§5.4 电通量 高斯定理
(11)电通量、高斯定理
正是由于库仑定律的平方反比关系， 正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得到穿 无关， 过高斯面的电通量计算结果与 r 无关，所以高斯 定理是库仑定律平方反比关系的反映。 定理是库仑定律平方反比关系的反映。
(11)电通量 高斯定理
四、高斯定理的应用
利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 成立条件： 成立条件：静电场 求解条件：电场分布具有某些对称性： 求解条件：电场分布具有某些对称性： 才能找到恰当的高斯面，使 ∫s E ⋅ dS 中待求 E 的大 才能找到恰当的高斯面， 小为常量，并且能够提到积分号外，从而简便地求 小为常量，并且能够提到积分号外， 分布。 出 E 分布。 球对称性 常见类型： 常见类型： 场源电荷分布 轴对称性 面对称性
E = E = dN / dS
E
S
E
(11)电通量 高斯定理 点电荷的电场线 E =
正 点 电 荷
Q 4πε0r
2
ˆ r
负 点 电 荷
+
(11)电通量 高斯定理 一对等量异号点电荷的电场线
+
(11)电通量 高斯定理 一对等量正点电荷的电场线
+
+
(11)电通量 高斯定理 一对不等量异号点电荷的电场线
电量为q的负电荷有 ε0 电量为 的负电荷有q/ 的负电荷有 条电场线终止于它
q < 0 ⇒Φe < 0
+q
q
(11)电通量 高斯定理 讨论
2）若q不位于球面中心， ） 不位于球面中心， 不位于球面中心
电通量不变。 电通量不变。
3）若封闭面不是球面， ）若封闭面不是球面，
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
高斯定理
s(柱面）
s(上底）
s(下底）
E dS s(柱面）
z en
+
E
+
r h
x
+
+o
+
eenn
y
E dS EdS
S
s ( 柱面）
2π rhE h 0
E 2π 0r
h
0 z
+
+
r h
+
+o
x+
E
en y
例4. 均匀带电圆柱面的电场. R. 沿轴线方向单位长度带电量为
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面
电通量 高斯定理
一.电场的图示法:电力线 想象空间一系列有向曲线，其上任一点： 切线方向 即为该点的电场强度的方向。 电场线相对疏密程度即为该点的电场强度的大小。
AB
二、 电力线的性质：
Eb
b
Ea
a
Ec
c
E
★ 1、不闭合，不中断; 起于正电荷、止于负电荷；
★ 2、任何两条电力线不相交。
三、电力线密度与电场强度的数量关系：
E2rl l 0
r
E 2 0 R2 r R
2 0r r R
n
E
n
n
S1
R
nO
S2
S1
E dS
S1
E S2
ER2
五、高斯定理
在真空中，通过任一闭
合曲面S的电通量e ,等于
该闭合曲面所包围的所有
电荷的代数和除以0 .
数学表达式：
e
s
1 E dS
0
qi
S内
1、高斯定理的引 出(A) 对于孤立点电荷 q
高斯定理
λ
∑q
r
∑ q = λh
φ = ∫∫S EdS cosθ =
φ左底 = φ右底 = 0
φ = φ左底 + φ侧 + φ右底
ε0
h
Q E⊥dS , cosθ = 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ = φ侧 = ∫∫侧 EdS cosθ
侧面上各点的场强 E 大小相等，方向 大小相等， 与法线相同。 与法线相同。
E = E+ − E− = 0
+σ
−σ
E+ E− E+
极板右侧
E = E+ − E− = 0
E+
E−
E−
两极板间
σ σ σ + = E = E+ + E− = 2ε 0 2ε 0 ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
E
n
r
λ
φ = E ∫∫侧 dS
= E 2πrh =
∑q
ε0
λh = ε0
λ E= 2πε 0r
h
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
例3：无限大带电平面，面电荷密度为 σ， ：无限大带电平面， 求平面附近某点的电场强度。 求平面附近某点的电场强度。 解：作底面积为 S ， 高为 h 的闭合圆柱面， 的闭合圆柱面， σ
S
r
ε0 σS 2ES = ε0 σ E= 2ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ=
∑q
例4：两无限大带电平面（平行板电容 ：两无限大带电平面（ 器），面电荷密度分别为 +σ 和 −σ ， ），面电荷密度分别为 电容器内、外的电场强度。 求：电容器内、外的电场强度。 解：极板左侧
高斯定理
2)作半径为 )
E(r)
S + +
r 的高斯球面 (R ≤ r < ∞)
q q
+ + +
依高斯定理: 依高斯定理:
r+ +
S
+
+
+ +
∫ E dS = ε ∑q
S 0 S内
1
i
∫ E cos0 dS = ε ∑q
0 S内
1
i
E4πr =
2
1
ε0
q
q
2
E∫ dS =
S
1
ε0
q
q
E(r) =
4πε0r
O+ + + S1 +σ E= + 1
X
ε0
S内
ε0
例3)求一无限长,单位长度带电λ的直圆柱带电 )求一无限长,单位长度带电λ 体的电场. 已知: 体的电场. 已知:λ,R 求:E(r) 结论:电场以 结论: + + 对称性分析: 解:对称性分析: 中心轴线为对 +++ + + + +++ + + 称. +++ + + + + +++ + + + + ++ E + + + + +++ + + + + +++ + + + +++ + + + +++ + + +++ + + + + + ++++ ++ ++ + ++++ + ++ +++ + ++ + +
高斯定理的内容
高斯定理，也称为高斯通量理论或散度定理，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。
它表明穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
具体来说，高斯定理指出电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
当所涉体积内电荷连续分布时，上式右端的求和应变为积分。
高斯定理在静电学中表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
高斯定理是电磁学中一个非常基础且重要的定理，对于理解电荷分布和电场之间的关系以及电磁场的性质有着重要的意义。
电场强度通量 高斯定理
2020/5/12
13
物理学
第五版
三
5-4 电场强度通量 高斯定理
高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面
的电场强度通量，等于该曲面所包围的所
有电荷的代数和除以 ε0 .
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i 1
请思考：1）高斯面上的 E与哪些电荷有关 ？
S
E
en
S
E
8
物理学
第五版
5-4 电场强度通量 高斯定理
非匀强电场，曲面S .
dS
dS
en
dΦe E cosθdS E dS
Φe
dΦe
E dS
S
en
θ
E
dS
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S
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物理学
第五版
5-4 电场强度通量 高斯定理
非均匀电场，闭合曲面S .
Φe
E dS
Sr
E cosθdS
点 P 电场强度是否变化？
s 穿过高斯面 的 Φe有否变化？
s
q2 B
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三
个闭合面 S1 , S2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 .
q
Φe1
E dS
S1
0
Φe2 0
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Φe3
q
0
q
q
S1
S2 S3
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物理学
第五版
5-4 电场强度通量 高斯定理
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
高斯定理
e E dS (E1 E2 E3 ) dS
S
S
S E1 dS S E2 dS S En dS 2 q2 qqi 1
e
E
S
dS
e1
e2
en
1
0
qi
inside ,i
• 注意！
• 电场强度Ｅ是所有电荷产生的，无论是闭曲面内 还是外，公式中Ｅ取曲面上的值；
dS
S
0
２．包围一个点电荷的任意曲面
de E dS '
q
4 0r2
rˆ
dS'
nˆ
d dS r2
q d
4 0
q
d 4
S
e
S
d e
q
0
３．一个点电荷在任意闭曲面外，电通量 为零
de E dS '
q
4 0r2
rˆ
dS'
nˆ
E
dS ''
dS '
q
４．由叠加原理，任意电荷系高斯定理成立
E S
dS
1
0
qi
inside ,i
立体角
d
dS r2
d
dS ' r2
rˆ
dS '
cos
r2
nˆ
E
dS '
闭曲面对内任一点
d 4
S
dS
d rˆ
证明高斯定理
１．一个点电荷，闭曲面为以点电荷为心的球面
d e
E dS
EdS
1
4 0
q r2
dS
r
q
E
q
q
q
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
电场的电通量与高斯定理
电场的电通量与高斯定理电场的电通量是描述电场线通过一个封闭曲面的程度的物理量，它在物理学中有着重要的应用。
而高斯定理则是计算电场电通量的一种重要方法。
本文将探讨电场的电通量的概念及计算方法，以及高斯定理的原理和应用。
1. 电场的电通量电场的电通量是指单位时间内通过垂直于电场线的面积的电场线数目。
常用符号表示为Φ，单位为“麦可伏伦/米平方”（C·V/m^2）。
电通量的大小与电场线的密度有关，电场线越密集，则电通量越大。
2. 电通量的计算电通量的计算可以通过积分来实现。
设曲面S为一个封闭曲面，并在曲面上选取微小面元dS，该微小面元的面积为ΔS。
假设电场E在该面元上的投影长度为E⊥，则通过该微小面元的电场线条数为E⊥·ΔS。
将所有微小面元上的电场线条数相加，就可以得到通过整个曲面的电通量Φ，即Φ = ∫ E⊥ · dS。
3. 高斯定理的原理高斯定理主要应用于具有对称性的电场问题。
它指出，对于任意封闭曲面S，通过该曲面的电通量Φ与该封闭曲面所包围的总电荷量Q之间存在以下关系：Φ = Q/ε0，其中ε0为真空中的电介质常数，约等于8.85 × 10^-12 C^2/N·m^2。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场问题的求解中具有广泛的应用。
通过选择合适的封闭曲面，可以简化电场问题的求解过程。
例如，当电场具有球对称性时，可以选择以球心为中心的球面作为封闭曲面，这样可以使计算过程更加简化。
5. 实例分析考虑一个均匀带电球体，球心位于原点，半径为R，总电荷量为Q。
我们希望计算通过球面的电通量。
根据高斯定理，可以选择以球心为中心，球面为封闭曲面进行计算。
由于球对称性，电场E在球面上的大小处处相等。
根据球面积分的计算公式，可以得到Φ = E · 4πR^2。
而球内的总电荷量为Q，因此根据高斯定理，我们可以得到Φ = Q/ε0。
将上述两个等式联立，可以解得E = Q / (4πε0R^2)。