ＝1，
所以a 5＝a 1＋4d ＝0，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.
令a n ＜0，则n ＜5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正， 所以S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10.
答案：0 －10 7．数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 3＝15
，则a 1＝________． 解析：易知a n ≠0，且a n ＋1＝
a n 2a n ＋1
， 所以1a n ＋1－1a n ＝2，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是公差为2的等差数列． 由a 3＝15，知1a 3
＝5，
所以1a 1
＋2×2＝5，则a 1＝1. 答案：1
8．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *
)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________．
解析：由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *
)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，
所以{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a n ＋1＝3n ，a n ＝3n
－1.
所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，
所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100（1＋100）2＝5 050.
答案：5 050
三、解答题
9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.
(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；
(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．
解：(1)设{a n }的公差为d .
由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.
由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.
于是a 1＝8，d ＝－2.
因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .
(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，
S n ＝n （n －9）d 2.
由a 1＞0知d ＜0，故S n ≥a n 等价于n 2
－11n ＋10≤0，
解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．
10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：
S n ＜163.
(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，
因为a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝a 1－3，
a 3＝（a 2＋1）－3，
即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝－4，a 1q 2－a 1q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，
q ＝12. 所以a n ＝a 1q n －1＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .
(2)证明：因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a 2n ＝14
， 所以数列{b n }是以b 1＝a 2＝4为首项，14
为公比的等比数列． 所以S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14
＝163·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＜163. B 级 能力提升
11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1
＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3
(n ∈N *)的最小值为( ) A ．4
B ．3
C ．23－2
D.92 解析：依题意a 23＝a 1a 13，即(1＋2d )2＝1＋12d ，
解得d ＝2.
因此a n ＝2n －1，S n ＝n 2.
则2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2（n ＋1）×
9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时取得最小值4. 答案：A
12．(2019·河北名校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.
(1)求{a n }，{b n }的通项公式；
(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n .
解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6，
所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，所以b 1＝1.
因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列，所以b n ＝2
n －1.
所以b 3＝4，因为a 1b 3＝12，所以a 1＝3，
因为a 2＝6，数列{a n }是等差数列，所以a n ＝3n .
(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1， 所以C n ＋1＝(－1)n ＋12n ，所以C n ＋1C n ＝－2. 又C 1＝－1，所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，
所以T n ＝－1×[1－（－2）n
]1＋2＝－13[1－(－2)n ]＝13
[(－2)n －1]．。