【高考核动力】高考数学 2-3函数的奇偶性与周期性配套作业 北师大版

【高考核动力】2014届高考数学 2-3函数的奇偶性与周期性配套作业 北师大版1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |【解析】 根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A 非奇非偶的增函数；B 是偶函数且是减函数；C 是奇函数且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；D 中函数可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，易知是奇函数且是增函数，故选D.【答案】 D2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a ＞0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2【解析】 由条件f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，f (－2)＋g (－2)＝a －2－a 2＋2，即－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，由此解得g (2)＝2，f (2)＝a 2－a －2，所以a ＝2，f (2)＝22－2－2＝154，所以选B. 【答案】 B3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2012)＋f (2013)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2012)＋f (2013)＝f (671×3－1)＋f (671×3)＝f (－1)＋f (0)，而由图象可知f (－1)＝2，f (0)＝0，所以f (2012)＋f (2013)＝2＋0＝2. 【答案】 B4．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．【解析】 ∵f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， ∴f (－1)＝f (1)，即－a ＋1＝b ＋22①.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， ∴－12a ＋1＝b ＋43②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4. ∴a ＋3b ＝－10. 【答案】 －105．已知函数f (x )＝x 2＋ax(a ≠0，常数a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由． 【解】 当a ＝0时，f (x )＝x 2， 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．课时作业【考点排查表】1．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝x ·f (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④【解析】 ∵f (x )的定义域为R ，∴f (|－x |)＝f (|x |)， ∴y ＝f (|x |)是偶函数；令F (x )＝f (－x )， 则F (－x )＝f (x )＝－f (－x )＝－F (x )， ∴F (x )是奇函数，∴②是奇函数； 令M (x )＝x ·f (x )，则M (－x )＝－x ·f (－x )＝x ·f (x )＝M (x )， ∴M (x )是偶函数；令N (x )＝f (x )＋x ，则N (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x ＝－[f (x )＋x ] ＝－N (x )，∴N (x )是奇函数，故②、④是奇函数． 【答案】 D2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 即f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1. 则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.【答案】 A3．(2012·天津高考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R【解析】 函数y ＝log 2|x |为偶函数，且当x ＞0时，函数y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以在(1,2)上也为增函数，选B.【答案】 B4．若奇函数f (x )＝3sin x ＋c 的定义域是[a ，b ]，则a ＋b －c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0D ．无法计算【解析】 由于函数f (x )是奇函数，且定义域为[a ，b ]，所以a ＋b ＝0，又因为f (0)＝0，得c ＝0，于是a ＋b －c ＝0.【答案】 C5．(2013·昆明模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R ，都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x，则f (2013)＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．－12【解析】 由f (x －2)＝－f (x )得f (x －4)＝f (x )，所以函数的周期是4，故f (2013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.【答案】 C6．(2013·山东潍坊模拟)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1<x 1<x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c【解析】 ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，∴y ＝f (x )关于x ＝1对称．又1<x 1<x 2，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，知y ＝f (x )在[1，＋∞)是增函数，又f (－12)＝f (52)，且2<52<3，∴f (2)＜f (52)<f (3)，即b <a <c .故选A.【答案】 A 二、填空题7．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m ＜12.－2≤m ≤2.【答案】 －1≤m ＜128．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，则f (x )的周期为________． 【解析】 由f (x )·f (x ＋2)＝13得f (x ＋2)＝13f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝13f x ＋＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的周期函数． 【答案】 49．(2012·皖南八校第三次联考)关于y ＝f (x )，给出下列五个命题： ①若f (－1＋x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )是周期函数； ②若f (1－x )＝－f (1＋x )，则y ＝f (x )为奇函数；③若函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则y ＝f (x )为偶函数； ④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称； ⑤若f (1－x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称． 填空所有正确命题的序号________．【解析】 对于①，依题意得f (x ＋2)＝f [－1＋(x ＋1)]＝f (x )，因此函数f (x )是以2为周期的函数，①正确．对于②，由条件不能得知该函数是奇函数，如f (x )＝(x －1)3，易知其满足性质f (1－x )＝－f (1＋x )，但它不是奇函数，因此②不正确．对于③，注意到将函数f (x －1)的图象向左平移一个单位长度得到函数y ＝f (x )的图象；由于函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，因此函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，由此可知y ＝f (x )是偶函数，③正确．对于④，注意到函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；将函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位长度得到函数y ＝f (x ＋1)的图象，将函数y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位长度得到函数y ＝f [－(x －1)]＝f (1－x )的图象，因此函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (1－x )的图象关于y 轴对称，④不正确．对于⑤，由条件不能得知函数y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称，如函数f (x )＝(x －1)2，显然满足f (1－x )＝f (1＋x )，但该函数图象并不关于点(1,0)对称，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①③. 【答案】 ①③ 三、解答题10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式． 【解】 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由“当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x ”，可知 当0≤x ≤1时，f (x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，，x ，x ∈[0，，－x ＋2，x ∈[1，2].11．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数p 、q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并证明． 【解】 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q ，从而q ＝0. 因此，f (x )＝px 2＋23x.又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53，∴p ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ，任取x 1＜x 2＜－1，则 f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2＝x 2－x 11－x 1x 23x 1x 2.∵x 1＜x 2＜－1，∴x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＜0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．12．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，是奇函数.x 2＋mx ， x ＜0(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x 2＋2x .于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． (理)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 【解】 (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a . 又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2. 故a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k ， 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0.从而判别式Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13.四、选做题13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求f (0)的值；(2)证明：函数f (x )是周期函数；(3)若f (x )＝x (0＜x ≤1)，求x ∈[－1,1]时，函数f (x )的解析式． 【解】 (1)由f (x )是定义在R 上的奇函数知f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.(2)证明：由已知条件对于任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，且f (2－x )＝f (x )，f (4＋x )＝f (－2－x )＝－f (2＋x )＝－f (－x )＝f (x )，因此函数f (x )为周期函数，周期为4.(3)当－1≤x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝x ，又f (0)＝0， 则当－1≤x ≤1时，f (x )＝x .。